高等工程数学试题及参考答案-工程硕士

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试 考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟 注：解答全部写在答题纸上 一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程 可表成 ，且在 内有唯一根 ，那么 满足 ，则由迭代公式 产生的序列 一定收敛于 。 （ 满足： ,且 有 , ；） 2. 已知二元非线性函数 ，该函数从X0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为： ）； 3．已知二元非线性函数 ，该函数从X0 出发的Newton方向为 （Newton方向为： ）； 4．已知 在区间 上通过点 ，则其三次样条插值函数 是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间 上二阶导数连续，（3）满足插值条件 ）； 5．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值 落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ； 6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7．取步长 ，解 的Euler法公式为： （ ）； 8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。） 。 二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。 合金 矿石 锡（%） 锌（%） 铅（%） 镍（%） 杂质（%） 费用（元/吨） 1 25 10 10 25 30 340 2 40 0 0 30 30 260 3 0 15 5 20 60 180 4 20 20 0 40 20 230 5 8 5 15 17 15 190 （1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼，使每吨合金产品成本最低。（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。 （1）设 是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下： 4分 （2）上述线性规划模型的对偶形式如下： 4分 三、（本题8分）已知 的数据如表： 0 1 3 7 0 0.5 2 1.5 试求三次插值多项式P(x)，求 的近似值，并给出相应的误差估计式。 解： 用Newton插值法求 的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下： xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 0       1 0.5 0.5     3 2 0.75 0.25/3   7 1.5 －0.125 －0.875/6 －1.375/42 4 18.25/7 -0.37 -0.245 -0.033 -0.000075 由差商表得出 的三次插值多项式为： 3分 于是有 2分 相应的误差估计式为： 2分 四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO 的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（ ），观察它在100的水中溶解的NaNO 的重量（g），得观察结果如下： 温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10 （1） 求Y对X的线性回归方程。（结果保留小数点后两位。） , , , , （2）对回归方程的显著性进行检验。（取显著水平为0.05，0.01）， EMBED Equation.3 ， 。 解： （１） 4分 　　 回归函数为　　 4分 （２） 　　　 ，或 2分 　　　 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的 或 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。12分 五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）： 解： 第一步： 化为型，……………… ……………………..(2分) 第二步： 列出是单纯形表，…………………………… …..(2分) 第三步： 第一次单纯形迭代计算，…………………………..(3分) 第四步： 列出是单纯形表，…………………………… ……..(3分) 第五步： 正确写出结果，最优解 …(2分) 六、（本题10分）试确定求积公式 中的待定系数，使其代数精度尽量高。 解： 算出系数6分，验证3次2分，给出结论2分 七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录： 药物 治愈所需天数 1 2 3 4 5，7，7，7，12，8 4，6，6，13，4，6 6，4，8，5，3，9 7，4，6，6，3，15 试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（ ， ） 解： 方差来源 平方和 自由度 样本方差 F值 组间（因子） 10.5 3 3.5 0.35 组内（误差） 200.5 20 10.02 总和 211 23 由于 ，故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别 （正确算出F值给10分，结论正确给2分） 八、（本题16分）设方程组为 （1）对方程组进行适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛； （2）写出对应的高斯－塞德尔迭代； （3）取初始向量 ，用该方法求近似解 ，使 。 解： （1）将原方程组调整为 ，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛。 5分 （2）高斯－塞德尔迭代格式为 5分 （2）取 ，用上述迭代格式计算得 1 0.7777778 0.9722222 0.9753086 2 0.9941701 0.9992713 0.9993522 3 0.9998471 0.9999809 0.9999830 4 0.9999960 0.9999995 0.9999996 因 ， 故取近似解 。 6分 。 6分 3 _1332652653.unknown _1332654881.unknown _1332655269.unknown _1332740212.unknown _1332740409.unknown _1332742319.unknown _1382180118.unknown _1332742481.unknown _1332741987.unknown _1332740392.unknown _1332687476.unknown _1332688040.unknown _1332686917.unknown _1332655579.unknown _1332654905.unknown _1332654929.unknown _1332654953.unknown _1332654963.unknown _1332654942.unknown _1332654916.unknown _1332654893.unknown _1332654821.unknown _1332654856.unknown _1332654869.unknown _1332654838.unknown _1332653246.unknown _1332653275.unknown _1332653004.unknown _1332350438.unknown _1332651817.unknown _1332652222.unknown _1332652249.unknown _1332652422.unknown _1332652236.unknown _1332652198.unknown _1332652211.unknown _1332652183.unknown _1332511813.unknown _1332512409.unknown _1332609409.unknown _1332610368.unknown _1332610667.unknown _1332609684.unknown _1332607518.unknown _1332512419.unknown _1332512340.unknown _1332512369.unknown _1332512145.unknown _1332508644.unknown _1332511599.unknown _1332508495.unknown _1332508551.unknown _1332351331.unknown _1270325876.unknown _1270334217.unknown _1301059988.unknown _1304244936.unknown _1305878053.unknown _1304244925.unknown _1286181540.unknown _1286317102.unknown _1286181463.unknown _1286181492.unknown _1286181421.unknown _1270326568.unknown _1270332000.unknown _1270325974.unknown _1270326366.unknown _1228672313.unknown _1270325716.unknown _1270325782.unknown _1270325687.unknown _1174839411.unknown _1175364903.unknown _1175364994.unknown _1175365037.unknown _1175364600.unknown _915380424.unknown _1107623858.unknown _915380157.unknown