数理统计练习题
一、填空题
1、设A、B为随机事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B(A)=0.8,则P(A+B)=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次,至少命中一次的概率为
,则此射手的命中率
。
3、设随机变量X服从[0,2]上均匀分布,则
1/3 。
4、设随机变量
服从参数为
的泊松(Poisson)分布,且已知
=1,则
___1____。 5、一次试验的成功率为
,进行100次独立重复试验,当
1/2_____时 ,成功次数的方差的值最大,最大值为 25 。
6、(X,Y)服从二维正态分布
,则X的边缘分布为
。
7、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数
,则E(X)=
。
8、随机变量X的数学期望
,方差
,k、b为常数,则有
=
;
=
。
9、若随机变量X ~N (-2,4),Y ~N (3,9),且X与Y相互独立。设Z=2X-Y+5,则Z ~ N(-2, 25) 。
10、
的两个 无偏 估计量,若
,则称
比
有效。
1、设A、B为随机事件,且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A∪B)=0.6,则P(
)=_0.3__。
2、设X(B(2,p),Y(B(3,p),且P{X ≥ 1}=
,则P{Y≥ 1}=
。
3、设随机变量X服从参数为2的泊松分布,且Y =3X -2, 则E(Y)=4 。
4、设随机变量X服从[0,2]上的均匀分布,Y=2X+1,则D(Y)= 4/3 。
5、设随机变量X的概率密度是:
,且
,则
=0.6 。
6、利用正态分布的结论,有
1 。
7、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数
,则E(Y)= 3/4 。
8、设(X,Y)为二维随机向量,D(X)、D(Y)均不为零。若有常数a>0与b使
,则X与Y的相关系数
-1 。
9、若随机变量X ~N (1,4),Y ~N (2,9),且X与Y相互独立。设Z=X-Y+3,则Z ~ N (2, 13) 。
10、设随机变量X~N (1/2,2),以Y表示对X的三次独立重复观察中“
”出现的次数,则
= 3/8 。
1、设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则
0.6 。
2、四个人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为
,则密码能被译出的概率是 11/24 。
3、射手独立射击8次,每次中靶的概率是0.6,那么恰好中靶3次的概率是
=0.123863 。
4、已知随机变量X服从[0, 2]上的均匀分布,则D (X)= 1/3 。
5、设随机变量X服从参数为
的泊松分布,且
,则
= 6 。
6、设随机变量X ~ N (1, 4),已知Φ(0.5)=0.6915,Φ(1.5)=0.9332,则
0.6247 。
7、随机变量X的概率密度函数
,则E(X)=
1 。
8、已知总体X ~ N (0, 1),设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机
,则
~
。
9、设T服从自由度为n的t分布,若
,则
。
10、已知随机向量(X,Y)的联合密度函数
,则E(X)= 4/3 。
1、设A,B为随机事件,且P(A)=0.6, P(AB)= P(
), 则P(B)= 0.4 。
2、设随机变量X与Y相互独立,且
,
,则P(X =Y)=_ 0.5_。
3、设随机变量X服从以n, p为参数的二项分布,且EX=15,DX=10,则n= 45 。
4、设随机变量
,其密度函数
,则
= 2 。
5、设随机变量X的数学期望EX和方差DX>0都存在,令
,则DY= 1 。
6、设随机变量X服从区间[0,5]上的均匀分布,Y服从
的指数分布,且X,Y相互独立,则(X, Y)的联合密度函数f (x, y)=
。
7、随机变量X与Y相互独立,且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X -2Y )= 44。
8、设
是来自总体X ~ N (0, 1)的简单随机样本,则
服从的分布为
。
9、三个人独立地向某一目标进行射击,已知各人能击中的概率分别为
,则目标能被击中的概率是3/5 。
10、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度
,
则EY = 1/2 。
1、设A,B为两个随机事件,且P(A)=0.7, P(A-B)=0.3,则P(
)=__0.6 __。
2、设随机变量X的分布律为
,且X与Y独立同分布,则随机变量Z =max{X,Y }的分布律为
。
3、设随机变量X ~N (2,
),且P{2 < X <4}=0.3,则P{X < 0}=0.2 。
4、设随机变量X 服从
泊松分布,则
=
。
5、已知随机变量
的概率密度为
,令
,则
的概率密度
为
。
6、设X是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则
2.4 。
7、X1,X2,…,Xn是取自总体
的样本,则
~
。
8、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度
,则EX = 2/3 。
9、称统计量
的 无偏 估计量,如果
=
。
10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,这个原理称为 小概率事件原理。
1、设A、B为两个随机事件,若P(A)=0.4,P(B)=0.3,
,则
0.3 。
2、设X是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则
18.4 。
3、设随机变量X~N (1/4,9),以Y表示对X的5次独立重复观察中“
”出现的次数,则
= 5/16 。
4、已知随机变量X服从参数为
的泊松分布,且P(X=2)=P(X=4),则
=
。
5、称统计量
的无偏估计量,如果
=θ 。
6、设
,且X,Y相互独立,则
t(n) 。
7、若随机变量X~N (3,9),Y~N (-1,5),且X与Y相互独立。设Z=X-2Y+2,则Z ~ N (7,29) 。
8、已知随机向量(X, Y)的联合概率密度
,则EY = 1/3 。
9、已知总体
是来自总体X的样本,要检验
,则采用的统计量是
。
10、设随机变量T服从自由度为n的t分布,若
,则
。
1、设A、B为两个随机事件,P(A)=0.4, P(B)=0.5,
,则
0.55 。
2、设随机变量X ~ B (5, 0.1),则D (1-2X )= 1.8 。
3、在三次独立重复射击中,若至少有一次击中目标的概率为
,则每次射击击中目标的概率为 1/4 。
4、设随机变量
的概率分布为
,则
的期望EX= 2.3。
5、将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于-1。
6、设(X, Y)的联合概率分布列为
Y
X
-1
0
4
-2
1/9
1/3
2/9
1
1/18
a
b
若X、Y相互独立,则a = 1/6 ,b = 1/9 。
7、设随机变量X服从[1,5]上的均匀分布,则
1/2 。
8、三个人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为
,则密码能被译出的概率是3/5 。
9、若
是来自总体X的样本,
分别为样本均值和样本方差,则
~ t (n-1) 。
10、
的两个无偏估计量,若
,则称
比
有效 。
1、已知P (A)=0.8,P (A-B)=0.5,且A与B独立,则P (B) = 3/8 。
2、设随机变量X~N(1,4),且P{ X ( a }= P{ X ( a },则a = 1 。
3、随机变量X与Y相互独立且同分布,
,
,则
。
4、已知随机向量(X, Y)的联合分布密度
,则EY= 2/3 。
5、设随机变量X~N (1,4),则
= 0.3753 。(已知((0.5)=0.6915,((1.5)=0.9332)
6、若随机变量X~N (0,4),Y~N (-1,5),且X与Y相互独立。设Z=X+Y-3,则Z ~ N (-4,9) 。
7、设总体X~N(1,9),
是来自总体X的简单随机样本,
分别为样本均值与样本方差,则
;
。
8、设随机变量X服从参数为
的泊松分布,且
,则
= 6 。
9、袋中有大小相同的红球4只,黑球3只,从中随机一次抽取2只,则此两球颜色不同的概率为 4/7 。
10、在假设检验中,把符合H0的总体判为不合格H0加以拒绝,这类错误称为 一错误;把不符合H0的总体当作符合H0而接受。这类错误称为 二 错误。
1、设A、B为两个随机事件,P(A)=0.8,P(AB)=0.4,则P(A-B)= 0.4 。
2、设X是10次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0.4,则
2.4 。
3、设随机变量X的概率分布为
X
-1
0
1
2
P
0.1
0.3
0.2
0.4
则
= 0.7 。
4、设随机变量X的概率密度函数
,则
=
。
5、袋中有大小相同的黑球7只,白球3只,每次从中任取一只,有放回抽取,记首次抽到黑球时抽取的次数为X,则P {X=10}= 0.39*0.7 。
6、某人投篮,每次命中率为0.7,现独立投篮5次,恰好命中4次的概率是
。
7、设随机变量X的密度函数
,且
,则c = -2 。
8、已知随机变量U = 4-9X,V= 8+3Y,且X与Y的相关系数
=1,则U与V的相关系数
=-1。
9、设
,且X,Y相互独立,则
t (n)
10、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的,这个原理称为 小概率事件原理 。
1、随机事件A与B独立,
0.4 。
2、设随机变量X的概率分布为则X2的概率分布为
3、设随机变量X服从[2,6]上的均匀分布,则
0.25 。
4、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,且每次命中率为0.4,则
=_18.4__。
5、随机变量
,则
N(0,1) 。
6、四名射手独立地向一目标进行射击,已知各人能击中目标的概率分别为1/2、3/4、2/3、3/5,则目标能被击中的概率是 59/60 。
7、一袋中有2个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4次,若至少摸到一个白球的概率是
,则袋中白球的个数是 4 。
8、已知随机变量U = 1+2X,V= 2-3Y,且X与Y的相关系数
=-1,则U与V的相关系数
= 1 。
9、设随机变量X~N (2,9),且P{ X ( a }= P{ X ( a },则a= 2 。
10、称统计量
的无偏估计量,如果
= θ
二、选择题
1、设随机事件
与
互不相容,且
,则( D )。
A.
B.
C.
D.
2、将两封信随机地投入四个邮筒中,则未向前面两个邮筒投信的概率为( A )。
A.
B.
C.
D.
3、已知随机变量
的概率密度为
,令
,则
的概率密度
为( D )。
A.
B.
C.
D.
4、设随机变量
,满足
,
是
的分布函数,则对任意实数
有( B )。
A.
B.
C.
D.
5、设
为标准正态分布函数,
且
,
相互独立。令
,则由中心极限定理知
的分布函数
近似于( B )。
A.
B.
C.
D.
1、设
,
为随机事件,
,
,则必有( A )。
A.
B.
C.
D.
2、某人连续向一目标射击,每次命中目标的概率为
,他连续射击直到命中为止,则射击次数为3的概率是( C )。
A.
B.
C.
D.
3、设
是来自总体
的一个简单随机样本,则最有效的无偏估计是( A )。
A.
B.
C.
D.
4、设
为标准正态分布函数,
且
,
相互独立。令
,则由中心极限定理知
的分布函数
近似于( B )。
A.
B.
C.
D.
5、设
为总体
的一个样本,
为样本均值,则下列结论中正确的是( D )。
A.
; B.
; C.
; D.
;
1、已知A、B、C为三个随机事件,则A、B、C不都发生的事件为(A)。
A.
B.
C. A+B+C
D. ABC
2、下列各函数中是随机变量分布函数的为( B )。
A.
B.
C.
D.
3、
是二维随机向量,与
不等价的是( D )
A.
B.
C.
D.
和
相互独立
4、设
为标准正态分布函数,
且
,
相互独立。令
,则由中心极限定理知
的分布函数
近似于( B )。
A.
B.
C.
D.
5、设总体
,其中
未知,
为来自总体的样本,样本均值为
,样本方差为
, 则下列各式中不是统计量的是( C )。
A.
B.
C.
D.
1、若随机事件
与
相互独立,则
=( B )。
A.
B.
C.
D.
2、设总体X的数学期望EX=μ,方差DX=σ2,X1,X2,X3,X4是来自总体X的简单随机样本,则下列μ的估计量中最有效的是( D )
3、设
为标准正态分布函数,
且
,
相互独立。令
,则由中心极限定理知
的分布函数
近似于( B )。
A.
B.
C.
D.
4、设离散型随机变量的概率分布为
,
,则
=( B )。
A. 1.8 B. 2 C. 2.2 D. 2.4
5、在假设检验中, 下列说法错误的是( C )。
A.
真时拒绝
称为犯第二类错误。 B.
不真时接受
称为犯第一类错误。
C. 设
,
,则
变大时
变小。
D.
、
的意义同(C),当样本容量一定时,
变大时则
变小。
1、若A与B对立事件,则下列错误的为( A )。
A.
B.
C.
D.
2、下列事件运算关系正确的是( A )。
A.
B.
C.
D.
3、设
为标准正态分布函数,
且
,
相互独立。令
,则由中心极限定理知
的分布函数
近似于( B )。
A.
B.
C.
D.
4、若
,则(D )。
A.
和
相互独立
B.
与
不相关 C.
D.
5、若随机向量(
)服从二维正态分布,则①
一定相互独立; ② 若
,则
一定相互独立;③
和
都服从一维正态分布;④若
相互独立,则
Cov (X, Y ) =0。几种说法中正确的是( B )。
A. ① ② ③
④
B. ② ③ ④ C. ① ③
④
D. ① ② ④
1、设随机事件A、B互不相容,
,则
=( C )。
A.
B.
C.
D.
2、设A,B是两个随机事件,则下列等式中( C )是不正确的。
A.
,其中A,B相互独立 B.
,其中
C.
,其中A,B互不相容 D.
,其中
3、设
为标准正态分布函数,
且
,
相互独立。令
,则由中心极限定理知
的分布函数
近似于( B )。
A.
B.
C.
D.
4、设随机变量X的密度函数为f (x),则Y = 5 — 2X的密度函数为( B )
5、设
是一组样本观测值,则其标准差是(
B
)。
A.
B.
C.
D.
1、若A、B相互独立,则下列式子成立的为( A )。
A.
B.
C.
D.
2、若随机事件
的概率分别为
,
,则
与
一定(D
)。
A. 相互对立 B. 相互独立 C. 互不相容 D.相容
3、设
为标准正态分布函数,
且
,
相互独立。令
,则由中心极限定理知
的分布函数
近似于(B )。
A.
B.
C.
D.
4、设随机变量X ~N(μ,81),Y ~N(μ,16),记
,则( B )。
A. p1
p2 D. p1与p2的关系无法确定
5、设随机变量X的密度函数为f (x),则Y = 7 — 5X的密度函数为( B )
1、对任意两个事件
和
, 若
, 则( D )。
A.
B.
C.
D.
2、设
、
为两个随机事件,且
,
,
, 则必有( B )。
A.
B.
C.
D.
、
互不相容
3、设
为标准正态分布函数,
且
,
相互独立。令
,则由中心极限定理知
的分布函数
近似于( B )。
A.
B.
C.
D.
4、已知随机变量
和
相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则
( A )。
A. 3 B. 6 C. 10 D. 12
5、设随机变量X ~N(μ,9),Y ~N(μ,25),记
,则( B )。
A. p1p2 D. p1与p2的关系无法确定
1、设
两个随机事件相互独立,当
同时发生时,必有
发生,则( A )。
A.
B.
C.
D.
2、已知随机变量
的概率密度为
,令
,则Y的概率密度
为( A )。
A.
B.
C.
D.
3、两个独立随机变量
,则下列不成立的是( C )。
A.
B.
C.
D.
4、设
为标准正态分布函数,
且
,
相互独立。令
,则由中心极限定理知
的分布函数
近似于( B )。
A.
B.
C.
D.
5、设总体X的数学期望EX=μ,方差DX=σ2,X1,X2,X3是来自总体X的简单随机样本,则下列μ的估计量中最有效的是( B )
1、若事件
两两独立,则下列结论成立的是( B )。
A.
相互独立
B.
两两独立
C.
D.
相互独立
2、连续型随机变量X的密度函数f (x)必满足条件( C )。
3、设
是任意两个互相独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为
和
,分布函数分别为
和
,则( B )。
A.
必为密度函数 B.
必为分布函数
C.
必为分布函数 D.
必为密度函数
4、设随机变量X, Y相互独立,且均服从[0,1]上的均匀分布,则服从均匀分布的是( B )。
A. X Y B. (X, Y) C. X — Y D. X + Y
5、设
为标准正态分布函数,
且
,
相互独立。令
,则由中心极限定理知
的分布函数
近似于( B )。
A.
B.
C.
D.
三(1)、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲,假设男性女性各占一半。现随机地挑选一人,求此人恰好是色盲者的概率。
设A:表示此人是男性; B:表示此人是色盲。
则所求的概率为
答:此人恰好是色盲的概率为0.02625。
三(2)、已知5%的男性和0.25%的女性是色盲,假设男性女性各占一半。若随机地挑选一人,发现此人不是色盲,问此人是男性的概率。
设A:表示此人是男性; B:表示此人是色盲。
则所求的概率为
EMBED Equation.DSMT4
答:此人是男人的概率为0.4878。 。
三(3)、一袋中装有10个球,其中3个白球,7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次,每次一个,求第二次取得白球的概率。
解 设
表示表示第i次取得白球,i=1,2。
则所求事件的概率为
答:第二次取得白球的概率为3/10。
三(4)、一袋中装有10个球,其中3个白球,7个红球。现从中采用不放回方式摸球两次,每次一个,若第二次取得白球,则第一次也是白球的概率。
解 设
表示表示第i次取得白球,i=1,2 。
则所求事件的概率为
EMBED Equation.DSMT4
答:第二次摸得白球,第一次取得也是白球的概率为2/9。
三(5)、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一厂家为第二厂家的两倍,第二、第三厂家相等,且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2%,2%,4%。若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率为多少?
解 设
表示产品由第i家厂家提供,i=1, 2, 3;B表示此产品为次品。
则所求事件的概率为
=
答:该件商品是第一产家生产的概率为0.4。
三(6)、甲、乙、丙三车间加工同一产品,加工量分别占总量的25%、35%、40%,次品率分别为0.03、0.02、0.01。现从所有的产品中抽取一个产品,试求(1)该产品是次品的概率;(2)若检查结果显示该产品是次品,则该产品是乙车间生产的概率是多少?
解:设
,
,
表示甲乙丙三车间加工的产品,B表示此产品是次品。
(1)所求事件的概率为
EMBED Equation.DSMT4
(2)
答:这件产品是次品的 概率为0.0185,若此件产品是次品,则该产品是乙车间生产的概率为0.38。
三(7)、一个机床有1/3的时间加工零件A,其余时间加工零件B。加工零件A时停机的概率是0.3,加工零件A时停机的概率是0.4。求(1)该机床停机的概率;(2)若该机床已停机,求它是在加工零件A时发 生停机的概率。
解:设
,
,表示机床在加工零件A或B,D表示机床停机。
(1)机床停机夫的概率为
EMBED Equation.DSMT4
(2)机床停机时正加工零件A的概率为
三(8)、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件,各机床加工的零件数量之比为5:3:2,各机床所加工的零件合格率依次为94%,90%,95%。现从加工好的整批零件中随机抽查一个,发现是废品,判断它是由甲机床加工的概率。
解 设
,
,
表示由甲乙丙三机床加工,B表示此产品为废品。(2分)
则所求事件的概率为
=
答:此废品是甲机床加工概率为3/7。
三(9)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,其概率分别为5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。已知该人误期到达,求他是乘坐火车的概率。 (10分)
解:设
,
,
,
分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,B表示误期到达。
则
=
答:此人乘坐火车的概率为0.209。
三(10)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,其概率分别为5%、15%、30%、50%,乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100%、70%、60%、90%。求该人如期到达的概率。
解:设
,
,
,
分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,B表示如期到达。
则
答:如期到达的概率为0.785。
四(1)设随机变量X的概率密度函数为
求(1)A; (2)X的分布函数F (x); (3) P (0.5 < X <2 )。
解:
(3) P(1/20.25)。
解:
(3) P(X>1/4)=1—F(1/4)=7/8
四(4)、已知连续型随机变量X的概率密度为
求(1)A;(2)分布函数F (x);(3)P (-0.5 < X <1)。 )
解:
(3) P(-0.50时,F Z (z)=P (Z≤z)=P (max (X, Y)≤z)
=P (X≤z, Y≤z)=P (X≤z)P (Y≤z)=
=
。
因此,系统L的寿命Z的密度函数为
f Z (z)=
五(2)、已知随机变量X~N(0,1),求随机变量Y=X 2的密度函数。
解:当y≤0时,F Y (y)=P (Y≤y)=P (X 2≤y)=0;
当y>0时,F Y (y)=P (Y≤y)=P (X 2≤y)=
=
因此,f Y (y)=
五(3)、设系统L由两个相互独立的子系统L1、L2串联而成,且L1、L2的寿命分别服从参数为
的指数分布。求系统L的寿命Z的密度函数。
解:令X、Y分别为子系统L1、L2的寿命,则系统L的寿命Z=min (X, Y)。
显然,当z≤0时,F Z (z)=P (Z≤z)=P (min (X, Y)≤z)=0;
当z>0时,F Z (z)=P (Z≤z)=P (min (X, Y)≤z)=1-P (min (X, Y)>z)
=1-P (X>z, Y>z)=1-P (X>z)P (Y>z)=
=
。
因此,系统L的寿命Z的密度函数为
f Z (z)=
五(4)、已知随机变量X~N(0,1),求Y=|X|的密度函数。
解:当y≤0时,F Y (y)=P (Y≤y)=P (|X |≤y)=0;
当y>0时,F Y (y)=P (Y≤y)=P (|X |≤y)=
=
因此,f Y (y)=
五(5)、设随机向量(X,Y)联合密度为
f(x, y)=
(1) 求系数A;
(2) 判断X,Y是否独立,并说明理由;
(3) 求P{ 0≤X≤2,0≤Y≤1}。
解:(1)由1=
=
可得A=6。
(2)因(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为
fX (x)=
和 fY (y)=
,
则对于任意的
均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y),所以X与Y独立。
(3)P{ 0≤X≤2,0≤Y≤1}=
=
五(6)、设随机向量(X,Y)联合密度为
f (x, y)=
(1) 求系数A;
(2) 判断X,Y是否独立,并说明理由;
(3) 求P{ 0≤X≤1,0≤Y≤1}。
解:(1)由1=
=
可得A=12。
(2)因(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为
fX (x)=
和 fY (y)=
,
则对于任意的
均成立f (x, y)= fX (x)* fY (y),所以X与Y独立。
(3)P{ 0≤X≤1,0≤Y≤1}=
=
五(7)、设随机向量(X,Y)联合密度为
f(x, y)=
(1) 求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y);
(2) 判断X,Y是否独立,并说明理由。
解:(1)当x<0或x>1时,fX (x)=0;
当0≤x≤1时,fX (x)=
因此,(X,Y)关于X的边缘概率密度fX (x)=
当y<0或y>1时,fY (y)=0;
当0≤y≤1时,fY (y)=
因此,(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY (y)=
(2)因为f (1/2, 1/2)=3/2,而fX (1/2) fY (1/2)=(3/2)*(3/4)=9/8≠f (1/2, 1/2),
所以,X与Y不独立。
五(8)、设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为
f (x, y)=
(1) 求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y);
(2) 判断X与Y是否相互独立,并说明理由。
解:(1)当x≤0时,fX (x)=0;
当x>0时,fX (x)=
因此,(X,Y)关于X的边缘概率密度fX (x)=
当y≤0时,fY (y)=0;
当y>0时,fY (y)=
因此,(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY (y)=
(2)因为f (1, 2)=e-2,而fX (1) fY (2)=e-1*2e-2=2 e-3≠f (1, 2),
所以,X与Y不独立。
五(9)、设随机变量X的概率密度为
设F(x)是X的分布函数,求随机变量Y=F(X)的密度函数。
解:当y<0时,F Y (y)=P (Y≤y)=P (F(X )≤y)=0;
当y>1时,F Y (y)=P (Y≤y)=P (F(X )≤y)=1;
当0≤y≤1时,F Y (y)=P (Y≤y)=P ((F(X )≤y)=
=
因此,f Y (y)=
五(10)、设随机向量(X,Y)联合密度为
f(x, y)=
(1)求(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度fX(x),fY(y);
(2)判断X,Y是否独立,并说明理由。
解:(1)当x<0或x>1时,fX (x)=0;
当0≤x≤1时,fX (x)=
因此,(X,Y)关于X的边缘概率密度fX (x)=
当y<0或y>1时,fY (y)=0;
当0≤y≤1时,fY (y)=
因此,(X,Y)关于Y的边缘概率密度fY (y)=
(2)因为f (1/2, 1/2)=2,而fX (1/2) fY (1/2)=(3/2)*(1/2)=3/4≠f (1/2, 1/2),
所以,X与Y不独立。
六(1)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为
求随机向量(X+Y, X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解:D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28
D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4
Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =7-9= -2
所以,(X+Y, X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为
和
六(2)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为
求随机向量(X+Y, X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解:D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+1+2*2=14
D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+1-2*2=6
Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =9-1=8
所以,(X+Y, X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为
和
六(3)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为
求随机向量(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解:D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+6-2*(-6)=27
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+6+2*(-6)=3
Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-6= 3
所以,(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为
和
六(4)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为
求随机向量(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解:D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+9-2*(-5)=23
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+9+2*(-5)=3
Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5
所以,(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为
和
六(5)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为
求随机向量(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解:D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=1+4-2*(-1)= 7
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=1+4+2*(-1)=3
Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =1-4= -3
所以,(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为
和
六(6)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为
求随机向量(X+Y, X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解:D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+25+2*1=31
D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+25-2*1=27
Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =4-25= -21
所以,(X+Y, X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为
和
六(7)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为
求随机向量(X+Y, X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解:D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=5+4+2*2=13
D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=5+4-2*2=5
Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =5-4=1
所以,(X+Y, X—Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为
和
六(8)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为
求随机向量(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解:D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+4-2*(-2)= 17
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+4+2*(-2)=9
Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-4= 5
所以,(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为
和
六(9)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为
求随机向量(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解:D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y) = 4+9-2*(-3)= 19
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y) = 4+9+2*(-3)=7
Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5
所以,(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为
和
六(10)、已知随机向量(X,Y)的协方差矩阵V为
求随机向量(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵。
解:D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+4-2*3= 7
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+4+2*3=19
Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-4= 5
所以,(X—Y, X+Y)的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为
和
七(1)、设总体X的概率密度函数是
其中
为未知参数。
是一组样本值,求参数
的最大似然估计。
解:似然函数
七(2)、设总体X的概率密度函数是
是一组样本值,求参数
的最大似然估计。
解:似然函数
七(3)、设总体X的概率密度函数是
>0为未知参数,
是一组样本值,求参数
的最大似然估计。
解:似然函数
七(4)、设总体的概率密度函数是
其中
>0是未知参数,
是一组样本值,求参数
的最大似然估计。
解:似然函数
七(5)、设总体X服从参数为
的泊松分布
(
=0,1,
),其中
为未知参数,
是一组样本值,求参数
的最大似然估计。
解:似然函数
七(6)、设总体X的概率分布为
。 设
为总体X的一组简单随