2011-11-12 31页 doc 1MB 65阅读
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1, <0,或00时, { }是递减数列;当q=1时, { }是常数列;当q<0时, { }是摆动数列; 10.证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若 (2)等比中项法:若 (3)通项法:若 (4)前n项和法:若 数列 为等比数列。 典型例题: 例1:求下列各等比数列的通项公式: (1) =(2, =(8; (2) =5, 且2 =(3 ; (3) =5, 且 解: (1)解: (2)解: (3)解: 以上各式相乘得: 例2:求下面等比数列的第4项与第5项: (1)5,-15,45,……; (2)1.2,2.4,4.8,……; (3) ,……. 解:(1)∵q= =-3, =5 ∴ = EMBED Equation.3 =5·(-3) ∴ =5·(-3) =-135, =5·(-3) =405. (2)∵q= =2, =1.2 ∴ = EMBED Equation.3 =1.2×2 ∴ =1.2×2 =9.6, =1.2×2 =19.2 (3)∵q= ∴ = EMBED Equation.3 = ×( ) ∴ = ×( ) = , = ×( ) = (4)∵q=1÷ , = ∴ = EMBED Equation.3 = ·( ) = ∴ = . 例3:一个等比数列的第9项是 ,公比是- ,求它的第1项. 解:由题意得 = ,q=- ∵ = q8,∴ = (- ) ,∴ =2916 答:它的第1项为2916. 例4:一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. 解:由已知得 =10, =20.在等比数列中 ∵ , ∴ = =5, = q=40. 答:它的第1项为5,第4项为40. 例5:已知:b是a与c的等比中项,且a、b、c同号, 求证: 也成等比数列 证明:由题设:b2=ac 得: ∴ 也成等比数列 例6:已知 是项数相同的等比数列,求证 是等比数列. 证明:设数列 的首项是 ,公比为 ; 的首项为 ,公比为 ,那么数列 的第n项与第n+1项分别为: 它是一个与n无关的常数,所以 是一个以q1q2为公比的等比数列. 例7:(1) 已知{ }是等比数列,且 , 求 (2) a≠c,三数a, 1, c成等差数列, 成等比数列,求 解:(1) ∵{ }是等比数列, ∴ EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 =( + ) =25, 又 >0, ∴ + =5; (2) ∵a, 1, c成等差数列, ∴ a+c=2, 又a , 1, c 成等比数列, ∴a c =1, 有ac=1或ac=-1, 当ac=1时, 由a+c=2得a=1, c=1,与a≠c矛盾, ∴ ac=-1, ∴ . 例8:已知无穷数列 , 求证:(1)这个数列成等比数列 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的 , (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中 证明:(1) (常数)∴该数列成等比数列 (2) ,即: (3) ,∵ ,∴ ∴ 且 , ∴ ,(第 项) 例9:在等比数列 中, ,求该数列前七项之积 解: ∵ , ∴前七项之积 例10:在等比数列 中, , ,求 , 解: 另解:∵ 是 与 的等比中项,∴ ∴ 五、等比数列的前n项和 1、 等比数列的前n项和公式: 当 时, ① 或 ② 当q=1时, 当已知 , q, n 时用公式①;当已知 , q, 时,用公式②. 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 它的前n项和是 EMBED Equation.3 由 得 ∴当 时, ① 或 ② 当q=1时, 公式的推导方法二: 有等比数列的定义, 根据等比的性质,有 即 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (结论同上) 围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三: EMBED Equation.3 = = = EMBED Equation.3 (结论同上) 2、重要结论 {an}成等比数列,公比为q (1) 也为等比数列,且公比为 , (2) 也成等比数列,且公比为q2 (3) 成等比,且an>0,则lga1,lga2,lga3…成等差 [注](1) (2) 典型例题: 例1:求和: . 分析:当 时, 是由数列 与数列 的相应的项相乘而来的,所以用错位相减法来求和. 解:当 时, 当 时, INCLUDEPICTURE "F:\\周明星\\011\\高中数学资源!\\resource\\dfgdf\\statics\\jspx\\gzpd\\xkjx\\g1sx\\g1sx15\\unit2\\dxlt\\image019.gif" \* MERGEFORMATINET ,① 左右两边分别乘以 得: ,② ①、②相减得: 于是 . 说明:求和问题要分析数列的项的结构,当通项是一个等差数列与等比数列的乘积时,用错位相减法求和,此时要注意等比数列的公比是否为1(用字母表示公比时). 例2:已知 是等比数列 的前 项和,且有 求 的值. 分析:由两个方程不能求出确定的 ,只能得到一个关系,所以应采用整体代入的方法. 解:设等比数列的首项为 ,公比为 , 由 可知 ,故 两式相除得 ,即 . 于是有 说明:本题强调的是基本量思想与整体思想,整体思想往往是设而不求,整体替换. 例3: 求数列 的24项的和. 分析: ,可用裂项法求和. 解: INCLUDEPICTURE "F:\\周明星\\011\\高中数学资源!\\resource\\dfgdf\\statics\\jspx\\gzpd\\xkjx\\g1sx\\g1sx15\\unit2\\dxlt\\image061.jpg" \* MERGEFORMATINET . 说明:裂项法是求和的重要方法之一,要把数列的每一项分裂为两项之差,求和时使得中间的大多数项互相抵消了. 例4:设 是由正数组成的等比数列, 是其前 项和.求证: . 分析:先比较 与 的大小,再根据对数函数的单调性得到所要证明的不等式. 证明:设等比数列 的首项为 ,公比为 . 当 时, 当 时, , , 故有 . 说明:解题中注意等比数列前 项和公式要对公比进行分类;注意比较两数大小的基本方法是比较法,特别是作差比较法,还要注意结合函数的有关知识. 例5: 已知数列 中, 且当 时, . (1)求 的通项公式; (2)求证: 分析:该数列从第二项开始,每一项是其前面所有项之和,于是通项 与一个和有关,所以引入前 项和. 解:(1)设 , 所以当 时有 ,同时又 ,两式相减得 ,于是 所以 是等比数列,公比为2. 因为 所以 ,故当 时, , 所以 证明:(2) 说明:在解题中注意项数的初始值,以及数列通项与和的相互转化. 第二章 数列 检测题 一、选择题(每题5分,共50分) 1、在数列 中, ,则 的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52 2、数列3,5,9,17,33,…的通项公式 等于( ) A. B. C. D. 3、 是 成等比数列的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、若数列 的前n项和为 ,则( ) A. B. C. D. 5、已知实数 满足 ,那么实数 是( ) A.等差非等比数列 B.等比非等差数列 C.既是等比又是等差数列 D.既非等差又非等比数列 6、若 成等比数列,则关于x的方程 ( ) A.必有两个不等实根 B.必有两个相等实根 C.必无实根 D.以上三种情况均有可能 7、已知 则 的等差中项为( ) A. B. C. D. 8、数列 、 都是等差数列,其中 ,那么 前100项的和为( ) A.0 B.100 C.10000 D.102400 9、数列 前n项的和为( ) A. B. C. D. 10、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第 个图案中有白色地面砖的块数是 A. B. C. D. 二、填空题(每题4分,共16分) 11、在等差数列 中,已知 ,那么 等于____________; 12、某厂在1995年底制定生产,要使2005年底的总产量在原有基础上翻两番, 则年平均增长率为_________________, 13、已知等差数列 的公差 ,且 成等比数列,则 的值是__________, 14、等差数列 前 项和为 ,已知 为________时, 最大. 三、解答题(共84分) 15、等差数列 中,已知 ,试求n的值 16、各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1,且a2, a3,a1 成等差数列,求 17、已知数列 的前n项和 满足 ,又 . (1)求k的值; (2)求 ; 18、已知公比为3的等比数列 与数列 满足 ,且 , (1)判断 是何种数列,并给出证明;(2)若 ,求数列 的前n项和 19、已知等差数列 的第二项为8,前10项和为185。 (1)求数列 的通项公式; (2)若从数列 中,依次取出第2行,第4项,第8项,……,第 项,……按原来顺序组成一个新 数列,试求数列 的通项公式和前n项的和 20、已知数列 的首项 前 项和为 ,且 (I)证明数列 是等比数列; (II)令 ,求函数 在点 处的导数 并比较 与 的大小. 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B A A C A C B C 二、11、4 12、 13、 14、7 三、15、 16、解:∵a2, a3,a1 成等差数列 ∴ a3=a1+ a2 ∵an等比数列 ∴a1q2=a1+a1q (∵a1≠0) ∴q2-q-1=0 又 an>0 ∴q= ∴ = = 17、 18、等差数列, 19、解:(1)依题意 解得 EMBED Equation.3 (2)由(1)得 EMBED Equation.3 20、解:由已知 可得 两式相减得 即 从而 当 时 所以 又 所以 从而 故总有 , 又 从而 即数列 是等比数列; (II)由(I)知 因为 所以 从而 = = - = 由上 - = =12 ① 当 时,①式=0所以 ; 当 时,①式=-12 所以 当 时, 又 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 所以 即① 从而 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 附:等差数列与等比数列的有关知识比较一览表 等 差 数 列 等 比 数 列 定 义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫公差. 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫等比数列.这个常数叫公比. 递 推 关 系 ① ( ) ② ( ) ③ ( ) ① ( ) ② ( ) ③ ( ) 通 项 公 式 ① ( ) ② ( ) ① ( ) ② ( ) 求 和 公 式 ① ( ) ② ( ) ③ ( ) ①求积公式 ( ) ② ( ) ③ ( , ) 主 要 性 质 ①若p+q=s+r, p、q、s、r N*,则 . ②对任意c>0,c 1, 为等比数列. ③ . ④若 、 分别为两等差数列,则 为等差数列. ⑤数列 为等差数列. ⑥若 为正项等差自然数列,则 为等差数列. ⑦ 为等差数列. ⑧ ,n>2m,m、n . ⑨ . ⑩若 则 . ①若p+q=s+r, p、q、s、r N*,则 . ②对任意c>0,c 1, 若an恒大于0,则 为等差数列. ③ . ④若 、 为两等比数列,则 为等比数列. ⑤若an恒大于0,则数列 为等比数列. ⑥若 为正项等差自然数列,则 为等比数列. ⑦ 为等比数列. ⑧ ,n>2m,m、n , . ⑨ . ⑩若 则 . 此外,还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论,这些结论之间不具有对偶关系: 重 要 结 论 等 差 数 列 等 比 数 列 ①若 p、q ,且 , 则 . ②若 且 ,则 p、q . ① = . ②若|q|<1,则 EMBED Equation.DSMT4 . � EMBED Equation.3 ��� 第1个 第2个 第3个 。。。 _1180877096.unknown _1180877131.unknown _1190614086.unknown _1190616479.unknown _1192816476.unknown _1203159532.unknown _1222020749.unknown _1236497983.unknown _1252485094.unknown _1252485140.unknown _1222020876.unknown _1225368575.unknown _1203159710.unknown _1222017396.unknown _1222018430.unknown _1222018472.unknown _1222017476.unknown _1222017288.unknown _1203159641.unknown _1203159258.unknown _1203159348.unknown _1203159458.unknown _1203159298.unknown _1192819214.unknown _1192819272.unknown _1192819314.unknown _1192816806.unknown _1190639652.unknown _1190662861.unknown _1190810644.unknown _1190811141.unknown _1191661083.unknown _1192816430.unknown _1191431043.unknown _1191431071.unknown _1190811774.unknown _1190811018.unknown _1190811136.unknown _1190810976.unknown _1190663642.unknown _1190664355.unknown _1190663807.unknown _1190663195.unknown _1190661239.unknown _1190661711.unknown _1190662088.unknown _1190661516.unknown _1190641010.unknown _1190641246.unknown _1190661169.unknown _1190641060.unknown _1190639911.unknown _1190616565.unknown _1190616738.unknown _1190617632.unknown _1190639651.unknown _1190618227.unknown _1190616784.unknown _1190616813.unknown _1190616970.unknown _1190616759.unknown _1190616715.unknown _1190616629.unknown _1190616695.unknown _1190616520.unknown _1190616564.unknown _1190614221.unknown _1190615910.unknown _1190616295.unknown _1190616329.unknown _1190616446.unknown _1190616463.unknown _1190616358.unknown _1190616318.unknown _1190616208.unknown _1190616294.unknown _1190615962.unknown _1190616207.unknown _1190614385.unknown _1190614507.unknown _1190614508.unknown _1190614402.unknown _1190614257.unknown _1190614314.unknown _1190614255.unknown _1190614256.unknown _1190614251.unknown _1190614131.unknown _1181461096.unknown _1190048696.unknown _1190051082.unknown _1190051435.unknown _1190051859.unknown _1190051353.unknown _1190050962.unknown _1190051037.unknown _1190048721.unknown _1190050861.unknown _1190048636.unknown _1190048653.unknown _1190048663.unknown _1190048646.unknown _1181461203.unknown _1181461223.unknown _1181461114.unknown _1180877135.unknown _1180877139.unknown _1181106522.unknown _1181106545.unknown _1181106579.unknown _1180877141.unknown _1180877142.unknown _1180877137.unknown _1180877138.unknown _1180877136.unknown _1180877133.unknown _1180877134.unknown _1180877132.unknown _1180877114.unknown _1180877122.unknown _1180877126.unknown _1180877129.unknown _1180877130.unknown _1180877128.unknown _1180877124.unknown _1180877125.unknown _1180877123.unknown _1180877118.unknown _1180877120.unknown _1180877121.unknown _1180877119.unknown _1180877116.unknown _1180877117.unknown _1180877115.unknown _1180877105.unknown _1180877109.unknown _1180877111.unknown _1180877112.unknown _1180877110.unknown _1180877107.unknown _1180877108.unknown _1180877106.unknown _1180877100.unknown _1180877103.unknown _1180877104.unknown _1180877102.unknown _1180877098.unknown _1180877099.unknown _1180877097.unknown _1121784590.unknown _1180463634.unknown _1180877054.unknown _1180877058.unknown _1180877060.unknown _1180877061.unknown _1180877059.unknown _1180877056.unknown _1180877057.unknown _1180877055.unknown _1180877050.unknown _1180877052.unknown _1180877053.unknown _1180877051.unknown _1180463943.unknown _1180463985.unknown _1180463872.unknown _1131820763.unknown _1178726745.unknown _1178730259.unknown _1179517927.unknown _1180006446.unknown _1178730416.unknown _1178730850.unknown _1178730879.unknown _1178733295.unknown _1178816899.unknown _1178733270.unknown _1178730865.unknown _1178730813.unknown _1178730392.unknown _1178730406.unknown _1178730373.unknown _1178730046.unknown _1178730243.unknown _1178730252.unknown _1178730228.unknown _1178730065.unknown _1178726983.unknown _1178729372.unknown _1178730030.unknown _1178730039.unknown _1178729809.unknown _1178729827.unknown _1178727166.unknown _1178727216.unknown _1178727122.unknown _1178726884.unknown _1178726958.unknown _1178726769.unknown _1149838352.unknown _1178724279.unknown _1178724646.unknown _1178726662.unknown _1178726725.unknown _1178726314.unknown _1178726450.unknown _1178726361.unknown _1178726288.unknown _1178724446.unknown _1178724459.unknown _1178724309.unknown _1178724344.unknown _1178180366.unknown _1178180375.unknown _1178180389.unknown _1178724222.unknown _1178180369.unknown _1168282553.unknown _1178180360.unknown _1149921318.unknown _1131824469.unknown _1131826759.unknown _1135616812.unknown _1135620044.unknown _1135620145.unknown _1139902570.unknown 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