关于有界函数的一个不等式

2006年第 13期 数 学 通 讯 33 关于有界函数的一个不等式 张赛琼 (宁海柔石中学，浙江 315600) 中图分类号：O122．3 文献标识码：A 文章编号：0488—7395(2006)13—0033—01 在三角函数 中 Y=sinx，Y=∞s 均为有界 函 数．我们也经常看到有关三角不等式涉及几个三角 函数值的积与和的不等式的证明题．为此笔者对有 界函数作了研究 ，发现从有界函数的定义出发 ，推导 出该有界函数的任意几个函数值的和与积之间的一 个不等式． 有界函数的定义为：Y=，( )是定义在 D上的 函数，对任意 ∈D，都有I f(x)I≤M (其中ME R )，则称厂( )为定义域 D上的有界函数．由此定 义可得以下定理． 定理 设 Y=厂( )是定义在 D上的有界函数 ， 则当I厂( )I≤M (MER )时，有 ( 一1) +ll f( )≥ 一 互f(x )， 其中 ∈D(i=1，2，⋯ )，等号当且仅当f(矗)= M (i：1，2，⋯， )时成立． 证 (利用数学归纳法) 1)当 =1时，左边 =f( )，右边 ：f(x )，所 以命题成立． 2)假设当 =k(k≥1)时，命题成立，即(k— 1)M +ll f( )≥M 一 ∑ f( )，则当 =k+1 时，因为 [ _ ． II ． f(x )][M—f(xk+ )]>／o， 一 +1 所以 M + ll，( )≥ M Ⅱ ，(丑 )+ M*f( +1)． 由归纳假设得 ： ” + II ． f(x )≥ f(x )一(k一1) “ +M*f(xk+1)， 即 [(k+1)一1] + lI，( )≥ + l l M ∑ 厂(矗)，因此当 ／-／=k+1时，命题也成立． 由1)，2)可知，对任何 ／-／∈N命题成立． 此定理虽然繁杂，但由此定理我们可以得到一 系列简捷有用的推论． 推论 1 当 M =l时 ，不等式可简化为 (，z—1)+Jl f( )≥． )． f 1 f 1 推论 2 若 M：1， l= 2__⋯= ： ，则(，2 1)+厂( )≥ f(x)． 推论 3 特别地取 )为某些三角函数 ，可以 得到许多新的三角不等式 ． ( 一1)-I-儿sinAf≥∑ sinA‘ i l l l ( 一1)+儿 cosAi≥∑cosAi i 1 l l ( 一1)-I-II tanAf≥∑ tanA 1 l 1 l 其中A∈[五7c一号，五7c+詈]，kEZ (1) (2) (3) ( 一1)+II cotAf≥∑cotAi (4) f l f l 基中AiE Ek +号，五 +等]，kEZ． 下面给出几个应用． 例 1 求证 ：2+sinAsinBsinC≥sinA+sinB+ sinC． 证 由推论 3中的(3)式，令 Y／=3，A =A，A： =B，A3=C即可． 例2求证：eosA+eosB+∞sc≤詈(其中A +B+C=7c)． 证 ’．’OOSXOOSy = 1 [CO6( + Y)+ 瞄 (x-y)]= _Sin2 ． ≤∞s2 ， ． 。 ． cosAmsBCO6C=2cc~AmsBCO6Ccos60。 2 (A+B) 2(60。+C) -~ cos ——— —一 CO6 ——— —一 ≤ 堡 =吉． 又由推论 3中的(2)得： msA+eosB+eosC≤2+cosAeosBeosC ≤2+ 1= 17 ． 例 3 已知 0<口<7c，求证 ：4csca～cos2口>／5． 证 由推论 2得：2+sin3口~3sin口， ’ ．’0<口<7c，．’．sina>0，．。．2csca+s；n2口≥3． 又·．·cos2口：1—2sin2口，．-．sjn2口：—1- — c os2a ． ． · ． 2esc口+sin 口：2esc口+ 二__ 姿 ≥3 ． 则 4esc口一cos2口≥5． ． 收稿日期：2006—03—14 作者简介：张赛琼(197o_-)，女，浙江宁海人，浙江宁海柔石中学一级教师，学士 维普资讯 http://www.cqvip.com