有界函数

设f(x)是区间E上的。若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。 等价定义 　　设ƒ(x)是区间E上的函数。若对于任意的x属于E，存在常数M≥0，使得ƒ|(x)|≤M，则称ƒ(X)是区间E上的有界函数。 例如 正弦函数sin x 和余弦函数 cos x为R上的有界函数，因为对于每个x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1 相关概念 　　设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L） 　　则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。 　　根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。 　　一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列f = ( a0, a1, a2, ... ) 是有界的，如果存在一个数M > 0，使得对于所有的自然数n，都有 　　|an| ≤M。 例子 　　由ƒ (x)=sin x所定义的函数f:R → R是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。 函数 （x不等于-1或1）是无界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为[2, ∞).，则函数就是有界的。 　　函数 是有界的。 　　任何一个连续函数f:[0,1] → R都是有界的。 考虑这样一个函数：当x是有理数时，函数的值是0，而当x是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。函数的性质：有界性，单调性，周期性，连续性，可积性。 单调性 　　闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。 连续性 　　闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。 可积性 　　可积函数在其定义域上必有界。其逆命题不成立无界函数 · 　　类似的我们可以定义无界函数: 设ƒ为定义在D上的函数，若对于任何M（无论M多大），都存在x0∈D，使得|ƒ(x)|≥M。M可以不再定义域上 有界函数 有界函数（红）和无界函数（蓝）。 定义在集合X上的函数称为有界的，如果它所有的值所组成的集合是有界的。也就是说，存在一个数M>0，使得对于X中的所有x，都有 。 有时，如果对于X中的所有x，都有，则函数称为上有界的，A就是它的上界。另一方面，如果对于X中的所有x，都有，则函数称为下有界的，B就是它的下界。 一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列f = ( a0, a1, a2, ... ) 是有界的，如果存在一个数M > 0，使得对于所有的自然数n，都有 |an| ≤ M。 例子 · 由f (x)=sin x所定义的函数f:R → R是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。 · 函数 （x不等于−1或1）是无界的。当x越来越接近−1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为[2, ∞).，则函数就是有界的。 · 函数 是有界的。 · 任何一个连续函数f:[0,1] → R都是有界的。 · 考虑这样一个函数：当x是有理数时，函数的值是0，而当x是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。