圆锥曲线单元测试

高三数学 圆锥曲线单元测试 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1．（2008年北京卷）若点 到直线 的距离比它到点 的距离小1，则点 的轨迹为 （ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为 （ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线 ,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离 之比等于 （ ） A． B． C． 2 D．4 4．与 轴相切且和半圆 内切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ） A． B． C． D． 5．直线 与曲线 的公共点的个数为 （ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 6．如果方程 表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ ） A． B． C． D． 7．（2008年江西文卷）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 8．双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 （ ） A． B． C． D． 9．设过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 、 两点，点 与点 关于 轴对称， 为坐标原点，若 ，且 ，则 点的轨迹方程是 （ ） A． B． C． D． 10．抛物线 上的点到直线 距离的最小值是 （ ） A． B． C． D． 11．已知抛物线 上一定点 和两动点 当 是,点 的横坐标的取值范围是 （ ） A． B． C． D． EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 12．椭圆 上有 个不同的点: ,椭圆的右焦点为 ,数列 是公差大于 的等差数列,则 的最大值为 （ ） A．199 B．200 C．198 D．201 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上) 13．椭圆 的两个焦点为 ,点 在椭圆上.如果线段 的中点在 轴上,那么 是 的______________倍. 14．如图把椭圆 的长轴AB分成8等 分,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部 分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= . 15．要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为____________. 16．已知两点 ,给出下列直线方程:① ;② ;③ .则在直线上存在点 满足 的所有直线方程是_______.(只填序号) 三、解答题(本大题共6小题, 共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 . 观测点 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； （2）试问：当航天器在 轴上方时，观测点 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天 器发出变轨指令？ 18．（本小题满分12分）(2008年上海卷)已知双曲线 ， 为 上的任意点。 （1）求证：点 到双曲线 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点 的坐标为 ，求 的最小值； 19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,离心率为 ,一个焦点是 ( 为大于0的常数). （1）求椭圆的方程; （2）设 是椭圆上一点,且过点 的直线 与 轴交于点 ,若 ,求直线 的斜率. 20．（本小题满分12分）已知点 分别是椭圆 长轴的左、右端点,点 是椭圆的右焦点.点 在椭圆上,且位于 轴的上方, . （1）求点 的坐标; （2）设 椭圆长轴 上的一点, 到直线 的距离等于 ,求椭圆上的点到点 的距离 的最小值. 21．（本小题满分12分）（2008年陕西卷）已知抛物线 ： ，直线 交 于 两点， 是线段 的中点，过 作 轴的垂线交 于点 ． （Ⅰ）证明：抛物线 在点 处的切线与 平行； （Ⅱ）是否存在实数 使 ，若存在，求 的值；若不存在，说明理由． 22．（本小题满分14分）设 , 为直角坐标平面内 轴正方向上的单位向量,若向量 , ,且 . （1）求点 的轨迹 的方程; （2）过点(0,3)作直线 与曲线 交于 两点,设 ,是否存在这样的直线 ,使得四边形 是矩形?若存在,求出直线 的方程;若不存在,试说明理由. 答案与解析 1．D . 把 到直线 向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。 2．D . 椭圆 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 的焦点为(2,0)，则 ，故选D． 3．答案选C 依题意可知 ， ，故选C． 4．A 设动圆圆心为 ,动圆与已知半圆相切的切点为 ,点 到 轴的距离为 ,则有 ,而 ,所以 ,化简得 . 5．D．将 代入 得： ，显然该关于 的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4 个，故选择答案D． 6．D．由题意知, .若 ,则双曲线的焦点在 轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在 轴上,而选择支B,D不表示椭圆; 若 ,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方 ,双曲线的焦点在 轴上,选择支D的方程符合题意. 7．C.由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则 又 ,所以 8．A . 一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。一下，因为等号后为常数“+”，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2的系数为“+”，所以这个双曲线是“立”着的。接下来排除C、D两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线，“x2”与“y2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式是或（），题目中的双曲线方程并不是标准形式，所以要变一下形儿，变成。由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方 = 4.即，所以。选A．当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案A圈出来 9．D．由 及 分别在 轴的正半轴和 轴的正半轴上知， EMBED Equation.DSMT4 ， ，由点 与点 关于 轴对称知， ， = ，则 10．A .抛物线上任意一点（，）到直线的距离.因为，所以恒成立.从而有，.选A． 11．D .由题意知,设 ,又因为 ,由 知, ,即 ,也就是 ,因为 ,所以上式化简得 ,由基本不等式可得 或 . 12．D . 由题意知,要使所求的 最大,应使 最小, 最大,又 为椭圆的右焦点,设 的横坐标为 故由第二定义可得, ,其中 ,所以当 时, ,当 时, 最大.由等差数列的通项公式可得, ,即 ,又因为 ,解得 . 13．7倍. 由已知椭圆的方程得 .由于焦点 关于 轴对称,所以 必垂直于 轴.所以 ,所以 . 14．35. 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P7(x7,y7),所以根据对称关系x1+x2+…+x7=0,于是 |P1F|+|P2F|+…+|P7F|=a+ex1+a+ex2+…+a+ex7=7a+e(x1+x2+…+x7)= 7a=35,所以应填35. 15．1米. 由题意知,设抛物线的方程为 ,又抛物线的跨度为16,拱高为4,所以点(8,-4)为抛物线上的点,所以 .即抛物线方程为 .所以当 时, ,所以柱子的高度为1米. 16．②③. 由 可知点 在双曲线 的右支上,故只要判断直线与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为 ,直线①过原点且斜率 ,所以直线①与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在 轴上的截距为 故与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率 ,故与双曲线的右支有一个交点. 17．（1）设曲线方程为 ， 由题意可知， . . 曲线方程为 . （2）设变轨点为 ，根据题意可知 得 ， 或 （不合题意，舍去）. . 得 或 （不合题意，舍去）. EMBED Equation.3 点的坐标为 ， . 答：当观测点 测得 距离分别为 时，应向航天器发出变轨指令. 18．（1）设 是双曲线上任意一点， 该双曲的两条渐近线方程分别是 和 . 点 到两条渐近线的距离分别是 和 ， 它们的乘积是 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 点 到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. （2）设的坐标为 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， 的最小值为 ， 即 的最小值为 . 19．（1）设所求椭圆方程为: .由已知得: ,所以 .故所求椭圆的方程为: . （2）设 ,直线 ,则点 .当 时,由于 .由定比分点坐标公式,得 , .又点 在椭圆上,所以 ,解得 .当 时, , .于是 ,解得 .故直线 的斜率为0或 . 20．（1）由已知可得点 , 设点 ,则 , ,由已知可得 .则 解得 .由于 ,只能 于是 . 所以点P的坐标是 . （2）直线 的方程是 .设点 ,则 到直线 的距离是 . 于是 ,又 ,解得 . 椭圆上的点 到点 的距离 有 EMBED Equation.DSMT4 ,由于 ,所以当 时, 取得最小值 . 21．解：解法一：（Ⅰ）如图，设 ， ， 把 代入 得 ， 由韦达定理得 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 点的坐标为 ． 设抛物线在点 处的切线 的方程为 ， 将 代入上式得 ， 直线 与抛物线 相切， ， ． 即 ． （Ⅱ）假设存在实数 ，使 ，则 ，又 是 的中点， ． 由（Ⅰ）知 ． EMBED Equation.DSMT4 轴， ． 又 ． ，解得 ． 即存在 ，使 ． 解法二：（Ⅰ）如图，设 ，把 代入 得 ．由韦达定理得 ． EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 点的坐标为 ． ， ， 抛物线在点 处的切线 的斜率为 ， ． （Ⅱ）假设存在实数 ，使 ． 由（Ⅰ）知 ，则 ， ， ，解得 ． 即存在 ，使 ． 22．（1）由 ,得 ,设 则动点 满足 ,所以点 在椭圆上,且椭圆的 .所以轨迹 的方程为 . （2）设直线的斜率为 ,则直线方程为 ,联立方程组 消去 得: , 恒成立,设 ,则 .由 ,所以四边形 为平行四边形.若存在直线 ,使四边形 为矩形,则 ,即 ,解得 ,所以直线 的方程为 ,此时四边形 为矩形. x A y 1 1 2 M N B O _1209191097.unknown _1274775434.unknown _1274776080.unknown _1274968832.unknown _1274969036.unknown _1275725973.unknown _1275726125.unknown _1275726164.unknown _1281340226.unknown _1275726151.unknown _1275725987.unknown _1274969201.unknown _1274969270.unknown _1274969312.unknown _1275725959.unknown _1274969319.unknown _1274969280.unknown _1274969238.unknown _1274969243.unknown _1274969207.unknown _1274969113.unknown _1274969148.unknown _1274969050.unknown _1274968920.unknown _1274968941.unknown _1274968998.unknown _1274968934.unknown _1274968867.unknown _1274968896.unknown _1274968856.unknown _1274776275.unknown _1274785303.unknown _1274785528.unknown _1274968797.unknown _1274968821.unknown _1274785558.unknown _1274785576.unknown _1274797692.unknown _1274785566.unknown _1274785545.unknown _1274785463.unknown _1274785504.unknown _1274785338.unknown _1274785248.unknown _1274785274.unknown _1274776276.unknown _1274785201.unknown _1274776135.unknown _1274776272.unknown _1274776273.unknown _1274776270.unknown _1274776271.unknown _1274776268.unknown _1274776269.unknown _1274776137.unknown _1274776107.unknown _1274776110.unknown _1274776094.unknown _1274775654.unknown _1274775814.unknown _1274775935.unknown _1274776069.unknown _1274776075.unknown _1274776036.unknown _1274775907.unknown _1274775926.unknown _1274775863.unknown _1274775741.unknown _1274775768.unknown _1274775774.unknown _1274775761.unknown _1274775663.unknown _1274775694.unknown _1274775658.unknown _1274775512.unknown _1274775615.unknown _1274775648.unknown _1274775628.unknown _1274775632.unknown _1274775522.unknown _1274775604.unknown _1274775517.unknown _1274775465.unknown _1274775485.unknown _1274775498.unknown _1274775478.unknown _1274775455.unknown _1274775460.unknown _1274775440.unknown _1272369617.unknown _1274768892.unknown _1274775367.unknown _1274775404.unknown _1274775416.unknown _1274775431.unknown _1274775411.unknown _1274775381.unknown _1274775396.unknown _1274775372.unknown _1274768921.unknown _1274775336.unknown _1274775351.unknown _1274768939.unknown _1274768905.unknown _1274768916.unknown _1274768899.unknown _1274768826.unknown _1274768854.unknown _1274768869.unknown _1274768874.unknown _1274768863.unknown _1274768840.unknown _1274768845.unknown _1274768831.unknown _1274592814.unknown _1274768805.unknown _1274768820.unknown _1274768797.unknown _1274592802.unknown _1272369662.unknown _1274592788.unknown _1274592793.unknown _1272369623.unknown _1211218640.unknown _1211227941.unknown _1211438455.unknown _1271503978.unknown _1271504012.unknown _1271922235.unknown _1272369601.unknown _1271922078.unknown _1271503979.unknown _1211650110.unknown _1211866182.unknown _1211866304.unknown _1271503850.unknown _1211866320.unknown _1211866199.unknown _1211866224.unknown _1211866111.unknown _1211866151.unknown _1211866026.unknown _1211649908.unknown _1211650003.unknown _1211459624.unknown 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