Lcg
第十一章 圆锥曲线
一、基础知识
1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹,即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).
第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0
标准方程,若焦点在x轴上,列标准方程为
(a>b>0),
参数方程为(为参数)。
若焦点在y轴上,列标准方程为
(a>b>0)。
3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆
,
a称半长轴长,b称半短轴长,c称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为,与右焦点对应的准线为;定义中的比e称为离心率,且,由c2+b2=a2知0
b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点,则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.
5.几个常用结论:1)过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为
;
2)斜率为k的切线方程为;
3)过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为
。
6.双曲线的定义,第一定义:
满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点P的轨迹;
第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。
7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在x轴上的双曲线方程为
,
参数方程为(为参数)。
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为
。
8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在x轴上的双曲线
(a, b>0),
a称半实轴长,b称为半虚轴长,c为半焦距,实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0),对应的左、右准线方程分别为离心率,由a2+b2=c2知e>1。两条渐近线方程为,双曲线与有相同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b,则称为等轴双曲线。
9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线,F1(-c,0), F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点,若P在右支上,则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a;若P(x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a.
2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是。
10.抛物线:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫焦点,直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l相交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点F坐标为,准线方程为,标准方程为y2=2px(p>0),离心率e=1.
11.抛物线常用结论:若P(x0, y0)为抛物线上任一点,
1)焦半径|PF|=;
2)过点P的切线方程为y0y=p(x+x0);
3)过焦点倾斜角为θ的弦长为。
12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为O,从O出发的射线为极轴记为Ox轴,这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点P,记|OP|=ρ,∠xOP=θ,则由(ρ,θ)唯一确定点P的位置,(ρ,θ)称为极坐标。
13.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P,若01,则点P的轨迹为双曲线的一支;若e=1,则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。
二、方法与例题
1.与定义有关的问题。
例1 已知定点A(2,1),F是椭圆的左焦点,点P为椭圆上的动点,当3|PA|+5|PF|取最小值时,求点P的坐标。
例2 已知P,为双曲线C:右支上两点,延长线交右准线于K,PF1延长线交双曲线于Q,(F1为右焦点)。求证:∠F1K=∠KF1Q.
2.求轨迹问题。
例3 已知一椭圆及焦点F,点A为椭圆上一动点,求线段FA中点P的轨迹方程。
例4 长为a, b的线段AB,CD分别在x轴,y轴上滑动,且A,B,C,D四点共圆,求此动圆圆心P的轨迹。
例5 在坐标平面内,∠AOB=,AB边在直线l: x=3上移动,求三角形AOB的外心的轨迹方程。
3.定值问题。
例6 过双曲线(a>0, b>0)的右焦点F作B1B2轴,交双曲线于B1,B2两点,B2与左焦点F1连线交双曲线于B点,连结B1B交x轴于H点。求证:H的横坐标为定值。
注:本例也可借助梅涅劳斯定理,读者不妨一试。
例7 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在准线上,且BC//x轴。证明:直线AC经过定点。
例8 椭圆上有两点A,B,满足OAOB,O为原点,求证:为定值。
4.最值问题。
例9 设A,B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点,且OAOB(O为原点),求|AB|的最大值与最小值。
例10 设一椭圆中心为原点,长轴在x轴上,离心率为,若圆C:1上点与这椭圆上点的最大距离为,试求这个椭圆的方程。
5.直线与二次曲线。
例11 若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点,试求a的取值范围。
例12 若直线y=2x+b与椭圆相交,(1)求b的范围;(2)当截得弦长最大时,求b的值。
三、基础训练题
1.A为半径是R的定圆⊙O上一定点,B为⊙O上任一点,点P是A关于B的对称点,则点P的轨迹是________.
2.一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2(>0),则动点的轨迹是________.
3.椭圆上有一点P,它到左准线的距离是10,它到右焦点的距离是________.
4.双曲线方程,则k的取值范围是________.
5.椭圆,焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=600,则ΔF1PF2的面积是________.
6.直线l被双曲线所截的线段MN恰被点A(3,-1)平分,则l的方程为________.
7.ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上,点A(2,8),且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合,则直线BC的斜率为________.
8.已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0,一条准线方程为5y+4=0,则双曲线方程为________.
9.已知曲线y2=ax,与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点,如果过这两个交点的直线的倾斜角为450,那么a=________.
10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点,的取值范围是________.
11.已知椭圆与双曲线有公共的焦点F1,F2,设P是它们的一个焦点,求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。
12.已知(i)半圆的直径AB长为2r;(ii)半圆外的直线l与BA的延长线垂直,垂足为T,设|AT|=2a(2a<);(iii)半圆上有相异两点M,N,它们与直线l的距离|MP|,|NQ|满足求证:|AM|+|AN|=|AB|。
13.给定双曲线过点A(2,1)的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2,求线段P1P2的中点的轨迹方程。
四、高考水平测试题
1.双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点,它的一条渐近线方程是=0,则此双曲线的标准方程是_________.
2.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若A,B在抛物线准线上的射影分别是A1,B1,则∠A1FB1=_________.
3.双曲线的一个焦点为F1,顶点为A1,A2,P是双曲线上任一点,以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________.
4.椭圆的中心在原点,离心率,一条准线方程为x=11,椭圆上有一点M横坐标为-1,M到此准线异侧的焦点F1的距离为_________.
5.4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆恰有一个公共点的_________条件.
6.若参数方程(t为参数)示的抛物线焦点总在一条定直线上,这条直线的方程是_________.
7.如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点,则m的范围是_________.
8.过双曲线的左焦点,且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条.
9.过坐标原点的直线l与椭圆相交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F,则直线l的倾斜角为_________.
10.以椭圆x2+a2y2=a2(a>1)的一个顶点C(0,1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC,这样的三角形最多可作_________个.
11.求椭圆上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。
12.设F,O分别为椭圆的左焦点和中心,对于过点F的椭圆的任意弦AB,点O都在以AB为直径的圆内,求椭圆离心率e的取值范围。
13.已知双曲线C1:(a>0),抛物线C2的顶点在原点O,C2的焦点是C1的左焦点F1。
(1)求证:C1,C2总有两个不同的交点。
(2)问:是否存在过C2的焦点F1的弦AB,使ΔAOB的面积有最大值或最小值?若存在,求直线AB的方程与SΔAOB的最值,若不存在,说明理由。
五、联赛一试水平训练题
1.在平面直角坐标系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆,则m的取值范围是_________.
2.设O为抛物线的顶点,F为焦点,且PQ为过F的弦,已知|OF|=a,|PQ|=b,ΔOPQ面积为_________.
3.给定椭圆,如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P,Q两点,且OPOQ,则离心率e的取值范围是_________.
4.设F1,F2分别是双曲线(a>b>0)的左、右焦点,P为双曲线上的动点,过F1作∠F1PF2平分线的垂线,垂足为M,则M的轨迹为_________.
5.ΔABC一边的两顶点坐标为B(0,)和C(0,),另两边斜率的乘积为,若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_________.
6.长为l(l<1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动,则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_________.
7.已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa,M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一个交点分别为M1,M2,当M变动时,直线M1M2恒过一个定点,此定点坐标为_________.
8.已知点P(1,2)既在椭圆内部(含边界),又在圆x2+y2=外部(含边界),若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________.
9.已知椭圆的内接ΔABC的边AB,AC分别过左、右焦点F1,F2,椭圆的左、右顶点分别为D,E,直线DB与直线CE交于点P,当点A在椭圆上变动时,试求点P的轨迹。
10.设曲线C1:(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。(1)求实数m的取值范围(用a表示);
(2)O为原点,若C1与x轴的负半轴交于点A,当0答案 :
基础训练题
1.圆。设AO交圆于另一点是A关于的对称点。则因为AB,所以P在以为直径的圆上。
2.圆或椭圆。设给定直线为y=±kx(k>0),P(x,y)为轨迹上任一点,则。化简为2k2x2+2y2=m2(1+k2).
当k≠1时,表示椭圆;当k=1时,表示圆。
3.12.由题设a=10,b=6,c=8,从而P到左焦点距离为10e=10×=8,所以P到右焦点的距离为20-8=12。
4.-2