3-2连续计息问题

null数学建模实 验*数学建模实 验王汝军 河西学院数学与统计学院wangrujun711@163.com实验二 连续计息问题*实验二 连续计息问题wangrujun711@163.com王汝军 河西学院数学与统计学院实验目的实验目的1．加深对极限、微分求导、极值等基本概念的理解。 2．讨论了微分学中的实际应用问题。 3．掌握MATLAB软件中有关极限、级数、导数等命令。*实验内容实验内容*若银行一年活期年利率为r ，那么储户存10万元的人民币，一年到期后结算额为10×（1＋r ）万元。如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若每三月结算一次，由于复利，储户存的10万元一年后可得10×(1＋r /4)4 万元，显然这比一年结算一次要多，因为多次结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。 实验内容实验内容*现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款取款，结算本息的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行要不断地向储户支付利息，称为连续复利问题。连续复利会造成算额无限增大吗？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？ 如果活期存款年利率为2.9%，那么一年、三年、十年定期存款的年利率就定为多少才是等价的？实验准备1实验准备11．极限和连续 　　极限是高等数学最基本的概念，它带来了很多深刻的结果。 数列极限： 函数极限： 连续：左右连续 定理1　连续函数在闭区间上必然能达到最大值和最小值，且可取得最大值和最小值间的任意值。*实验准备1实验准备12．微分与导数 二者定义： 函数点导数反映了在 点附近函数 的变化率当 ，函数在 点附近是上升的，反之 当 ，函数在 点附近是下降的，而当 ，往往（但不一定）标志函数在 点达到局部极小或局部极大。 定理2　函数 在 点附近达到局部极小（或局部极大）的充分条件是 且 （ 或 ）。*实验准备1实验准备1*从几何意义上说， 是函数在点切线的斜率，显然有 ，可见导数是微分的商，所以也称微商。 由导数的定义，若 在 处可导，设 且足够小，由导数定义的右、左极限， 分别称为向前差商和向后差商。　　　　　　　　　　 实验准备1实验准备1事实上，对于连续函数，两式正好求得右导数和左导数，两式平均得 称为中心差商，用中心差商求得的导数精度较高。 *实验准备1实验准备1Taylor公式是微分学中一个非常重要的结论，当 在含有 某个开区间内具有直到 n＋1阶的导数，那么当 ，有 其中 是 与 之间的某个值。 Taylor公式表明，一个可微性很好的函数可局部地用多项式函数近似地代替。 *实验准备1实验准备1特别地，当 可得到微分中值定理 它表明在 与 之间存在一点 ，使得 恰为 从 到 的平均变化率，但中值定理不能给出 的确定位置。当 离 不远，且 在 附近连续，有 它表明任意光滑函数可局部线性化，常用于非线性函数的近似和计算。 *实验准备2实验准备21. 求函数的极限，使用命令limit limit( F , x , a )　返回符号表达式F当x→a时的极限； limit( F , x , a ,'right' )　返回符号表达式F当x→a时的右极限； limit( F , x , a, 'left' )　返回符号表达式F当x→a时的左极限。*实验准备2实验准备22.求函数的导数 Y = diff( X )　返回向量X的差分； Y = diff( X , n )　返回向量X的n阶差分； diff( S , 'v' )　返回符号表达式S对变量v的导数； diff( S , 'v' , n )　返回符号表达式S对变量v的n阶导数；*实验准备2实验准备23.和Taylor展开式 k = polyder( p )　返回多项式p的导数； k = polyder( a , b )　返回多项式a×b的导数； r = taylor( f , n , v , a )　返回符号表达式f关于变量v在a点处Taylor展开到n次式； 有关上述命令的详细用法可查阅MATLAB帮助。 *实验方法实验方法设储户结算结算频率为n，年利率为r，第k次结算本息的结算额为ak，那么可以得到下列差分方程 对上述差分方程化简，得 随着结算次数的无限增加，即在上式中 ,故一年后本息共计： *null在MATLAB命令窗口输入下述命令： syms n a=limit(100000*(1+0.029/n)^n,n,inf) a =1.0294e+005 可见，随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳定于1.0294e+005元，储户并不能通过该方式成为百万富翁. *null实际上，年利率为r， syms n r a=limit(100000*(1+r/n)^n,n,inf) a =100000*exp(r) 一年结算无限次，总结算额有一个上限，即100000*exp(r)元，它表明在 时，结果将稳定于这个值。 *null我们把连续活期存款利率作为连续复利率， ，设一年定期的年利率为r＝2.9% ，那么应有　　　1＋r ＝ er0 从而有 　　　　 r＝ er0 － 1＝2.94% 同理，三年定期的年利率为 　　　　 r＝ (e3r0 － 1)/3＝3.03% 相应，十年定期的年利率为 　　　　r＝ (e10r0 － 1)/3＝3.36% 一般情况下，银行的定期利率要更高，以鼓励长期定期存款。 *思考与练习思考与练习P179 课后练习题*