第二章第五节

null2.5 函数的微分与线性逼近2.5 函数的微分与线性逼近一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的计算 四、函数的一阶线性逼近null实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.一、微分的概念null再例如,既容易计算又是较好的近似值问:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?null定义.微分的定义(微分的实质)null由定义知:可微的条件可微的条件定理证(1) 必要性null(2) 充分性定理nullnull例1解nullMN）几何意义:(如图)以直代曲的思想是微积分的核心思想二、微分的几何意义三、微分的计算三、微分的计算求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式null2. 函数和、差、积、商的微分法则null例3解例4解一阶微分形式的不变性3. 复合函数的微分结论：一阶微分形式的不变性null例6解例5解null例7解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.四、函数的一阶线性逼近四、函数的一阶线性逼近计算函数改变量的近似值当很小时,得近似等式:null当很小时,得近似等式:线性近似公式使用原则:null例1解null常用近似公式null例2解小结小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★null导数与微分的区别:★null近似计算的基本公式一阶线性逼近一阶线性逼近使用原则:null思null思考题解答说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念. 思考与练习思考与练习1. 设函数的图形如下, 试在图中标出的点处的及并说明其正负 .2.2.5. 设5. 设由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求则null1. 已知求解：因为所以备用题2.方程两边求微分, 得已知求解：2.