指数函数与对数函数知识总结及练习

指数函数与对数函数 知识点： 1、 指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=ax (a>0且a≠1) y=logax (a>0 , a≠1) 定义域 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点 （０，1） （1，０） 图象 指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称 单调性 a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 奇偶性 非奇非偶函数 2. 比较两个幂值的大小，是一类易错，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同 2、 ，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象： 　　　　　 3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。 复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数 （2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论 【典型例题】 例1. （1）下图是指数函数（1）y＝ax，（2）y＝bx，（3）y＝cx，（4）y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（ ） A. a＜b＜1＜c＜d B. b＜a＜1＜d＜c C. 1＜a＜b＜c＜d D. a＜b＜1＜d＜c 剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c、d的大小，从（1）（2）中比较a、b的大小。 解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b＜a＜1＜d＜c。故选B。 解法二：令x＝1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，∴b＜a＜1＜d＜c。 例2. 已知2≤（）x－2，求函数y＝2x－2－x的值域。 解：∵2≤2－2（x－2），∴x2＋x≤4－2x， 即x2＋3x－4≤0，得－4≤x≤1。 又∵y＝2x－2－x是［－4，1］上的增函数， ∴2－4－24≤y≤2－2－1。 故所求函数y的值域是［－，］。 例3. 要使函数y＝1＋2x＋4xa在x∈（－∞，1）上y＞0恒成立，求a的取值范围。 解：由题意，得1＋2x＋4xa＞0在x∈（－∞，1）上恒成立， 即a＞－在x∈（－∞，1）上恒成立。 又∵－＝－（）2x－（）x ＝－［（）x＋］2＋， 当x∈（－∞，1）时值域为（－∞，－）， ∴a＞－。 评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法。  例4. 已知f（x）＝log［3－（x－1）2］，求f（x）的值域及单调区间。 解：∵真数3－（x－1）2≤3， ∴log［3－（x－1）2］≥log3＝－1， 即f（x）的值域是［－1，＋∞］。 又3－（x－1）2＞0，得1－＜x＜1＋， ∴x∈（1－，1）时，3－（x－1）2单调递增，从而f（x）单调递减； x∈［1，1＋］时，f（x）单调递增。 ： 1、（1） 的定义域为_______；（2） 的值域为_________； （3） 的递增区间为 ，值域为 2、（1） ，则 3、要使函数 在 上 恒成立。求 的取值范围。 指数函数与对数函数同步训练 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,则 的值为（ ）A.1 B.4 C.1或4 D. 或4 2.函数y=log (x2－6x+17)的值域是（ ）A.R B.［8，+ C.(－∞,－ D.［－3,+∞) 3.若a>1,b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(a－1)+lg(b－1)的值等于（ ） A.0 B.lg2 C.1 D.－1 4.设x∈R,若a1 C.00对于一切x∈R恒成立，②函数f(x)=－(5－2a)x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a的范围是（ ） A.(－2,2) B.(－∞,2) C.(－∞,－2) D.(－∞,－2］ 6.设函数f(x)=f( )lgx+1,则f(10)值为（ ）A.1 B.－1 C.10 D. 7.已知函数y=f(x)的反函数为f－1(x)=2x+1,则f(1)等于（ ）A.0 B.1 C.－1 D.4 8.若定义在区间（－1，0）内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是（ ） A.(0, ) B.(0, C.( ,+∞) D.(0,+∞) 9.已知函数y=f(2x)定义域为［1，2］,则y=f(log2x)的定义域为（ ） A.［1，2］ B.［4，16］ C.［０，1］ D.（－∞,0］ 10.已知f(x)=x2－bx+c,且f(0)=3,f(1+x)=f(1－x),则有（ ） A.f(bx)≥f(cx) B.f(bx)≤f(cx) C.f(bx)( )x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______. 14.f(x)= ，则f(x)值域为______. 三、解答题（本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（8分）已知函数f(x)=log 2x－log x+5,x∈［2,4］，求f(x)的最大值及最小值. 16.（10分）已知f(x)=lg .(1)求函数定义域.（2）求f－1(lg2). 17.(12分)已知函数f(x)= (ax－a－x)(a>0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围. 18.(12分)设函数f(x)=|lgx|,若0f(b),证明：ab<1. 19.（12分）某种细菌每隔两小时分裂一次，（每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f(t). （1）写出函数y=f(t)的定义域和值域. （2）在所给坐标系中画出y=f(t)(0≤t<6)的图象. （3）写出研究进行到n小时（n≥0，n∈Z)时，细菌的总数有多少个（用关于n的式子

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示）？ 指数函数与对数函数同步训练 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.考查对数函数及对数函数定义域.【解析】 原命题等价 x=4y ∴ =4 【

答案

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】 B 2.考查对数函数单调性、定义域、值域.【解析】 y=log ［(x－3)2+8］≤log 8=－3 【答案】 C 3.考查对数运算.【解析】 由lg(a+b)=lga+lgb a+b=ab 即(a－1)(b－1)=1, ∴lg(a－1)+lg(b－1)=0 【答案】 A 4.考查对数函数性质及绝对值不等式. 【解析】 令t=|x－3|+|x+7|,∴x∈R,∴tmin=10 y=lgt≥lg10=1,故a<1 【答案】 D 5.考查二次函数性质及逻辑推理能力.【解析】 ①等价于Δ=（2a)2－16<0 －21 a<2 ① ②有且只有一个为真，∴a∈(－∞,－2］ 【答案】 D 6.考查对数性质及函数对应法则理解.【解析】 ∵f(x)=f( )lgx+1,∴f( )=f(x)lg +1 ∴f(10)=f( )lg10+1,且f( )=f(10)lg +1 解得f(10)=1. 【答案】 A 7.考查反函数意义.【解析】 令f(1)=x,则f－1(x)=1,令2x+1=1,∴x=－1 【答案】 C 8.考查对数函数的单调性. 【解析】 f(x)=log2a(x+1)>0=log2a1 ∵x∈(－1,0),∴x+1<1, ∴0<2a<1,即00,1<2x<3x,∴f(2x)2x>3x,∴f(2x)－x－1恒成立 即x2－(2a－1)x+1>0恒成立 故Δ=（2a－1）2－4<0 － 0,得－10且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围. 考查指数函数性质.【解】 f(x)的定义域为R，设x1、x2∈R,且x10，且a≠1,∴1+ >0 ∵f(x)为增函数，则(a2－2)( a －a )>0 于是有 ， 解得a> 或0f(b),证明：ab<1. 考查对数函数性质、分类讨论思想.【解】 由题设，显然a、b不能同在（1，+∞) 否则，f(x)=lgx,且a1时，∵0f(b),得－lga>lgb，即 >b,∴ab<1 由①②可知ab<1 19.考查函数应用及分析解决问题能力. 【解】 （1）y=f(t)定义域为t∈［0,+∞),值域为{y|y=2n,n∈N*} （2）0≤t<6时，为一分段函数y= 图象如图 （3）n为偶数时，y=2 n为奇数时，y=2 ∴y= � EMBED MSPhotoEd.3 ��� _1123912542.unknown _1123912898.unknown _1149935188.unknown _1149935406.unknown _1149944996.unknown _1149945093.unknown _1149945141.unknown _1149945058.unknown _1149935478.unknown _1149935202.unknown _1149934865.unknown _1149935062.unknown _1149934780.unknown _1124187573.unknown _1124187592.unknown _1124187574.unknown _1123914537.unknown _1123914564.unknown _1123914595.unknown _1123914531.unknown _1123912980.bin _1123912723.unknown _1123912791.unknown _1123912876.unknown _1123912738.unknown _1123912606.unknown _1123912643.unknown _1123912654.unknown _1123912566.unknown _1123912591.unknown _1123911991.unknown _1123912365.unknown _1123912450.unknown _1123912466.unknown _1123912492.unknown _1123912526.unknown _1123912458.unknown _1123912404.unknown _1123912431.unknown _1123912386.unknown _1123912277.unknown _1123912327.unknown _1123912345.unknown _1123912315.unknown _1123912111.unknown _1123912261.unknown _1123912069.unknown _1123912079.unknown _1123912039.unknown _1123912047.unknown _1123912058.unknown _1123912012.unknown _1123911417.unknown _1123911684.unknown _1123911739.unknown _1123911834.unknown _1123911909.unknown _1123911927.unknown _1123911866.unknown _1123911770.unknown _1123911692.unknown _1123911453.unknown _1123911479.unknown _1123911491.unknown _1123911466.unknown _1123911431.unknown _1123911201.unknown _1123911279.unknown _1123911370.unknown _1123911399.unknown _1123911322.unknown _1123911237.unknown _1123911111.unknown _1123911143.unknown _1123911081.unknown