等腰三角形知识点总结

等腰三角形 　　　　　　　　　 一、目标认知 学习目标： 　　通过观察发现等腰三角形的性质；掌握等腰三角形的识别方法，会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明；理解等腰三角形与等边三角形的相互关系；能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形；掌握等边三角形的特征和识别方法；掌握一般文字命题的解题方法 重点： 　　等腰三角形的性质与判定。 难点： 　　比较复杂图形、题目的推理证明。 二、知识要点梳理 知识点一：等腰三角形、腰、底边 　　有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角 　　如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 INCLUDEPICTURE "http://video.etiantian.com/security/35d00a15a158cf17fa0bce0e025f6b9b/4c37e069/ett20/resource/381395770aad41a3cbe14ea4ef996cd9/tbjx.files/image001.jpg" \* MERGEFORMATINET 知识点二：等腰三角形的性质 　　1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 　　　 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 　　2、这两个性质证明如下： 　　　 在△ABC中，AB=AC，如图所示． 　　　　　　　 　　　 作底边BC的高AD，则有 　　　 ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD． 　　　 ∴ ∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD． 　　　 于是性质1、性质2均得证． 　　3、说明： 　　（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C； 　　　 　②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据． 　　（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD； 　　　 　　或∵ AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴ AD⊥BC． 　　　 　②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 　　（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情 　　　 　况只有一条对称轴． 知识点三：等腰三角形的判定定理 　　1、定理内容及证明 　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则 　　　　　 　　　　　所以△ABD≌△ACD（AAS）． 　　　　　所以，AB=AC． 　　2、 注意： 　　①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC． 　　②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据． 　　　另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆． 知识点四：等边三角形 　　1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形 　　如图所示． 　　　 　　2、注意： 　　①由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形． 　　②等边三角形具有等腰三角形的一切性质． 知识点五：等边三角形的性质 　　1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60° 　　2、理由如下：如上图所示，由AB=AC可得∠B=∠C，同样可得∠A=∠C，所以∠A=∠B=∠C． 　　　 而∠A+∠B+∠C=180°．则有∠A=∠B=∠C=60°． 　　注意：这条性质只有等边三角形具有． 知识点六：等边三角形的判定 　　1、等边三角形的判定： 　　（1）三个角都相等的三角形是等边三角形； 　　（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 　　2、证明如下： 　　(1)如下图所示，若∠A=∠B=∠C，可由∠A=∠B得，AC=BC；由∠A=∠C得，AB=BC．所以AB=AC=BC． 　　　 于是判定（1）成立． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(2)如上图所示，在△ABC中，AB=AC，若∠A=60°，则有∠B=∠C=60°，于是∠A=∠B=∠C． 　　　 由判定（1）得△ABC是等边三角形； 　　　 若∠B=60°，则∠B=∠C=60°，于是∠A=60°，∠A=∠B=∠C． 　　　 由判定（1）得△ABC是等边三角形。 所以判定（2）成立 　　 知识点七：直角三角形性质定理 1、定理内容：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 2、证明：如图所示，∠ACB=90°，∠A=30°．延长BC至使，则有AC垂直平分，故．又可得∠B=60°．于是△是等边三角形，故，　所以．即定理成立． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 三、规律方法指导 　　1．等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。 　　2．常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。