上海市尚德实验学校杨晓 Email:qdyangxiao@hotmail.com
初一数学竞赛讲座(二)
特殊的正整数
1、 知识要点
1、 完全平方数及其性质
定义1 如果一个数是一个整数的平方,则称这个数是完全平方数。如:1、4、9、…等都是完全平方数,完全平方数有下列性质:
性质1 任何完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9中的一个。
性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。
性质3 偶完全平方数是4的倍数。
性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。
性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数,完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。
2、 质数与合数
定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数,那么a叫做质数。
定义3 一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数外,还有其他正约数,那么a叫做合数。
1既不是质数也不是合数。
3、 质数与合数的有关性质
(1) 质数有无数多个
(2) 2是唯一的既是质数,又是偶数的整数,即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。
(3) 若质数p(a•b,则必有p(a或p(b。
(4) 若正整数a、b的积是质数p,则必有a=p或b=p.
(5) 唯一分解定理:任何整数n(n>1)可以唯一地分解为:
,
其中p1
分析:由题意得出abc=5(a+b+c),由此显然得质数a、b、c中必有一个是5,不妨设a=5,代入前式中再设法求b、c
解 因为abc=5(a+b+c),所以在质数a、b、c中必有一个是5,不妨设a=5,
于是5bc=5b+5c+25,即(b-1) (c-1)=6,而6=2
3=1
6,
则
①或
② 由①得b=3,c=4,不合题意,由②得b=2,c=7,符合题意。所以所求的三个质数是5,2,7。于是a2+b2+c2=78
评注:质数问题常常通过分解质因数来解决。
例4 试证:一个整数的平方的个位数字为6时,十位数字必为奇数。
分析:一个整数的平方的个位数字为6,则这个整数的个位数字必为4或6,从而可设此数为a=10g+4或a=10g+6 (g为整数)。
:设一个整数为a,则由一个整数的平方的个位数字为6知,此数可设为
a=10g+4或a=10g+6 (g为整数)
∴当a=10g+4时,a2=(10g+4)2=100g2+80g+16=10(10g2+8g+1)+6
当a=10g+6时,a2=(10g+6)2=100g2+120g+36=10(10g2+12g+3)+6
∴十位数字必为10g2+8g+1和10g2+12g+3的个位数字,显然是奇数。
评注:类似地,可以证明:一个整数的个位数字和十位数字都是奇数,则这个整数不是完全平方数。
例4 三人分糖,每人都得整数块,乙比丙多得13块,甲所得是乙的2倍,已知糖的总块数是一个小于50的质数,且它的各位数字之和为11,试求每人得糖的块数。(安徽省初中数学联赛试题)
分析:设出未知数,根据题意,列出方程和不等式组,再通过质数的性质来求解。
解 设甲、乙、丙分别得糖x、y、z块,依题意得
∵ 11=2+9=3+8=4+7=5+6,故小于50且数字和为11的质数只可能是29和47
若x+y+z=29,则可得4y=42 ,y不是整数,舍去。
若x+y+z=47,则可得4y=60,y=15,从而x=30,z=2
∴甲、乙、丙分别得糖30、15、2块.
评注:本题的关键是分析出小于50且数字和为11的质数只可能是29和47。这类问题是常利用质数的性质来分析求得所有的可能值,再设法检验求得所要的解。
例5 如果p与p+2都是大于3的质数,那么6是p+1的因数。(第五届加拿大数学奥林匹克试题)
分析 任何一个大于3整数都可以
示成6n-2,6n-1,6n,6n+1,6n+2,6n+3(n是大于0的整数)中的一种,显然6n-2,6n, 6n+2,6n+3都是合数,所以大于3的质数均可以写成6n+1或6n-1的形式,问题即证明p不能写成6n+1的形式。
解 因为p是大于3的质数,所以可设p=6n+1(n是大于0的整数),那么
p+2=6n+1+2=6n+3=3(2n+1) 与p+2是大于3的质数矛盾。
于是p≠6n+1,所以p=6n-1(n是大于0的整数),从而p+1=6n,即6是p+1的因数。
评注:对大于3整数合理分类是解决这个问题的关键。对无限多个整数进行讨论时,将其转化为有限的几类是一种常用的处理
。
例6 证明有无穷多个n,使多项式n2+3n+7表示合数。
分析:要使多项式n2+3n+7表示合数,只要能将多项式n2+3n+7表示成两个因式的积的形式。
证明 当n为7的倍数时,即n=7k(k是大于等于1的整数)时
n2+3n+7=(7k)2+3(7k+7=7(7k2+3k+1) 为7的倍数,所以它显然是一个合数。
评注:本题也可将7换成其他数,比如:3、5、11等等。
例7求证:22001+3是合数
分析:22001+3不能分解,22001次数又太高,无法计算。我们可以探索2 n的末位数字的规律,从而得出22001+3的末位数字,由此来证明22001+3是合数。
证明:∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,29=256,…
∴24k+1的末位数字是2,24k+2的末位数字是4,24k+3的末位数字是8,24k+4的末位数字是6(k为非负整数)
而2001=4
250+1 ∴22001的末位数字是2,∴22001+3的末位数字是5
∴5(22001+3,显然22001+3≠5 所以22001+3是合数
评注:本题另辟蹊径,通过探索2 n的末位数字的规律来得出22001+3的末位数字,从而证明22001+3是合数。解数学竞赛题,思路要开阔。
例8 求证大于11的整数一定可以表示成两个合数之和。
证明 设大于11的整数为N
若N=3k(k≥4,且k为整数),则N=6+3(k-2),显然6和3(k-2)都是合数
若N=3k+1(k≥4,且k为整数),则N=4+3(k-1),显然4和3(k-1)都是合数
若N=3k+2(k≥4,且k为整数),则N=8+3(k-2),显然8和3(k-2)都是合数
于是对任意正整数N(N>11),一定可以表示成两个合数之和。
评注:本题是通过对整数的合理分类来帮助解题,这是解决整数问题的一种常用方法。但要注意对整数的分类要不重复不遗漏。
例9 证明:n (n+1)+1(n是自然数)不能是某个整数的平方。
分析:注意到n (n+1)+1=n2+n+1,∵n是自然数,∴n2
n2,且
,则n1= ,n2=
解答题
13、证明:不存在这样的三位数
,使
成为完全平方数。
14、试求四位数
,使它是一个完全平方数。
15、a、b、c、d都是质数,且10