第二章 信源熵-习题答案

本课程由陈运姐亲自教授，她的课程令我震撼，真是一句都听不懂啊！ 有木有！！！ 2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？ 解： 四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3} 八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，则： 四进制脉冲的平均信息量 八进制脉冲的平均信息量 二进制脉冲的平均信息量 所以： 四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。 2.2 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？ 解： 设随机变量X代表女孩子学历 X x1（是大学生） x2（不是大学生） P(X) 0.25 0.75 设随机变量Y代表女孩子身高 Y y1（身高>160cm） y2（身高<160cm） P(Y) 0.5 0.5 已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的 即： 求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量 即： 2.3 一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问 (1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？ (2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？ 解： (1) 52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是： (2) 52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下： 2.4 设离散无记忆信源 ，其发出的信息为(202120130213001203210110321010021032011223210)，求 (1) 此消息的自信息量是多少？ (2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？ 解： (1) 此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是： 此消息的信息量是： (2) 此消息中平均每符号携带的信息量是： 2.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？ 解： 男士： 女士： 2.6 设信源 ，求这个信源的熵，并解释为什么H(X) > log6不满足信源熵的极值性。 解： 不满足极值性的原因是 。 2.7 证明：H(X3/X1X2) ≤ H(X3/X1)，并说明当X1, X2, X3是马氏链时等式成立。 证明： 2.8证明：H(X1X2 。。。 Xn) ≤ H(X1) + H(X2) + … + H(Xn)。 证明： 2.9 设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P(0) = 0.4，P(1) = 0.6的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的？ (2) 试计算H(X2), H(X3/X1X2)及H∞； (3) 试计算H(X4)并写出X4信源中可能有的所有符号。 解： (1) 这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间而且不论以前发生过什么符号……” (2) (3) 2.10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X的符号集为{0, 1, 2}。 (1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H∞。 解： (1) (2) 2.11黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X={黑，白}。设黑色出现的概率为P(黑) = 0.3，白色出现的概率为P(白) = 0.7。 (1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H(X)； (2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为P(白/白) = 0.9，P(黑/白) = 0.1，P(白/黑) = 0.2，P(黑/黑) = 0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵H2(X); (3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较H(X)和H2(X)的大小，并说明其物理含义。 解： (1) (2) (3) H(X) > H2(X) 表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，能够进行较大程度的压缩。 2.12 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。 解： (1) (2) (3) 两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 共有21种组合： 其中11，22，33，44，55，66的概率是 其他15个组合的概率是 (4) 参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下： (5) 2.13 某一无记忆信源的符号集为{0, 1}，已知P(0) = 1/4，P(1) = 3/4。 (1) 求符号的平均熵； (2) 有100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”和（100 - m）个“1”）的自信息量的表达式； (3) 计算(2)中序列的熵。 解： (1) (2) (3) 2.14 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下： 若把这些频度看作概率测度，求： (1) 忙闲的无条件熵； (2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。 解： (1) 根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下： (2) 设忙闲为随机变量X，天气状态为随机变量Y，气温状态为随机变量Z (3) 2.15 有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为 Y X x1=0 x2=1 y1=0 1/8 3/8 y2=1 3/8 1/8 并定义另一随机变量Z = XY（一般乘积），试计算： (1) H(X), H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)和H(XYZ)； (2) H(X/Y), H(Y/X), H(X/Z), H(Z/X), H(Y/Z), H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)和H(Z/XY)； (3) I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。 解： (1) Z = XY的概率分布如下： EMBED Equation.3 (2) (3) 2.16 有两个随机变量X和Y，其和为Z = X + Y（一般加法），若X和Y相互独立，求证：H(X) ≤ H(Z), H(Y) ≤ H(Z)。 证明： 同理可得 。 2.17 给定声音样值X的概率密度为拉普拉斯分布 ，求Hc(X)，并证明它小于同样方差的正态变量的连续熵。 解： 2.18 连续随机变量X和Y的联合概率密度为： ，求H(X), H(Y), H(XYZ)和I(X;Y)。 （提示： ） 解： 2.19 每帧电视图像可以认为是由3(105个像素组成的，所有像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现，问每帧图像含有多少信息量？若有一个广播员，在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，并彼此无依赖）？若要恰当的描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？ 解： 1) 2) 3) 2.20 设是平稳离散有记忆信源，试证明： 。 证明： 2.21 设是N维高斯分布的连续信源，且X1, X2, … , XN的方差分别是 ，它们之间的相关系数 。试证明：N维高斯分布的连续信源熵 证明： 相关系数 ，说明 是相互独立的。 2.22 设有一连续随机变量，其概率密度函数 (1) 试求信源X的熵Hc(X)； (2) 试求Y = X + A (A > 0)的熵Hc(Y)； (3) 试求Y = 2X的熵Hc(Y)。 解： 1) 2) 3) � EMBED Visio.Drawing.6 ��� PAGE · 1 · _1160938865.unknown _1161022926.unknown _1161023203.unknown _1161023435.unknown _1161023652.unknown _1161023683.unknown _1161023729.unknown _1161023802.unknown _1161023713.unknown _1161023664.unknown _1161023618.unknown _1161023631.unknown _1161023549.unknown _1161023305.unknown _1161023345.unknown _1161023237.unknown _1161023013.unknown _1161023127.unknown _1161023139.unknown _1161023103.unknown _1161022981.unknown _1161022992.unknown _1161022959.unknown _1161022489.unknown _1161022815.unknown _1161022895.unknown _1161022618.unknown _1160975691.unknown _1160975821.unknown _1160976001.unknown _1160976293.unknown _1160975841.unknown _1160975784.unknown _1160939067.unknown _1160937454.unknown _1160937580.unknown _1160937997.unknown _1160938013.unknown _1160937705.unknown _1160937514.unknown _1160937570.unknown _1160937503.unknown _1160937505.unknown _1132848064.unknown _1141622647.unknown _1143557064.unknown _1160937401.unknown _1160937418.unknown _1160937389.unknown _1141622845.unknown _1142767755.unknown _1142769611.unknown _1142767930.unknown _1142765093.unknown _1141622823.unknown _1135498597.unknown _1141122548.unknown _1141622520.unknown _1135498663.unknown _1138697368.unknown _1135496372.unknown _1135496429.unknown _1135496060.unknown _1131906772.vsd 0� 1� 2� P� P� P� P� P� P� _1132248098.unknown _1132252148.unknown _1132252458.unknown _1132252836.unknown _1132252394.unknown _1132248340.unknown _1132248019.unknown _1131531951.unknown _1131904751.unknown _1131535502.vsd � � � ��� ��� p(��/��)=0.8� e1� e2� p(��/��)=0.9� p(��/��)=0.1� p(��/��)=0.2� _1048853380.unknown _1131531424.unknown _1048853042.unknown