矩阵多项式的逆矩阵的求法

第 2O卷第 4期 2004年 8月 大 学 数 学 CoLLEGE MATHEMATICS Vo1．20。Ng_．4 Aug． 2004 矩阵多项式的逆矩阵的求法 吴华安 (武汉理工大学 理学院统计系，武汉 430063) [摘 要]给出了矩阵多项式的逆矩阵的一般求法． [关键词]矩阵多项式；多项式除法；谱 [中图分类号]O151．21 [文献标识码]C [文章编号]1672—1454(2004)04—0089—03 设A为一个 ，z阶矩阵，厂( )是代数多项式．在线性代数中，经常会遇到求矩阵A的多项式 厂(A)的 逆矩阵这一类问题．一般可用待定系数法或分解因子法求其逆矩阵． 例 1 已知矩阵 A满足 A。一2E，求 B=A 一2A+2E的逆矩阵． 解 由条件可设 B一 一aA +bA+cE， 则由 E：BB 一 (2a一 2b+c)A + (2a+ 2b--2c)A+ (一4a+ 2b+ 2c)E 得 ‘ {a—q-2b --+c6=+O 一,。， 故n一 ，6一 3，c一 ．所以 南(A +3A+4E)· 例 2 设 ，2阶矩阵A满足2A 一2A：A。，求(E--A)-。． 解 由 A。一2A +2A=O分解因式 ，得(E--A)(A 一A+E)一E，故 (E--A)一 一A 一A+E． 上面例子中求矩阵多项式的逆矩阵的方法较繁琐且需要一定的运算技巧，下面的给出了此类 矩阵求逆的一般解法． 定理 1 设A为一个，z阶矩阵，C为复数域，厂( )，g( )∈C[ ]，厂(A)一D，则g(A)可逆的充要条件 是(厂( )，g( ))一1．此时有“( )， ( )∈c[ ]，使得 “( )厂( )+ ( )g( )一1， 且 [g(A)]一 一 (A)． 证 设 ， ，⋯， 为A的全部特征值，且g(A)可逆．于是有g(A)一Ⅱg( )4：o．但厂( )一0 ( 1，2，⋯，，2)，故 厂( )与 g( )无公共零点，即(厂( )，g( ))一1．反之设 厂(z)与 g(z)互素，则因 厂(A) 为零矩阵，所以对每个 ，必有厂( )一0且g( )≠O(2．=1，2，⋯，，2)，即g(A)无零特征值，从而 g(A)可 逆． 根据代数定理，当g( )，厂( )互素时，必有U( )， ( )∈c ]，使得 [收稿日期]2003—06—26 维普资讯 http://www.cqvip.com 90 大 学 数 学 第 2O卷 “( )，( )+ ( )g( )一1， 从而 (A)g(A)=E，即 (A)一[g(A)]～．特别地，当g( )为一次多项式时，利用 ，( )一g( )q( )+r， r是非零常数， 可得 g(A)q(A)一--rE， 即 [g(A)]～ 一一÷q(A)． 在例 1中，，( )： 。一2，g( )一 。一2 +2．利用辗转相除法可得 一 ( +1)，( )+ ( 。+3 +4)g( )=1， 所以 ， [g(A)] 一 I(A。+3A+4E)· 例 3 已知矩阵 A满足关系式 A。+2A一3E=O，求(A+4E)～． 解 令，( )一 。+2 一3，g( )一 +4，利用综合除法求得 ，( )=( 一2)g( )+5，故 [g(A)]一 一(A+4E) 一一 I(A--2E)． 定理 2 设 g(A)是 n阶矩阵 A的矩阵多项式 ，，( )是 A的特征多项式，则 g(A)可逆的充要条件是 (，( )，g( ))一1． 证 设 ， z，⋯， 是 A的全部特征值，则 g( )，g( z)，⋯，g( )就是 g(A)的全部特征值 ，于是 g(A)可逆当且仅当g( )≠O( 一1，2，⋯， )．由于对每个 凡，／( )一0，所以每个 g(凡)≠O，当且仅当 (g( )，，( ))一1． 根据这一结果，当 g(A)可逆时，利用 ，(A)一D即可由定理 1中的方法求出 g(A)的逆矩阵． 例 4 设矩阵 A== 4 6 O 一 3 — 5 O 一 3 — 6 1 g(A)一A。一4A。+A+6E，求 g(A)的逆矩阵． 解 A的特征多项式，( )一(x--1)。( +2)与g( )一( +1)(x--2)( 一3)是互素的，由定理 2可 知 g(A)可逆，因为 (一 。+ +7)，( )+( +3 +1)g( )一20， 所以， [g(A)]一 一 (A。+3A+E)． ‘ 本例还可用下面的方法求解 ： 由于A的最小多项式 m( )一(x--1)( +2)，则g( )一 ( )q( )+r( )，其中r( )至多为一个一 次多项式，且r( )与g( )在A的谱点 1，一2上是一致的，从而有 r(1)一g(1)，r(一2)一g(一2)．现设 r( )一口o+口1 ，我们有 ． f口0+口1—4， 【a0—2a1一一20， '~ao=--4㈣一8，r( )一8 一4，并且g(A)一r(A)．利用 ( )一( 1 + )r( )一 5，立即得出 [r(A)] 一[g(A)] 一詈( 1 A十而3 E)一 (A+号E)． 这一结果与上一做法实际上是·致的．这是因为 m(A)一D，所以 1(A。+3A+E) 一 (A。+A一2E+2A+3E)一 [ (A)+2A+3E] 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 4期 吴华安：矩阵多项式的逆矩阵的求法 9l 一 (2A+3E)一 (A+导E)． [参 考 文 献] [1] 罗家洪．矩阵引论(第三版)[M]．广州：华南理工大学出版社，2000．5 The Cal cul ation of Inverse of M atrix Pol ynomial H“口一an (College of Science，W uhan University of Technology，W uhan 430063．China) Abstract：A method of calculation tO obtain the inverse of matrix polynomial is given in the paper． Key words：matrix polynomial；polynomial division；spectrum 维普资讯 http://www.cqvip.com