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2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅰ)
第Ⅰ卷
本卷共12小
,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
一、选择题
1.函数
的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程
看作时间
的函数,其图像可能是( )
3.在
中,
,
.若点
满足
,则
( )
A.
B.
C.
D.
4.设
,且
为正实数,则
( )
A.2
B.1
C.0
D.
5.已知等差数列
满足
,
,则它的前10项的和
( )
A.138
B.135
C.95
D.23
6.若函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称,则
( )
A.e2x-1
B.e2x
C.e2x+1
D. e2x+2
7.设曲线
在点
处的切线与直线
垂直,则
( )
A.2
B.
C.
D.
8.为得到函数
的图像,只需将函数
的图像( )
A.向左平移
个长度单位
B.向右平移
个长度单位
C.向左平移
个长度单位
D.向右平移
个长度单位
9.设奇函数
在
上为增函数,且
,则不等式
的解集为( )
A.
B.
C.
D.
10.若直线
通过点
,则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知三棱柱
的侧棱与底面边长都相等,
在底面
内的射影为
的中心,则
与底面
所成角的正弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
12.如图,一环形花坛分成
四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )
A.96
B.84
C.60
D.48
第Ⅱ卷
本卷共10小题,共90分.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
13.13.若
满足约束条件
则
的最大值为 .
14.已知抛物线
的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 .
15.在
中,
,
.若以
为焦点的椭圆经过点
,则该椭圆的离心率
.
16.等边三角形
与正方形
有一公共边
,二面角
的余弦值为
,M、N分别是AC、BC的中点,则EM、AN所成角的余弦值等于 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
设
的内角
所对的边长分别为a、b、c,且
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)求
的最大值.
18.(本小题满分12分)
四棱锥
中,底面
为矩形,侧面
底面
,
,
,
.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)设
与平面
所成的角为
,求二面角
的大小.
19.(本小题满分12分)
已知函数
,
.
(Ⅰ)讨论函数
的单调区间;
(Ⅱ)设函数
在区间
内是减函数,求
的取值范围.
20.(本小题满分12分)
已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方法:
甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则
明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(Ⅱ)
表示依方案乙所需化验次数,求
的期望.
21.(本小题满分12分)
双曲线的中心为原点
,焦点在
轴上,两条渐近线分别为
,经过右焦点
垂直于
的直线分别交
于
两点.已知
成等差数列,且
与
同向.
(Ⅰ)求双曲线的离心率;
(Ⅱ)设
被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
22.(本小题满分12分)
设函数
.数列
满足
,
.
(Ⅰ)证明:函数
在区间
是增函数;
(Ⅱ)证明:
;
(Ⅲ)设
,整数
.证明:
.
参考答案
一、选择题
1、C
2、A
3、A
4、D
5、C
6、B
7、D
8、A
9.D
10.D.
11.B.
12.B.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
13.答案:9.
14. 答案:2.
15.答案:
.
16.答案:
.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解析:(Ⅰ)由正弦定理得
a=
acosB-bcosA=(
)c
=
=
=
依题设得
解得tanAcotB=4
(II)由(I)得tanA=4tanB,故A、B都是锐角,于是tanB>0
tan(A-B)=
=
≤
,
且当tanB=
时,上式取等号,因此tan(A-B)的最大值为
18.解:
(I)作AO⊥BC,垂足为O,连接OD,由题设知,AO⊥底面BCDE,且O为BC中点,
由
知,Rt△OCD∽Rt△CDE,
从而∠ODC=∠CED,于是CE⊥OD,
由三垂线定理知,AD⊥CE
(II)由题意,BE⊥BC,所以BE⊥侧面ABC,又BE
侧面ABE,所以侧面ABE⊥侧面ABC。
作CF⊥AB,垂足为F,连接FE,则CF⊥平面ABE
故∠CEF为CE与平面ABE所成的角,∠CEF=45°
由CE=
,得CF=
又BC=2,因而∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形
作CG⊥AD,垂足为G,连接GE。
由(I)知,CE⊥AD,又CE∩CG=C,
故AD⊥平面CGE,AD⊥GE,∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。
CG=
GE=
cos∠CGE=
所以二面角C-AD-E为arccos(
)
解法二:
(I)作AO⊥BC,垂足为O,则AO⊥底面BCDE,且O为BC的中点,以O为坐标原点,射线OC为x轴正向,建立如图所示的直角坐标系O-xyz.
设A(0,0,t),由已知条件有
C(1,0,0), D(1,
,0), E(-1,
,0),
所以
,得AD⊥CE
(II)作CF⊥AB,垂足为F,连接FE,
设F(x,0,z)则
=(x-1,0,z),
故CF⊥BE,又AB∩BE=B,所以CF⊥平面ABE,
∠CEF是CE与平面ABE所成的角,∠CEF=45°
由CE=
,得CF=
又CB=2,所以∠FBC=60°,△ABC为等边三角形,因此A(0,0,
)
作CG⊥AD,垂足为G,连接GE,在Rt△ACD中,求得|AG|=
|AD|
故G[
]
又
所以
的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。
由cos(
)=
知二面角C-AD-E为arccos(
)
(19)解:
(Ⅰ)f´(x)=3x2+2ax+1,判别式Δ=4(a2-3)
(i)若a>
或a<
,则在
上f´(x)>0,f(x)是增函数;
在
内f´(x)<0,f(x)是减函数;
在
上f´(x)>0,f(x)是增函数。
(ii)若
0,故此时f(x)在R上是增函数。
(iii)若a=
,则f´(
)=0,且对所有的x≠
都有f´(x)>0,故当a=
时,f(x)在R上是增函数。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,只有当a>
或a<
时,f(x)在
内是减函数。
因此
≤
①
且
≥
②
当|a|>
时,由①、②解得a≥2
因此a的取值范围是[2,+∞)。
(20)解:
记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次,
B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次,
A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A2与B2独立。
(Ⅰ)
,
,
。
P(
)=P(A1+A2·B2)
=P(A1)+P(A2·B2)
=P(A1)+P(A2)·P(B2)
=
=
所以 P(A)=1-P(
)=
=0.72
(Ⅱ)ξ的可能取值为2,3.
P(B1)=
,P(B2)=
,P(ξ=2)=P(B1)=
,P(ξ=3)=P(B2)=
,
所以Eξ=
(次)。
(21)解:
(Ⅰ)设双曲线方程为
(a>0,b>0),右焦点为F(c,0)(c>0),则c2=a2+b2
不妨设l1:bx-ay=0,l2:bx+ay=0
则
,
。
因为
2+
2=
2,且
=2
-
,
所以
2+
2=(2
-
)2,
于是得tan∠AOB=
。
又
与
同向,故∠AOF=
∠AOB,
所以
解得
tan∠AOF=
,或tan∠AOF=-2(舍去)。
因此
。
所以双曲线的离心率e=
=
(Ⅱ)由a=2b知,双曲线的方程可化为
x2-4y2=4b2 ①
由l1的斜率为
,c=
b知,直线AB的方程为
y=-2(x-
b) ②
将②代入①并化简,得
15x2-32
bx+84b2=0
设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
x1+x2=
,x1·x2=
③
AB被双曲线所截得的线段长
l=
④
将③代入④,并化简得l=
,而由已知l=4,故b=3,a=6
所以双曲线的方程为
22、解:
(I)当00
所以函数f(x)在区间(0,1)是增函数,
(II)当0x
又由(I)有f(x)在x=1处连续知,
当0am≥b
否则,若ama1+k|a1lnb|
≥a1+(b-a1)
=b
s
t
O
A.
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B.
C.
D.
D
B
C
A
C
D
E
A
B
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