06【数学】2009届高三数学第二轮复习专题测试六：直线与圆的方程

知识改变命运，学习成就未来 2009届高三数学第二轮复习专题测试六：直线与圆的方程 （一）典型例题讲解: 例1、已知定点P（6，4）与定直线1：y=4x，过P点的直线与​1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使△OQM面积最小的直线方程。 命题意图直线是过点P的旋转直线，本题主要考查如何选参数，是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。 知识依托 两点连线的斜率公式，直线的方程，三角形的面积，基本不等式 错解本题的关键是选准参数，如果选k作为参数，运算量稍大，会把问题变得复杂起来 技巧与选用点做参数，灵活运用直线方程及面积公式 解：设Q（x0，4x0），M（m，0） ∵ Q，P，M共线 ∴ kPQ=kPM ∴ 解之得： ∵ x0>0，m>0 ∴ x0-1>0 ∴ 令x0-1=t，则t>0 ≥40 当且仅当t=1，x0=11时，等号成立 ，此时Q（11，44），直线：x+y-10=0 评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S△OQM的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。 例2、某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a＞b) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？ 命题意图 本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力 知识依托 三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值 错解分析 解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值 如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值 都将使问题变得复杂起来 技巧与方法 欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值 解 建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB取得最大值 由三角函数的定义知 A、B两点坐标分别为(acosα,asinα)、 (bcosα,bsinα),于是直线AC、BC的斜率分别为 kAC=tanxCA=, 于是 tanACB= 由于∠ACB为锐角，且x＞0,则tanACB≤, 当且仅当=x，即x=时，等号成立， 此时∠ACB取最大值，对应的点为C(,0), 因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最佳 例3、预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1 5倍，问桌、椅各买多少才行？ 命题意图 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解 知识依托 约束条件，目标函数，可行域，最优解 错解分析 解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设 技巧与方法 先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解 解 设桌椅分别买x,y张，把所给的条件示成不等式组，即约束条件 为由 ∴A点的坐标为(，) 由 ∴B点的坐标为(25，) 所以满足约束条件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图) 由图形直观可知，目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25，)，但注意到x∈N,y∈N*,故取y=37 故有买桌子25张，椅子37张是最好选择 例4、（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程； （2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程。 命题意图本题主要考查圆的方程的表达形式及对称性的问题，可利用数形结合法，利用圆中“半径、半弦、弦心距”构成直角三角形可解. 知识依托 圆的方程，对称性，勾股定理 错解分析 题中没有注意到圆的对称只是改变圆的位置，圆的大小并不改变，不能选取特殊点来进行解题。 技巧与方法 先选准圆的方程的形式，利用数形结合，并能选特殊点进行对称 解：（1）法一：从数的角度 若选用式：设圆心P（x，y），则由|PA|=|PB|得：(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2 又2x0-y0-3=0 两方程联立得：，|PA|= ∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10 若选用一般式：设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心（） ∴ 解之得： 法二：从形的角度 AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，则由得圆心P（4，5） ∴ 半径r=|PA|= 显然，充分利用平几知识明显降低了计算量 （2） 设A关于直线x+2y=0的对称点为A’ 由已知AA’为圆的弦 ∴ AA’对称轴x+2y=0过圆心 设圆心P（-2a，a），半径为R ，则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2 又弦长， ∴ ∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+ ∴ a=-7或a=-3 当a=-7时，R=；当a=-3时，R= ∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244 （二）巩固练习 一、选择题 1．若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m取值范围是（ ） A、-1答案

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