圆锥曲线的又一类定点_定值问题

2. 2　在线段 F K 上取随机点M 并过点 M 作线段F K 的垂线, 在直线 l上取随机点N 并过点N 作直线 l 的垂线, 将两条垂线的交 点定义为 P ; 图 4 2. 3　连线段N F , 交线段M P 于A , 取线 段A F 中点, 记为B ; 2. 4　 分别以点 A , B 为圆心, 以线段 A P ,B F 为 半 径 作 ⊙A , ⊙B , 两圆交点分 别定义为 P 1, P 2; 2. 5～ 2. 12 同于 1. 5～ 1. 12. 图 5　　　　　　　　　　 图 6 简要证明: 连接线段A Q 1,A P 1, 由作图 可知, ∠F P 1A = 90°, 所以直线Q 1F ,Q 1N 都 是⊙A 的切线, ∴点A 在∠FQ 1N 的平分线 上, ∴Q 1FQ 1N = A F A N = FM M K = e. 同理可得 Q 2F Q 2N = e, ∴点Q 1,Q 2 在以 F 为焦点, l 为准线, 离 心率 e = FMM K 的圆锥曲线上. 3　几点说明 (1) 当平面上给出定点 (焦点)、定直线 (准线) 和离心率 e 时, 在《几何画板》的支持 下, 首先找出垂线段 F K 上符合条件FMM K = e 的点M , 根据介绍的两种, 可以作出符 合条件的曲线, 操作快捷方便、证明浅显易 懂. (2) 对于制作的动画, 若记 F K 的中点 为 S , 拖动随机点M 在线段 F K 上自 F → S → K (或 K →S → F ) 移动时, 圆锥曲线C 将 动态现不同的椭圆、抛物线和双曲线: 拖动随机点M 在开线段 FS 上移动时, e 在 (0, 1) 上变化, 将得到不同形状的椭圆. 此 时直观地反映出教材描述的椭圆的几何性 质: e 越接近于 1, 椭圆越扁; 反之 e 越接近于 0, 椭圆越接近于圆; 拖动随机点M 与中点 S 重合时, 将得到 抛物线; 拖动随机点M 在开线段S K 上移动时, e 在 (1, + ∞) 上变化, 将得到不同形状的双曲 线. 此时直观地反映出教材描述的双曲线的 几何性质: e 越大, 它的开口就越开阔. 可见, 灵活运用所制作的课件, 对圆锥曲 线统一定义的教学能起到良好的辅助作用. (3) 作图与证明的本身就是数学学习的 好素材, 稍加整改可以用于研究性学习, 也可 用于数学竞赛初级训练, 笔者不再一一赘述. 圆锥曲线的又一类定点、定值问 周远方　 (湖北省宜昌市夷陵中学　443000) 　　圆锥曲线有许多丰富多彩、生动有趣的 性质, 其定点、定值、定向问题则是诸多性质 中的一条主线. 笔者通过对如下问题的探究, 发现了圆锥曲线的又一类定点、定值问题. 问题探究1　给定抛物线y 2 = 2p x (p > 0) , 在 x 轴的正半轴上是否存在一点 E , 使得 对于抛物线的任意一条过 E 点的弦 PQ , 都 有 1ûE P û 2 + 1ûEQ û 2 为定值?若存在, 求出定 点和定值; 若不存在, 说明理由. ·71·2004 年第9 期　　　　　　　　　　　中学数学月刊　　　　　　　　　　　　　　　　 图 1 　 如图 1, 设 存在点 E (a , 0) , 则可估 计a 与p 有关, 定值与p 也有关, 但定值与弦 PQ 的倾斜角的大小无关, 所以不妨取一条弦P 1Q 1 的倾斜角为 90°, 另一条 弦 P 2Q 2 的倾斜角为 45°, 探求如下: (1) 直线P 1Q 1 的方程为x = a , 代入y 2 = 2p x 得 y 2 = 2p a , 则由抛物线的对称性可得ûE P 1û 2 = ûEQ 1û 2 = 2p a , ∴ 1ûE P 1û 2 + 1ûEQ 1û 2 = 1p a. ① (2) 直线P 2Q 2 的方程为 y = x - a , 代入 y 2 = 2p x 得 y 2 - 2p y - 2p a = 0. 设 P 2 (x P , y P ) ,Q 2 (x Q , y Q ) , 则 y P + yQ = 2p , y P yQ = - 2p a. 又∵ ûE P 2û = 2 ûy P û ,ûEQ 2û = 2 ûy Q û , ∴ 1ûE P 2û 2 + 1ûEQ 2û 2 = 1 2 y P 2 + 1 2 y Q 2 = (y P + yQ ) 2 - 2y P yQ 2 (y P y Q ) 2 = p + a 2p a2 . ② 由①式和②式应有 1p a = p + a 2p a2 , 得a = p , 所以定值为 1 p 2 , 估计 E 点存在, 其坐标应 该是 (p , 0). 剩下的任务只须证明: 过 E (p , 0) 的任 一弦 PQ , 1ûE P û 2 + 1ûEQ û 2 确为定值 1p 2. 对一般情况, 可设过点 E (p , 0) 的弦 PQ 所在的直线方程为 x = m y + p , 代入 y 2 = 2p x 得 y 2 - 2m p y - 2p 2 = 0. 设 P (x 1, y 1) ,Q (x 2, y 2) , 则 y 1 + y 2 = 2m p , y 1y 2 = - 2p 2. 而 ûE P û 2 = (1 + m 2) y 12, ûEQ û 2 = (1 + m 2) y 22, 所以同②式的变形可得: 1ûE P û 2 + 1ûEQ û 2 = (y 1 + y 2) 2 - 2y 1y 2 (1 + m 2) (y 1y 2) 2 = 4m 2p 2 + 4p 2 4 (1 + m 2) p 4 = 1 p 2 . 由所探究的结论, 可得下述命题: 命题 1　抛物线 y 2 = 2p x (p > 0) 过定 点 E (p , 0) 的弦被点 E 分成长为m , n 的两部 分, 则 1 m 2 + 1 m 2 = 1 p 2 为定值. 进一步, 椭圆、双曲线是否也有同样的性 质?我们继续进行探求. 问题探究2　给定椭圆x 2 a 2 + y 2 b2 = 1 (a > b > 0) , 在 x 轴上是否存在一点 E , 使得对于 椭圆任意一条过 E 点的弦 PQ , 1ûE P û 2 + 1ûEQ û 2 为定值?若存在, 求出定点和定值; 若 不存在, 说明理由. 图 2 分析　如图 2, 设 存在点 E (x 0, 0) , 仿问 题探究 1 的方式, 不妨 先取过点 E 的两条特 殊 位 置 的 弦: 长 轴 P 1Q 1 和与 x 轴垂直的 弦 P 2Q 2, 这里先假定ûx 0û < a. (1) ∵P 1 (- a , 0) ,Q 1 (a , 0) , ∴ûE P 1û = ûx 0 + aû , ûEQ 1û = ûx 0 - aû. ∴ 1ûE P 1û 2 + 1ûEQ 1û 2 = 1 (x 0 + a) 2 + 1 (x 0 - a) 2 = 2 (a2 + x 02) (a2 - x 20) 2 . ③ (2) 直线 P 2Q 2 的方程为 x = x 0, 代入x 2 a 2 + y 2 b2 = 1, 得 y 2 = b2 a 2 (a2 - x 20). 设 P 2 (x 0, y 0) , 则 Q 2 (x 0, - y 0) , 从而 ·81·　　　　　　　　　　　　　　　中学数学月刊　　　　　　　　　2004 年第9 期 ûE P 2û = ûEQ 2û = ûy 0û = b a a 2 - x 0 2 , ∴ 1ûE P 2û 2 + 1ûEQ 2û 2 = 2y 02 = 2a2 b2 (a2 - x 02). ④ 由 ③ 式和 ④ 式应有 2 (a 2 + x 0 2) (a2 - x 02) 2 = 2a2 b2 (a2 - x 02) , 解得x 0 2 = a 2 (a2 - b2) a 2 + b2 , 所以定 值为a 2 + b2 b4 . 从而可估计点 E 也存在, 且为 椭圆长轴上关于椭圆中心O 对称的两定点, 位 于椭圆的两焦点之间, 其坐标分别为 E 1 (- a a 2 - b2 a 2 + b2 , 0) , E 2 (a a 2 - b2 a 2 + b2 , 0). 以下证明对过点 E 1 或点 E 2 的任一弦 PQ , 1ûE iP û 2 + 1ûE iQ û 2 ( i = 1, 2) 均为定值 a 2 + b2 b4 . 对一般情形, 为方便计算, 可仍取E 点的 坐标为 (x 0, 0) , 这里 x 0 = ± a a 2 - b2 a 2 + b2 , 就 斜率不为零而言, 设过点 E (x 0, 0) 的弦 PQ 所在的直线方程为 x = m y + x 0, 代入x 2 a 2 + y 2 b2 = 1, 化简整理得: 　 (a2 + m 2b2) y 2 + 2m x 0b2y + b2 (x 02 - a2) = 0. 设 P (x 1, y 1) ,Q (x 2, y 2) , 则 y 1 + y 2 = - 2m x 0b2 a 2 + m 2b2 , y 1y 2 = b2 (x 02 - a2) a 2 + m 2b2 . ⑤ 而 ûE P û 2 = (1 + m 2) y 12, ûEQ û 2 = (1 + m 2) y 22, ∴ 1ûE P û 2 + 1ûEQ û 2 = (y 1 + y 2) 2 - 2y 1y 2 (1 + m 2) (y 1y 2) 2 . ⑥ 将⑤式代入⑥式化简可得 1ûE P û 2 + 1ûEQ û 2 = 2[a2 (a2 - x 02) + m 2b2 (a2 + x 02) ] b2 (1 + m 2) (a2 - x 02) 2 . ⑦ 由 x 20 = a 2 (a2 - b2) a 2 + b2 , 得 a 2 - x 2 0 = 2a2b2 a 2 + b2 , a 2 + x 20 = 2a4 a 2 + b2 , 代入⑦可得 1ûE P û 2 + 1ûEQ û 2 = 2 2a 4b2 a 2 + b2 + 2a4b2m 2 a 2 + b2 4a4b6 (1 + m 2) (a2 + b2) 2 = a 2 + b2 b4 . 因此, 我们有 命题 2　椭圆x 2 a 2 + y 2 b2 = 1 (a > b > 0) 过 定点E 1 (- a a 2 - b2 a 2 + b2 , 0) 或E 2 (a a 2 - b2 a 2 + b2 , 0) 的弦被定点分成长为m , n 的两部分, 则 1 m 2 + 1 n 2 = a 2 + b2 b4 为定值. 对于双曲线x 2 a 2 - y 2 b2 = 1, 通过类比探求 可知, 需要有 ûaû > ûbû > 0 作为前提条件, 才能导出类似的结论, 即有 命题 3　双曲线x 2 a 2 - y 2 b2 = 1 (ûaû > ûbû > 0) 过定点 E 1 (- a a 2 + b2 a 2 - b2 , 0) 或 E 2 (aõ a 2 + b2 a 2 - b2 , 0) 的弦被定点分成长为m , n 的两 部分, 则 1 m 2 + 1 n 2 = a 2 - b2 b4 为定值. 仿问题探究 2 的方式, 即可导出相应的定 点、定值并加以证明. 实际上有一个极好的方 法, 用 - b2 换b2, 代入椭圆中的结论, 即可得双 曲线中这一结论. 值得指出的是, 在命题 3 中两 定点的位置应位于双曲线的两焦点之外. 综上, 我们得到圆锥曲线的又一类有关 定点、定值的奇妙性质. 定理 　 在圆锥曲线 (等轴双曲线除外) 的焦点所在的对称轴上必存在一定点, 若过 定点的弦被定点分成长为m , n 的两部分, 则 1 m 2 + 1 n 2 为定值. ·91·2004 年第9 期　　　　　　　　　　　中学数学月刊