高 考 数 学 解 题 三 引

高考数学解题“三 引” 吴川市振文中学 柯厚宝 在高考解题时,若能恰到好处地引入一些有力的工具,会对我们的解题工作带来很大的帮助.下面我们来探讨一下几种常用解题工具的引入. 一,引入函数 函数是联系运动与静止,变化与定值的有力工具.解题时,若能恰到好处地引入她,会对我们的解题工作带来很大的帮助. 例1, (2005全国Ⅲ)若 , , ,则 A. B. C. D. 解析：由题之模型,我们引入函数 ,可得 . 有(1)当 时, , 为增函数;(2)当 时, , 为减函数.于是得 ,删除A,D又 , 知 ,于是选C. 评注：由具体、特殊的数据或表达式，联想到一般的函数模型，直接引入函数，运用函数的工具解决了问题。更可贵的是，这种想法正与命题者的初衷不谋而合，看透了问题的本质，更可以对原命题作一般性的推广. 例2, 若实数 满足 ; .求证: EMBED Equation.DSMT4 。 分析：将所证的不等式作差变形得 ,由 , 设 ,这样我们就可以引入函数 , 借助函数的单调性来研究问题. 解:由 ; .设 ,引入函数 ,可得 . 而 ,得 , ,得 EMBED Equation.DSMT4 0.(在 时取等号) 所以 在 上为减函数,得 =1, 即 ,于是得 . 评注：通过变形后，再引入函，也是引入函数的一种常用手法。 例3,(2005华南师大附中测试题)已知函数 , . (Ⅰ)若 ,求证: ; (Ⅱ)是否存在实数 ,使方程 有四个不同的实根? 若存在,求出 的取值范围;若不存在,说明理由.设质 解析:(Ⅰ)令 . 则 = 由 ,得 ,知 在 上为增函数. 又 在 处连续,得 在 上为增函数, 而 ,得 =0,即 . (Ⅱ)由原方程得 ①,令 ,并变形得 ② 要使方程①有四个不同实根,则要方程②有两个不同正根. 令 , 它们的图象如图1所示 当直线与曲线在点 = 处相切时,由 , 得 ,于是 ,得切点为 ,这时 切线方程为 ,即 , 与 轴的交点为 ,要使直线与曲线在 轴右边有两个不同交点, 则 ,即 . 所以当 时,原方程有四个不同的实根. 评注:本题在解答过程中,3处引入了函数,第1次是通过作差手法引入的，第2， 3次是根据等式（或不等式）的结构特点，两边取函数的手法引入的.这也是引入函数的常用手法. 二,引入平面直角坐标系或空间直角坐标系 直角坐标系实现了数与形之间的真沟通.引入她,可使我们的解题工作左右逢源. 例4.(2005山东)设 满足约束条件 ,则使得目标函数 的值最大的点( )是 . 解析：引入平面直角坐标系,即可顺利解决线性规划问题.(2,3) 例5.(2005天津)某人在山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔,如图a所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线 ,且点P在直线 上, 与水平地面的夹角为 , .试问,此人距水平地面多远时,观看塔的视角 最大(不计此人的身高)? 图 a 解:以O为原点建立平面直角坐标系（如图2）,则A(200,0),B(0,220),C(0,300). 直线 的方程为 ,即 . 设点 ,则 EMBED Equation.DSMT4 . 由经过两点的直线的斜率公式得 , .又由直线PC到直线PB的角的公式得 = . 要使 达到最大,只须 达到最小.由均值不等式得 . 当且仅当 时,上式取得等号,故当 时, 最大. 这时,点P的纵坐标 为 .由此实际问题知, , 所以 最大时, 最大. 故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角 最大. 评注：本题引入了平面直角坐标系及函数，使我们的解题工作一气呵成。 例6,(05重庆) 如图b，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB= ，BB1=2，BC=1，∠BCC1= ，求： （Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离； （Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值. 解析:（I）以B为原点, 、 分别为y、z 轴建立空间直角坐标系(图3).由于BC=1，BB1=2， AB= ，∠BCC1= ，在三棱柱ABC— A1B1C1中有B（0,0,0），A（0,0, ）， B1（0,2,0）， 设 EMBED Equation.3 又AB⊥面BCC1B1，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线， 则 ，故异面直线AB、EB1的距离为1. （II）由已知有 故二面角A—EB1—A1的平面角 的大小 为向量 的夹角. EMBED Equation.DSMT4 三,引入向量 向量既有方向,又有大小.她是研究现代数学的有力工具.在解高考题时,我们若能引入她,可使我们的解题工作妙不可言. 例7, 若异面直线 所成的角为 ,AB是公垂线,E,F分别是异面直线 上到A,B距离为2和1的两点,当 时,线段AB的长为 . 解析:如图4, 由 ,得 (1)当 时,有 , 得 ; (2)当 时,有 ,得 . 评注：本题引入了向量的有向线段表示法帮助解题，使得解答简洁明了. 例8, 已知 都是正数, 且 , ,则函数 的最小值是 . 解析：由已知,我们作向量 ,则 , , . 又 ,得 . 即 ,于是所求的最小值为1. 评注：本题根据问题的结构，引入向量的坐标表示法，解决了问题. 例9,(04广东)如图c,在长方体ABCD —A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1。 (I) 求二面角C—DE—C1的正切值; (II) 求直线EC1与FD1所成的余弦值. 答案：(I) ， ；(II)， .（详解留给读者） 评注：本题引入空间直角坐标系后，再引入向量的坐标表示，即可简洁、 明快、一般性地得到解答.运用空间向量解答立体几何问题，乃近年高命题的一大热点. 函数法、坐标法、向量法是研究现代数学的重要思想方法.于是高考命题者常以它们为载体，或明或暗地命制高考题，且在同一份高考题中常反复出现，这也就不足为奇了. 参考文献 1， 石磊主编.2005年全国各省市高考试卷总汇及详解.中国致公出版社，2005,6 2， 王宝红.用平面的法向量解高考立体几何试题.试题与研究，2005，26 t y o y x l a P A O 1 2 F E B A b a A B C E A1 B1 C1 � EMBED PBrush ��� A B C D E F A1 B1 C1 D1 图 c 图 4 图 b 图 3 图 2 图 1 C B PAGE 2 _1183654238.unknown _1183657054.unknown _1184004686.unknown _1184005960.unknown _1184073527.unknown _1194422293.unknown _1194422467.unknown _1194424038.unknown _1194424083.unknown _1194422514.unknown _1194422452.unknown _1184073855.unknown _1184073989.unknown _1194422262.unknown _1184073923.unknown _1184073750.unknown _1184073827.unknown _1184073661.unknown _1184006361.unknown _1184009309.unknown _1184009319.unknown _1184009298.unknown _1184006033.unknown _1184006049.unknown _1184006006.unknown _1184005404.unknown _1184005744.unknown _1184005818.unknown _1184005925.unknown _1184005802.unknown _1184005499.unknown _1184005700.unknown _1184005466.unknown _1184004844.unknown _1184005063.unknown _1184005337.unknown _1184004987.unknown _1184004787.unknown _1184004818.unknown _1184004728.unknown _1183706701.unknown _1183981410.unknown _1183981578.unknown _1184004636.unknown _1183981432.unknown _1183981343.unknown _1183981351.unknown _1183981299.unknown _1183657344.unknown _1183703857.unknown _1183703905.unknown _1183703777.unknown _1183657170.unknown _1183657343.unknown _1183657113.unknown _1183655190.unknown _1183655962.unknown _1183656769.unknown _1183656912.unknown _1183656996.unknown _1183656826.unknown _1183656528.unknown _1183656608.unknown _1183656512.unknown _1183655521.unknown _1183655661.unknown _1183655936.unknown _1183655565.unknown _1183655270.unknown _1183655304.unknown _1183655243.unknown _1183654924.unknown _1183655073.unknown _1183655138.unknown _1183655176.unknown _1183655124.unknown _1183654963.unknown _1183655048.unknown _1183654946.unknown _1183654531.unknown _1183654722.unknown _1183654840.unknown _1183654626.unknown _1183654347.unknown _1183654412.unknown _1183654289.unknown _1183641063.unknown _1183641566.unknown _1183652840.unknown _1183653497.unknown _1183654083.unknown _1183652931.unknown _1183641709.unknown _1183652680.unknown _1183641693.unknown _1183641411.unknown _1183641463.unknown _1183641474.unknown _1183641447.unknown _1183641313.unknown _1183641397.unknown _1183641159.unknown _1173670937.unknown _1180030284.unknown _1183640821.unknown _1183640868.unknown _1183640888.unknown _1183640848.unknown _1180030289.unknown _1183640752.unknown _1183640777.unknown _1183640793.unknown _1180030293.unknown _1180030294.unknown _1180030295.unknown _1180030290.unknown _1180030286.unknown _1180030288.unknown _1180030285.unknown _1173671218.unknown _1180029950.unknown _1180030283.unknown _1173671279.unknown _1180029949.unknown _1173671296.unknown _1173671245.unknown _1173671092.unknown _1173671163.unknown _1173671041.unknown _1165761890.unknown _1165762303.unknown _1173508474.unknown _1173508598.unknown _1173508421.unknown _1165762112.unknown _1165762224.unknown _1165761924.unknown _1165761782.unknown _1165761852.unknown _1165761853.unknown _1165761783.unknown _1165761851.unknown _1165761707.unknown _1165761721.unknown _1165754050.unknown _1165761422.unknown _1165753838.unknown _1165754049.unknown _1164229285.unknown _1164229344.unknown _1164229401.unknown _1164229325.unknown _1164229240.unknown