第七讲 从不定方程的整数解谈起

第七讲 从不定方程1/n = 1/x + 1/y的整数解谈起 　　 　　 　　显见x=y=12是一个整数解.还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。 　　 　　 　　 式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令t=x-6，那么x=t＋6.因此 　　必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。 　　 个未知数x、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了. 　　一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62有因子6、1和36，2和18，3和12，4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为： 　　t0=6，t1＝1，t1′=36；t2=2，t2′=18；t3=3，t3′=12；t4=4， 　　 　　 　　这里t和t′是62=36的互补因子（当t＝t′＝6时自补因子也包括在内），所以 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 成一种了。 　　以上情况推广到一般情况：求不定方程 　　 　　的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t′，则 　　 　　就可得到全部解。 　　例如，求不定方程： 　　 　　（即n＝12）的整数解，首先分解122＝（22·3）2＝24·32，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。 　　按照互补或自补因子配对有：（1，144），（2，72），（3，48），（4，36），（6，24），（8，18），（16，9），（12，12）。 　　　 　　 　　 　　 　　“单位分数”（分子为1分母为整数）的和，那么我们相当于求： 　　 的整数解，例如求解 　　　 　　 　　 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14063.JPG" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14064.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　 　　 　　 　　 　　在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。 　　 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14071.JPG" \* MERGEFORMATINET （1，4），（2，2）.可有 　　 　　 　　并且可断言只有这三种形式.为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原理”（称之为平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值.（注意，这里的数不局限于整数） 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14075.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14078.JPG" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14079.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14081.JPG" \* MERGEFORMATINET 故推断正确。 　　在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看 　　 　　（我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式.其实（5）式又可以改变形式写成： 　　 　　它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请看习题）。 　　公式（5）在将整数1分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便.例如可将1分裂为3个分母不等的单位分数之和。 　　 　　而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1分裂成任意多个单位分数之和，如 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14094.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14096.JPG" \* MERGEFORMATINET 分解。 　　上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解n2的因子，而只要 　　）的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6、12，6个因子任取2个配成一个组合，共有15种： 　　（1，2），(1，3），（1，4），（1，6），（1，12） 　　（2，3），（2，4），（2，6），（2，12） 　　（3，4），（3，6），（3，12） 　　（4，6），（4，12） 　　（6，12） 　　 　　 　　 　　 　　 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14104.JPG" \* MERGEFORMATINET 种情况即可. 　　 子不是1的，例如 　　 　　 　　那么请问是否只有两种方式？答：是.理由呢？因为由推广的抽屉原理， INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14109.JPG" \* MERGEFORMATINET 求整数解呢？ 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14111.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14114.JPG" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14115.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　 　　 约分后分母为15，所以[x，y]为15，2×15，3×15，…，以下分情况讨论。 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14119.JPG" \* MERGEFORMATINET y=15）的情况应排除。 　　 析，如y大于15， 　　 　　 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14124.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　③y是x与y可能的最小公倍数30，45，60，…中某一个数的约数； ≠单位分数， 　　∴排除y=9.同样，也可排除y=11，12，13，14.只有y=10一种可能。 　　 　　 　　从上例看出分数形式不定方程求整数解不是很容易的.一些国际一流的数学家也致力于这类问题的研究.如1950年，厄尔丢斯（Erds）猜想： 　　 　　学家柯召、孙琦等证明了n＜4×105=400000时，猜想成立.1965年有人把n推进到n<107，1978年又将n推进到了n＜108。 　　另有谢平斯基（Sierpinski）猜想： 　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14130.JPG" \* MERGEFORMATINET 来证明.对于大多数小学生来讲，现在功力有限，只能在最简单的情况下一试身手。 　　 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14133.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　分情况讨论： 　　 　　 　　对于方程（7），再用推广的抽屉原理，有 　　 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14138.JPG" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14139.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　又3=x≤y，这样，y=3或y=4，代入（8）后知（8）无解. 习题七 　　1. 求不定方程的全部整数解。 　　2. 求不定方程的整数解中，使x+y为最小以及最大的两组解。 　　3. 应用公式（5），证明： 　　。 　　4. 证明： 　　。 　　5. 求不定方程的整数解，你能求出全部整数解并证明再没有别的角吗？ 　　6. 计算 　　. 习题七解答 　　 　　2．302=22×32×52，为找出它的全部因子，我们这里介绍“字典法则”： 　　20·30·50=1， 20·30·51=5， 20·30·52=25， 　　20·31·50=3， 20·31·51=15， 20·31·52=75， 　　20·32·50=9， 20·32·51=45， 20·32·52=225， 　　21·30·50=2， 21·30·51=10， 21·30·52=50， 　　21·31·50=6， 21·31·51=30， 21·31·52=150， 　　21·32·50=18， 21·32·51=90， 21·32·52=450， 　　22·30·50=4， 22·30·51=20， 22·30·52=100， 　　22·31·50=12， 22·31·51=60， 22·31·52=300， 　　22·32·50=36， 22·32·51=180， 22·32·52=900， 　　大家都知道英语字典排序规则，先有a部，再看第二个字母的顺序，第二个字母相同时，看第三个字母的顺序，等等.这里因子的幂值正好借用作顺序编号.（当然上题每个因子恰好是2次幂，如别的也一样，如：23×22×51的因子字典法排序为： 　　回到本题，302的27个因子从小到大按方向“”排序为： 　　其实只要排出30以下，另一头用302的互补因子即可，利用 　　 　　立即知x+y=60+t+t'.现在问题转化成求t+t'的最大最小值问题了.这里要求小学生会联想和类比，大家知道等积问题的一种结论：面积固定的长方形中，正方形的周长最小.或者两数乘积不变的情况下，两数相等时和最小。 　　现在t·t'=302固定，要t+t'最小，当然是t=t'=30，所以x+y最小为120。 　　那么x+y最大，也即60+t+t'最大，经前面t，t'排成二行的表一看就知为60+900+1=961。 　　 　　 　　 　　因此 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　因此 　　 　　 　　5.首先设x≤y≤z，因为显然不会有x=y=z的解.由推广的抽屉原理： 　　 　　 　　又因x必须是整数，所以x可能的值只有：2、3、4。 　　 　　利用前面知识52只有两组互补因子（1，25），（5，5），所以推知（y， 　　 　　 　　运用推广的抽屉原理。 　　 　　∴y可能取值为：3、4、5. 　　 　　 　　 　　 INCLUDEPICTURE "http://219.226.9.43/RESOURCE/XX/XXSX/ALPK/BL000060/_OLE14170.JPG" \* MERGEFORMATINET 　　 　　y为整数，∴y=3、4。 　　∵x≤y，∴y只可能为4。 　　 　　综合情况①②③，所有解为：