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讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！   ——学而思讲义编写组 第十二讲 火车过桥、流水行船 内容概述 在行程问题这个大家族中，除了我们常常研究的相遇与追击外，还有三大类我们必须了解的问题：火车过桥、流水行程和时钟问题.它们虽然也涉及速度、时间、路程这三个基本关系，但在应用中要兼顾考虑一些其它因素，譬如：火车车长、水流速度等等.其中火车过桥、流水行程是我们在以前的学习中已经有所接触的内容，在下面的学习中我们先回忆巩固原有基本概念，而后相应的拓展提高！ 类型Ⅰ：火车过桥 ⑴ 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和. ⑵ 火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和. ⑶ 火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度. 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在题目的时候一定得结合着图来进行. 【例1】 （小数报数学竞赛）（难度系数：★★）一列慢车在上午9点钟以每小时40千米的速度由甲城开往乙城.另有一列快车在上午9点30分以每小时56千米的速度也由甲城开往乙城.铁路部门，向相同方向前进的两列火车之间相距不能少于8千米.问：这列慢车最迟应该在什么时候停车让快车超过？ 分析：（40×0.5-8）÷（56-40）=0.75（小时），0.75×60=45（分钟），9点30分+45分=10点15分. 【例2】 （小数报数学竞赛）（难度系数：★★）一列火车通过长320米的隧道，用了52秒，当它通过长864米的大桥时，速度比通过隧道时提高 ，结果用了1分36秒.求通过大桥时的速度及车身的长度 . 分析：速度提高 用时96秒，如果以原速行驶，则用时96×（1＋ ）=120秒，（864－320）÷（120-52）=8米/秒 ，车身长：52×8－320=96米 . 【前铺】（奥数网习题库）（难度系数：★）一列火车长200米，以60米每秒的速度前进，它通过一座220米长的大桥用时多少？ 分析：如右图所示，学生们可以发现火车走过的路程为：200+220=420（米），所以用时420÷60=7（秒）. 【前铺】（03年圆明杯邀请赛试题）（难度系数：★★）一列火车驶过长900米的铁路桥，从车头上桥到车尾离桥共用1分25秒钟，紧接着列车又穿过一条长1800米的隧道，从车头进隧道到车尾离开隧道用了2分40秒钟，求火车的速度及车身的长度？ 分析：车长+900米=85×车速，车长+1800米=160×车速，列车多行使1800-900=900米 ，需要160-85=75秒，说明列车速度为12米/秒，车身长12×85-900=120米. 【例3】 （希望杯全国数学邀请赛2试）（难度系数：★★★）列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒．又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车，货车车身长320米，速度为每秒17米．列车与货车从相遇到相离需要多少秒？ 分析：【前铺】（06年三帆中学数学班小升初考试）（难度系数：★★★）有两列火车，一列长200米，每秒行32米；一列长340米，每秒行20米.两车同向行驶，从第一列车的车头追及第二列车的车尾，到第一列车的车尾超过第二列车的车头，共需多少秒？ 分析：这是一个超车过程，教师可画图帮助学生分析，让学生明白超车的路程差是两车车长和，所以我们可以得到：超车时间=（200+340）÷（32-20）=45（秒）. 列车的速度是(250-210)÷(25-23)=20(米／秒)，列车的车身长：20×25-250=250(米).如右图所示，列车与货车从相遇到相离的路程差为两车车长，根据：路程差=速度差×追击时间，可得列车与货车从相遇到相离所用时间为：(250+320)÷(20-17)=190(秒). 【例4】 （首师大入学测试题）（难度系数：★★★）有两列同方向行驶的火车，快车每秒行33米，慢车每秒行21米.如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行25秒后快车超过慢车。那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？ 分析：如从车头对齐算，那么超车距离为快车车长，为（33-21）×20＝240米；如从车尾对齐算，那么超车距离为慢车车长，为（33-21）×25＝300米.由上可知，两车错车时间为：（300+240）÷（33+21）＝10秒.请教师画图帮助学生分析解决问题. 【例5】 （华校课本例题）（难度系数：★★★）两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长. 分析：首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）.此题中甲车上的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相遇。更具体的说是和乙车的车尾相遇。路程和就是乙车的车长。这样理解后其实就是一个简单的相遇问题。（10＋15）×14＝350（米），所以乙车的车长为350米. 【巩固】（祖冲之杯数学邀请赛）（难度系数：★★★）一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米.坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？ 分析：这个过程是火车错车，对于坐在快车上的人来讲，相当于他以快车的速度和慢车的车尾相遇，相遇路程和是慢车长；对于坐在慢车上的人来讲，相当于他以慢车的速度和快车的车尾相遇，相遇的路程变成了快车的长.相当于是同时进行的两个相遇过程，不同点在于路程和一个是慢车长，一个是快车长，相同点在于速度和都是快车速度加上慢车的速度。所以可先求出两车的速度和 米/秒，然后再求另一过程的相遇时间 秒. 【例6】 （华校思维导引）（难度系数：★★★★）甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇？ 分析：火车开过甲身边用8秒钟，这个过程为追及问题：火车长＝（V车-V人）×8；火车开过乙身边用7秒钟，这个过程为相遇问题：火车长=（V车+V人）×7.可得8（V车-V人）＝7（V车+V人），所以V车=l5V人.甲乙二人的间隔是：车走308秒的路－人走308秒的路，由车速是人速的15倍，所以甲乙二人间隔15×308－308＝14×308秒人走的路 。两人相遇再除以2倍的人速。所以得到7×308秒＝2156秒. 【巩固】（迎春杯第2届决赛试题）（难度系数：★★★）一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行。14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问：工人与学生将在何时相遇？ 分析：工人的步行速度： 米/秒=3.6千米/时，学生的步行速度： 米/秒=3千米/时。则可知14时10分时，两人的距离是 千米，此后经过 时=30分钟两人相遇，即14时40分。 类型Ⅱ：流水行船 基本概念： 顺水速度=船速+水速， 逆水速度=船速-水速. ( 其中 为船在静水中的速度， 为水流的速度) 由上可得：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2； 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2.（可理解为和差问题） 流水行船问题中的相遇与追及 （1）两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出，它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和. 这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速. 　　这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系. （2）同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只与路程差和船速有关，与水速无关. 这是因为：甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速. 　　也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 　　这说明水中追及问题与在静水中追及问题一样. 由上述讨论可知，解流水行船问题，更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答. 【例7】 （奥数网习题库）（难度系数：★★）船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时？ 分析：【前铺】（奥数网习题库）（难度系数：★）甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。 分析：顺水速度：208÷8=26（千米/小时），逆水速度：208÷13=16（千米/小时），船速：（26+16）÷2=21（千米/小时），水速：（26—16）÷2=5（千米/小时）. 原题解答：本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响，水速发生变化，要求船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度. 船在静水中的速度是：（180÷10+180÷15）÷2=15（千米/小时）. 　　　暴雨前水流的速度是：（180÷10-180÷15）÷2=3（千米/小时）. 　　　暴雨后水流的速度是：180÷9-15=5（千米/小时）. 　　　暴雨后船逆水而上需用的时间为：180÷（15-5）=18（小时）. 【例8】 （北大附中培训试题）（难度系数：★★★）一条船往返于甲、乙两港之间．已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时顺行所用的时间是逆行所用时间的一半．一天因下暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用10小时．问：甲、乙两港相距多少千米? 分析：①设平时水流速度为x千米／小时，则平时顺水速度为(9+x)千米／小时，平时逆水速度为(9-x)千米／小时．由顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间，顺水速度=2×逆水速度．即：9+x=2（9-x），x=3，即平时水速为3千米／小时． ②设甲、乙两港间的距离为y千米．暴雨天的水速为：2×3=6，暴雨天的顺水速度为：9+6=15，暴雨天的逆水速度为：9-6=3．依题意有： ，解得y=25，甲、乙两港相距25千米. 【例9】 （首师附中测试题）（难度系数：★★★★）一只小船从A地到B地往返一次共用2小时．回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米．求A地到B地的距离． 分析：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地．我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处．如右图：第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米． 为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米，也就是D至A顺水行驶时间是l小时．现在就一目了然了．D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多．因此，顺水速度：逆水速度=5：3． 由于两者速度差是8千米，立即可得出：逆水速度= ，A至B距离是：12+3=15(千米)．也可用方程法做出！ 【例10】 （清华附培训试题）（难度系数：★★★）乙两船的船速分别为每小时22千米和每小时18千米．两船先后从同一港口顺水开出，乙船比甲船早出发2小时，如果水速是每小时4千米，问：甲船开出后几小时能追上乙船? 分析：【前铺】甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？分析：相遇时用的时间：336÷（24+32）=6（小时），追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：336÷（32—24）＝42（小时）. 此题属于流水行船过程中的相遇追及问题，表面上看增加了水速，而实际上水速对于流水行船过程中的相遇和追及不产生影响.这是解决这类问题的关键. 我们可以通过举例来说明上述结论： 1.当警察顺水追小偷时，无论水速增大还是减小，追及时间都是由他们现在的路程差除以速度差得来，相当于警察和小偷的速度都加了同样的水速，对于追及时间不产生影响. 2.当水流的方向改变，两人的速度也都要减掉同样的水速，所以速度差仍然不变. 3.在采用第2个水流方向时，当水速不断的增大，由追及可以改变成相遇，继续增大甚至可变成小偷追警察. 原题解答：要求甲船追上乙船所用的时间，根据公式：路程差=速度差×追及时间，关键要求出路程差(速度差由题干所给条件容易求出)，即甲出发时，乙已经行驶过的路程，为顺水行程问题．乙船先行的路程为：(18+4)x2=44(千米)，追及时间为：44÷(22-18)=44+4=11(小时)． 【例11】 （奥数网习题库）（难度系数：★★★★★）甲乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行．相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行了l千米．如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时 20分，则河水的流速为多少? 分析：因为第一次相遇时，甲、乙两船航程相等，即：甲船顺水速度×时间1=乙船逆水速度×时间1 ，可得：甲船顺水速度=乙船逆水速度． 两船的速度和 ，且由于第一次相遇时，两船在同样的时间内走了相同的路程，所以甲船到达B地，乙船到达A地也是在同一时刻．之后，甲逆流，乙顺流，此时，两船的速度和 ，说明甲、乙两船中任一船顺流，另一船逆流，两船共行A、B间一个单程所需的时间相同，所以甲船从B地，乙船从A地同时出发再次相遇时用：4/3÷2=2/3，乙船顺水，甲船逆水，速度相差： ， 速度差×时间=行程差， （千米／小时）. 【例12】 （清华同方杯竞赛试题）（难度系数：★★★★）江上有甲、乙两码头，相距15千米。甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船。又行驶了1小时，货船上有一物品掉入江中（该物品可用浮在水面上），6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？ 分析：可以假想船和物品都在一条传送带上运动，河流就像这条传送带，水速对船和物品均无影响，因此我们只需考虑静水速度。经过5小时货船追上游船，说明两船的速度差是 千米/时，又行驶了1小时，两船（游船与物品）的距离为3千米；又经过6分钟，货船发现物品掉在传送带上，那么货船掉头后仍需要经过6分钟找到物品，也说明游船经过6 分钟从3千米远处追上物品，则可知游船的静水速度是每小时 千米。 附加题目 . 【附1】（101培训部测试题）（难度系数：★★★）某船从甲地顺流而下，5天到达乙地；该船从乙地返回甲地用了7天．问水从甲地流到乙地用了多少时间? 分析：水流的时间=甲乙两地间的距离÷水速，而此题并未告诉我们“甲乙两地间距离”，且根据已知，它又是解决此题顺水速度、逆水速度和水速的关键． 将甲、乙两地距离看成单位“1”，则顺水每天走全程的 ，逆水每天走全程的 ． 水速=(顺水速度一逆水速度)÷2= ，所以水从甲地流到乙地需： （天）. 【附2】（小数报数学竞赛决赛）（难度系数：★★★）马路上有一辆车身长为15米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时18千米．马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑．某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了2秒钟汽车离开了乙.问再过多少秒以后甲、乙两人相遇? 分析：车速为每秒：18×1000÷3600=5(米)，甲的速度为每秒：(5×6—15)÷6=2.5(米)，乙的速度为每秒：(15-5×2)÷2=2.5(米)，汽车离开乙时，甲、乙两人之间相距：(5-2.5) ×(0.5×60+2)=80(米)，甲、乙相遇时间：80÷(2.5+2.5)=16(秒). 【附3】（实验中学培训习题）（难度系数：★★）一个车队以５米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用145秒.已知每辆车长5米，两车间隔８米.问：这个车队共有多少辆车？ 分析：由“路程=时间×速度”可求出车队145秒行的路程为5×145=725（米），故车队长度为725-200=525（米）.再由植树问题可得车队共有车（525-5）÷（5+8）+1=41（辆）. 【附4】（朝阳外国语学校入学测试题）（难度系数：★★★）自动扶梯以均匀速度由下向上行驶，一男一女两个性急的小孩从扶梯上上楼。男孩每分钟走120级阶梯，女孩每分钟走80级阶梯。结果男孩用了30秒到达楼上，女孩用了40秒到达楼上。该扶梯共有多少级阶梯？ 分析：【前铺】一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时6千米，顺水下行需要4小时，返回上行需要7小时．求：这两个港口之间的距离．分析：（船速+6）×4=（船速-6）×7，可得船速=22，两港之间的距离为：（22+6）×4=112千米. 此题实际上也是属于流水行船问题，自动扶梯的速度就相当于水速.根据题意可得：（120＋V梯）×30÷60＝（80＋V梯）×40÷60 =总的阶梯数，解得V梯＝40级/分钟，进而得到扶梯共有：（120＋40）×0.5＝80 级. 练习十二 1．两列相向而行的火车恰好在某站台相遇．如果甲列车长225米，每秒行驶25米，乙列车．每秒行驶20米，甲、乙两列车错车时间是9秒．求：(1)乙列车长多少米?(2)甲列车通过这个站台用多少秒?(3)坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒? 分析：(1)两列车的长度的和为（25+20）×9=405（米），乙列车的长度为405-225=180（米）.(2)甲列车通过站台的时间为225÷25=9（秒）.(3)小明看到乙列车通过用的时间为180÷（25+20）=4（秒）. 2．一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒。已知每辆车长5米，两车间隔10米。这个车队共有多少辆车？ 分析：求车队有多少辆车，需要先求出车队的长度，而车队的长度等于车队115秒行的路程减去大桥的长度.由“路程=时间×速度”可求出车队115秒行的路程为4×115=460（米）.故车队长度为460-200=260（米）。再由植树问题可得车队共有车（260-5）÷（5+10）+1=18（辆）. 3．一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长为385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？ 分析：280÷（385÷11）＝8（秒）. 4．两港相距560千米，甲船往返两港需105小时，逆流航行比顺流航行多用了35小时。乙船的静水速度是甲船的静水速度的2倍，那么乙船往返两港需要多少小时？ 分析：先求出甲船往返航行的时间分别是： 小时， 小时。再求出甲船逆水速度每小时 千米，顺水速度每小时 千米，因此甲船在静水中的速度是每小时 千米，水流的速度是每小时 千米，乙船在静水中的速度是每小时 千米，所以乙船往返一次所需要的时间是 小时. 5．甲、乙两船从相距64千米的A、B、两港同时出发相向而行，2小时相遇；若两船同时同向而行，则甲用16小时赶上乙．问：甲、乙两船的速度各是多少？ 分析：两船的速度和=64÷2=32 (千米／小时)，两船的速度差=64÷16=4 (千米／小时)，根据和差问题，分别求甲、乙两船的速度：18和14千米／小时 . 6．某河有相距45千米的上、下两码头，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮分别从两码头同时出发相向而行.一天甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，4分钟后，与甲船相距1千米.预计乙船出发后几小时可以与此物相遇？ 分析：船速：1000÷4=250（米/分），相遇时间：45000÷250=180（分）=3（小时）. 7．甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3小时后相遇．已知水流速度是4千米／小时．求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？ 分析：为了求出相遇时两船航行的距离相差多少，若考虑将两船的各自航程分别求出的话，需根据：航程=速度×时间，要求出两船的顺水速度或逆水速度，即要求两船(在静水中)的船速．而由已知条件分析，船速无法求出．下面我们来分析一下，在两船的船速相同的情况下，一船顺水，一船逆水，它们的航程差是什么造成的，不妨设甲船顺水，乙船逆水． 甲船的顺水速度=船速+水速， 乙船的逆水速度=船速一水速， 故：速度差=(船速+水速)一(船速一水速)=2×水速，即：每小时甲船比乙船多走2×4=8(千米)．3小时的距离差为3×8=24(千米)． 8．某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶，他向前又游了20分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？ 分析：该人丢失水壶后继续逆流而上20分钟，水壶顺流而下：速度和=该人的逆水速度+水速=该人的静水速度-水速+水速=该人的静水速度，该人与水壶的距离=二者速度和×时间=20×该人的静水速度． 该人发现水壶丢失后返回，与水壶一同顺流而下．二者速度差=该人的静水速度，追及距离=该人的静水速度×追及时间，追及时间=2÷水速，所以有：20×该人的静水速度=2÷水速×该人的静水速度，所以水速=1/10，追及时间=2÷水速=20分钟. 微软公司面试题 有一辆火车以每小时15公里的速度离开北京直奔广州，同时另一辆火车以每小时20公里的速度从广州开往北京。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从北京出发，碰到另一辆车后就向相反的方向返回去飞，就这样依次在两辆火车之间来回地飞，直到两辆火车相遇。请问，这只鸟共飞行了多长的距离？       答案： 北京到广州的距离. 学而思教育 07年春季班讲义 五年级 竞赛班 第十二讲 教师版 Page 8 of 8 _1188734101.unknown _1188801956.unknown _1240320550.unknown _1240322641.unknown _1240322821.unknown _1240381683.unknown _1240387473.unknown _1240322910.unknown _1240322662.unknown _1240322597.unknown _1189259923.unknown _1240319690.unknown _1240319738.unknown _1240319786.unknown _1240319672.unknown _1188801976.unknown _1188798589.unknown _1188798670.unknown _1188798762.unknown _1188798886.unknown _1188801650.unknown _1188798846.unknown _1188798747.unknown _1188798644.unknown _1188734146.unknown _1188798569.unknown _1188734136.unknown _1188345909.unknown _1188346194.unknown _1188734092.unknown _1188346157.unknown _1188344575.unknown _1188345810.unknown _1188344529.unknown