一类飞机加油问题的优化模型

第21卷第3期 Vo1．21 No．3 徐 州 工 程 学 院 学 报 Journal of Xuzhou Institute of Technology 2006年 3月 MAR．2006 一 类飞机加油问题的优化模型 张兴永，赵高峰，刘广峰，周 英 (中国矿业大学理学院， 江苏 徐州 221008) 【摘 要】 对飞机的空中加油问题进行了研究：首先对问题中的一些相关因素进行了，以 最大作战半径为目标建立了一个单目标非线性实时规划模型，然后分别讨论了辅机单侧独立、双侧 独立和双侧协作三种加油策略时的R ，且给出了R 的极限结果． 【关键词】 飞机；加油问题；优化模型 【中国分类号】 O221．2 【文献标识码】A 【文章编号】1673—0704(2006)03—0054—06 1 问题的提出 飞机的空中加油就是利用空中加油机在空中给飞行中的作战飞机补给燃油，以增大作战飞机的作战范 围．空中加油任务的规划是比较复杂的问题，需要综合考虑多方面的因素．合理制定空中加油方案是组织实 施空中加油保障的前提和基本依据． 现在国内外学者对空中加油问题已进行了研究，他们将实际加油问题进行简化，进行理论分析并建立了 数 学模型，制定出最优的加油方案L3卜 ]．我国学者也对空中加油进行了相应的研究，并取得了一定的成 果[ Ⅱ。][7]． 本文针对一架作战飞机(简称主机)和n架加油机(简称辅机)情况，进一步考虑了辅机的单侧、双侧及辅 机协调等加油情况，并利用优化方法，研究主机的最大作战半径及极限问题．对此问题的研究在现代军事技 术中具有重要的现实意义． 2 基本假设、符号和代号说明 2．1 基本假设 2．1．1 主机与辅机的速度和单位时间的耗油量均相同且为常数，油箱装满油后的最大航程均为 L(公里)， 所有飞机在完成自身的任务后均要求返回基地． 2．1．2 主机的最大作战半径(简称作战半径)是指主机在行架辅机的协助下所能飞到的(并安全返回)离基 地的最远距离，主机和辅机在飞行中不会出现故障． 2．1．3 辅机在任意时刻都知道主机的位置且能按最短路线飞往主机为其加油，每架飞机只能上天一次 ． 2．1．4 飞机起飞、转向和空中加油的耗时忽略不计． 2．2 符号和代号说明 ：油箱装满油后飞机的最大航程；q：主机或辅机飞行单位时间的耗油量； ；主机或辅机的飞行速度}c： 主机或辅机满载时的载油量；n：辅机的总数量；￡ ：主机的起飞时刻；￡f：主机返回基地的时刻； ：第 i架辅机起 飞的时刻}￡ ：第 i架辅机返回基地的时刻；丁 ：第 i次加油的时刻 (包括辅机对主机或辅机对辅机加油)； R(m)：第 m架辅机离基地的最远距离；Sij,：在第 次加油时，飞机i向飞机 矗加油的数量( ，矗： l，⋯，n+ l， 收稿 爵期 ；2005—12—16 资金项目t中田矿业太学科技专项基金(OZK4566)责助 作者简介：张*采，男，江苏铜山县人，刮教授 ，主要从事应用研究 ·54· 维普资讯 http://www.cqvip.com 当i，南一 +1时，飞机示主机，否则表示辅机)；D ：在第J次加油时，飞机i接受飞机南的加油量( ，南=1， ⋯ ， + 1，当 ，k= + 1时，飞机表示主机，否则表示辅机)． 加油点：辅机给主机加油时，这两架飞机所在的位置；辅机组合群：同一个基地的几架飞机协同合作共同 完成对主机的一次加油，这几架飞机就称为一个辅机组合群． 3 问题的分析及模型的准备 3．1 空中加油调度问题 主机与辅机的速度和单位时间的耗油量相等且均为常数，油箱装满油后的最大航程均为L(公里)，是实 际空中加油问题的一个抽象和简化．对飞行中的主机进行空中加油，可提高其直航能力，保证任务的顺利完 成．在辅机总数一定的条件下，为尽可能提高主机的作战半径，需要制定出合理的加油机调度方案．一般而 言，最优的方案应使作战飞机到达指定目标的时间和加油机的总数、飞行距离和耗油量达到最小． 3．2 问题 目标函数的构建 通过对问题的初步分析发现，飞机空中加油问题是个实时动态控制问题，可以建立规划模型来求解 ．为 了建立规划模型，我们必须先找出模型的目标函数，只要由目标，抽象出约束条件，很快就可建立该问题的数 学模型． ，^ 在问题中，要求主机作战半径最大，路程与其总油量有关，其它辅机为主机的总供油量为∑∑5啪+ ， i 1 J1 1 而其本身携带油量为c，则作战半径的表达式为： ，^ ∑∑5 + +c R == 2 c 其中，c为飞机的油箱容量， 为辅机的总数量，N为总的加油次数，5 + ：在第J次加油时，辅机i向主机 加油的数量． 4 数学模型 4．1 模型的建立 考虑一个空军基地，并且每架辅机只能飞行一次，那么主机的作战半径只与辅机的数量及其调度方案有 关．我们建立数学模型的目标是在辅机数量一定的情况下使主机的作战半径最大，所以该问题的目标函数 为 ： Ⅳ ∑∑5 +c M ax： R 一 在该目标条件下，通过对问题的分析我们发现当辅机为主机或辅机加油时，需满足如下限制条件： (1)在时刻t∈ (￡ tie)，辅机i在空中飞行，其油箱中的油量应大于等于0． 若t∈( ，Tm+ )( 一1，⋯，Ⅳ一1⋯t≤ ≤tie)，辅机i接受的总油量为∑∑D ，它向其它辅机或 J= 1 暑 1 m + 1 主机的总供油量为∑∑，所以在t时刻，辅机i油箱内的油量应满足： J一 1 1 1 m H 删 + 1 ∑∑D +c一∑∑5珊一q(￡一 )≥0． J=1 Ⅱ 1 ，= 1 ；1 (2)在时刻t∈(￡ ， )，主机在空中飞行，其油箱中的油量应大于等于0． 若t∈(71 ， + )( 一1，⋯，Ⅳ一1，t ≤T ≤￡ )，主机从其它辅机接受的总油量为∑∑S枷+ ，在￡时 工 1 f 1 刻主机油箱内的油量应满足： ∑∑5协+ +c～q(￡一￡ )≥0． (3)在时刻 ( 一 1，⋯，Ⅳ)，辅机 i为其它辅机或主机加油的总量不能超过其油箱中剩余的油量。 m一1 卅一 1 + l 在时刻T ，辅机i油箱中的油量为∑∑D +c一∑∑S珊一q(T 一f )，辅机i向其它辅机或主机 ，一 】 -_】 J； 1 1 ·55· 维普资讯 http://www.cqvip.com 提供的总油量为∑ ，所以应满足： l 一 1 m一 1 n+ 1 n+1 ∑∑D +f一∑∑ 珊一g( —ti,)≥∑S (4)在时刻 ( 一1，⋯，Ⅳ， ∈(￡ ))，辅机i从其它辅机接受的总油量与油箱中剩余油量的总和 不能超过其油箱容量 c． m一1 晰一 1 + l 在时刻Tra辅机i油箱中的油量为∑∑D啦+f一∑∑S啦一g( —ti5)，辅机 从其它辅机接受的 J-_1 詈1 J一 1 一 1 总供油量为 D ，此时应满足： l一 1 州一 1 n m一 1 + l ” ∑∑D +f一∑∑ 啦一g( ～ )+∑D ≤c． (5)在时刻 T (m一 1，⋯，Ⅳ，T ∈ ( ，， ))，主机从其它辅机接受的总油量与油箱中剩余油量的总和不 超过其油箱容量 f． 在时刻T ，主机油箱内的油量为∑∑D +Ⅲ+c—g( 一 )，主机从辅机接受的总油量为∑D +。 ， 此时应满足： ∑∑D + +f—q(T 一￡ )+∑D + ≤c． (6)在第J次加油时，不考虑加油过程中油量的损失，则第 i架飞机给第 k架飞机的加油量等于第k架飞 机从第 i架飞机接受的加油量，即有： ．s = D J^ ( 一 1，⋯ ， + 1， = 1，⋯ ，N ，k一 1，⋯ ， + 1)． (7)时间约束：辅机在空中飞行的时间区间是主机在空中的飞行的时间区间的子集，即 t ，tie)c ( ， )( 一 1，⋯ ， )． ． 至此，我们建立了如下的数学模型： ∑∑ +c M ax： R 一 2 c ∑∑D珊+f一∑∑ 一q(￡一￡ )≥0 t ；≤T ≤tie,t∈(T ，T + ) J=1 一1 j 1 一1 ∑∑ 咖+l+f—g(￡一 )≥0 t ≤T ≤te t∈(丁 ，T + ) j= 1 I皇 1 晰一 1 n 卅一 1 n+ l "+ l ∑∑D珊+c一∑∑ 珊一q(T 一￡ )≥∑ J一 1 l1 1 鲁 1 l1 1 =^ 1 m一 1 一 l + l ∑∑D +f一∑∑S 一g( —tis)+∑D ≤c ∈(￡ t ) J皇1 l一1 J鲁1 11 卫1 ，，l一 1 H ∑∑ 十lJl+f—g( 一￡ )+∑D川 l≤f 丁 ∈(￡一t) E 1 =^ 1 — l = D^ i一 1，⋯ ， + l，J一 1，⋯ ，N，惫一 l，⋯， + 1． 4．2 模型的求解 该模型中涉及到的变量较多，不仅模型描述的系统是实时动态变化的，直接求解很困难，而且计算机求 解的时间可能很长，像美国空军的AAA系统一样，可能需要几个月才能计算出较好的方案．因此我们的思路 是先分析在数量较小的情况下 与尺 的关系及此时辅助飞机加油策略的特点及主机接受油的特点等，再以 最优作战方案的必要条件及充分条件为指导，借助于计算机编程完成对问题的求解． ·56· 维普资讯 http://www.cqvip.com 4．2．1 可能的加油策略 4．2．1．1 单侧加油与双侧加油策略 如图1所示，如果给定的辅机数目大于 2，我们就可以使其都在一 侧 给主机加油，也可以让一部分在左侧加油另一部分在右侧加油，经 计算可以看出把加油机放在两侧可以使主机飞得更远． 4．2．1．2 辅助机问相互加油与辅助机问相互不加油 我们知道辅机的最大飞行距离为L，如果辅机间不相互加油，那么 它最多可以到接近 L／2的地方给主机加一点点油，而当各辅机之间可 以相互加油，一架辅机飞行的路程就会不止是L。就可以在L／2以上的 区域给主机加油，这样主机显然可以飞得更远。 4．2．1．3 局部策略向全局策略的转变 I l l l 图1 单侧加油策略 与双侧加油油策略 Fig．1 Single side fueling strategy and double side fueling strategy A、B的策略是考虑少量辅机时得出的，而对于规模为 的加油机群我们又应该怎么样应用这些策略呢? 大自然的分形理论告诉我们一切事物都有自相似性，我们也认为加油的策略具有分形的特征．所以我们就可 策略 2．双侧、独立加油．将辅机分成大致相等的两批，分别按照策略 1对主机进行加油． 策略3．双侧、协作加油(树形策略)．将辅机分为大致相等的两批给主机加油，而辅机问也以N样的方式 资料显示主机加油的最佳时刻一般是主机的剩油率为 60％～ 70％左右时，当 一1时，通过计算发现 充要条件：某次任务如果整个辅机群飞行的距离最小，则主机的作战半径最大． 必要性证明：设辅机数为( 一1)，第 架辅机的行程为2R(m)，则主机和辅机的总行程为 ，主机的行程 为 一∑2R(m)．由于 和L是常数，如果 一∑2R(m)最大，则∑2R(m)应为最小． 采用单侧加油策略对主机进行加油时，仅考虑送主机的情况，如图 1(口)所示．根据几何关系我们可以得 xc ={ +x ／3， ： 那么策略1对应的 一尺 的关系就可以用尺 一 来表示，如果应用策略2其 一尺 对应关 (1+x([詈]+x([詈])1 策略 3的具体实施相对较困难，我们可以把主机也看成是一架辅机，这样我们求的就是 + 1架辅机最 远的飞行距离(要全部都能回来)．下面分别讨论当 一1，2，3时，应用策略 3的调度方案． 设 辅机数为 ，为主机前进服务的辅机和为其返回服务的辅机给主机加的油分别可供主机飞行的距离 尺 一 ， ·57· 维普资讯 http://www.cqvip.com f O ， ===1 f 0 ， 一 0 I 1／3 ，，2— 2 (，2)={ 1／3 ， 一1 (，2)： 1／3 ，，2=3 +x‘ ～ 3 ， > fx([号])4-_耋-(R([号])一x([号])) ， >3． 采用上面的算法编制的程序可以计算出不同策略下给定 ”的最大作战半径， 为不同值时，各策略对应 的最大作战半径不同．表1给出了雄为1～6时，各策略所对应的作战半径．不同策略下，最大作战半径R 与 辅机数量 的变化趋势如图2、3所示． 表 i 不同策略的主机最大主战半径 Table 1 the longest fighting radius ofmain flane under diferant strategies 辅机数 l 2 3 4 5 6 图 2 不同策略的 R 的趋势 Fig．2 Rn trends of different strategies 图 3 策略 3辅助飞机数与作战半径的关 系 Fig．3 Strategy 3 the relationship between auxiliary plane numhers and fighting radius 由图2可以看出，当辅机数雄为定值时，采用策略 3时，主机的作战半径最大，然后依次是策略2(双侧)、 策略 1(单侧)．更精确的计算发现，策略 1收敛于 0．75，策略 2收敛于 1．但是对于策略3来说则是发散的，也 就是说当采用策略3时，R 可以趋向于无穷大． 5 模型的评价 5．1 模型的优点 5．1．1 巧妙引入两个重要 5珊和D珊来描述空中加油调度问题，然后以此为基础确定约束条件并建立 目标函数，最终建立了相应的数学模型． 5．1．2 模型能给出详细的作战方案，包括每次加油的时间，以及加油时辅机为主机或辅机为辅机的加油数 量． 5．1．3 我们编制了求解该问题的软件包程序，有效地解决了空中加油中的各问题． 5．1．4 模型具有广泛的适用性，可以推广多个空军基地且飞机速度、耗油量等参数不同的情况． 5．2 模型的缺点 5．2．1 模型中涉及众多变量，使模型的求解非常复杂． 5．2．2 在模型建立的过程中，未考虑多架主机从不同基地起飞，到不同目标执行任务的情况． ·58‘ 维普资讯 http://www.cqvip.com 5．3 模型的改进 为降低模型求解难度，可先对空中加油调度进行理论分析，寻找最优空中加油方案满足的规律或规则， 然后再进行求解． 参 考 文 献 [1]余旭东，武文军．解读美空军空中加油行动口]．军事广角． [2]孙金标，施克如，王克格．空中加油问题的最优化研究口]．飞行力学．18(4)：10--12． [3]J．W．BARNES，V．D．WILEY AND J．T．MOORE．Solving the Aerial Fleet Refueling Problem using Group Theoretic Tabu Search[J]．Mathematical and Computer Modelling，2004，(39)：617—640． [4]Yufei Yuan，Abraham Wehrez．Refueling strategies to maximize the operational range of a nonidentical vehicle fleet[J]． European Journal of Operational Research，1995。(83)：167—181． [5]B．Russina and B．Ruthsatz，The quick look tool for tanker deployment[J]．Technical Report，Center for Optimization and Sematic Control，st．Louis。MO(1999)． [6]S．R．Capehart，A tabu search metaheuridtic for the air refueling tanker assignment problemEJ]．Master’s Thesis，Air Force institute of Technology，W right—Patterson AFB，OH ，2000． E7]洪冠新，金长江．空中加油调度的研究[J]．飞行力学．1997，15(1)：44—48． Optimization M odel for In-- FI ight Refuel ing of Airpl anes ZHANG Xing—yong，ZHAO Gao—feng，LIU Guang—feng，ZHOU Ying (College of Sciences，China Univ．of Mining and Technology，Xuzhou，221008，China) [Abstract] This paper is a research on the problems of airborne refueling of airplanes．In this paper，we first analyze some related factors to the problems。and then establish a single target non——linear real——time programming model which treats the maximum battle--radius as the goa1．We also separately discuss about R Of 3 refueling strategies for the auxiliary planes，including independent single side，independent double side and cooperation Of double side strategies，and also give the limit result Of R ． [Key words] airplane；in--flight refueling；optimization model ·59· 维普资讯 http://www.cqvip.com