12提高教师

第十一讲 一笔画 在这节课中，老师将引导学生一起来探讨一笔画问题，通过学习一笔画的规律.可以根据奇点的个数来判断哪些图形能一笔画，哪些不能一笔画，并能将不能一笔画的图形改成一笔画图形，最重要的是培养学生利用一笔画知识解决实际问题的能力，同时使学生懂得数学的巨大作用. ：　1、会判断一个图形能否一笔画成. 　 　2、会将不能一笔画的图形改成一笔画的图形. 　　 3、利用一笔画解决实际问题． ：可以，如图所示： 　　什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复. 　　我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点.　　 判断图形能否一笔画的规律： （1）能一笔画出的图形必须是连通的图形； （2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点； （4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． （1） 判断图形能否一笔画成 【例1】 判断下列图a、图b、图c能否一笔画． 分析：图a是一个连通的图形，图中只有点A和点F两个奇点，所以它能一笔画，其中一种画法如下：A→M→N→A→F→B→C→B→K→C→D→E→D→L→E→F． ‘ 图b是一个不连通的图形，所以不能一笔画． 图c是连通图，图中所有点都是偶点，所以能一笔画．其中一种画法如下：A→B→C→D→E→F→D→A→F→C→A． [巩固] 判断下列各图能否一笔画出，并说明理由. 分析：前面图中，（1）（2）（3）均不能一笔画出，这是因为：图（1）中有四个奇点，图（2）有四个奇点，图（3）有六个奇点. 　　图（4）和图（5）均可一笔画出，这是因为图（4）和图（5）都没有奇点.画时可以从任一点开始. 【例2】 在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D.已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？ 分析：许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题.这道题只爬过所有的棱，没要求不能重复.可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜.问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题.图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D却不能，因此E点的蚂蚁获胜. [巩固]右图是某地区所有街道的平面图.甲、乙二人同时分别从A、B出发，以相同的速度走遍所有的街道，最后到达C.如果允许两人在遵守规则的条件下可以选择最短路径的话，问两人谁能最先到达C？ 分析：本题要求二人都必须走遍所有的街道最后到达C，而且两人的速度相同.因此，谁走的路程少，谁便可以先到达C.容易知道，在题目的要求下，每个人所走路程都至少是所有街道路程的总和.仔细观察上图，可以发现图中有两个奇点：A和C.这就是说，此图可以以A、C两点分别作为起点和终点而一笔画成.也就是说，甲可以从A出发，不重复地走遍所有的街道，最后到达C；而从B出发的乙则不行.因此，甲所走的路程正好等于所有街道路程的总和，而乙所走的路程则必定大于这个总和，这样甲先到达C. [数学小游戏] 用一笔画成四条线段把所有的点连起来，怎样画? 分析： 通过试画，似乎不可以画，但通过仔细观察，对照一笔画的规律，便可发现，若添上两个辅助点，就可画威成．如下图： （2） 多笔画问题 　　我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成.公式如下： 　　奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n. 【例3】 观察下面的图，看各至少用几笔画成？ 分析：（1）图中有8个奇点，因此需用4笔画成. 　　 （2）图中有12个奇点，需6笔画成. 　　 （3）图是无奇点的连通图，可一笔画成. [巩固]下列各图至少要用几笔画完？ 分析：（1）4笔；（2）4笔；（3）2笔；（4）1笔；（5）1笔；（6）1笔. 【例4】 判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形． 分析：图a：原图有四个奇点，所以不能一笔画，在B,D两点之间加一条线后，图中只有两个奇点，故可以一笔画出，如图d所示． 画法：H→A→B→C→D→E→F→I→D→B→I→H→G→F． 图b：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．去掉K，L两点之间的连线，图中只有两个奇点，故 可以一笔画出，如图e所示． 画法：B→C→D→E→F→→J→H→G→I→A→B→K→I→L→E． 图c：原图有四个奇点，所以不能用一笔画．在B，C两点之间加一条线后，图中只有两个奇点， 故可以一笔画出，如图f所示． 画法：A→E→D→H→A→B→F→C→G→B→C→D 注意：a、b、c三个图都是连通的图形，但由于每个图的奇点个数均超过两个，所以都不能一笔画． 【例5】 将下图改为一笔画. 　 分析：图（1）中有6个奇点，因此可添上两条（或3条）边后可改为一笔画；又因为这个图中，把这6个奇点任意分为3对后，最多只有两对奇点间有边相连，因此，可去掉两条边后改为一笔画，举例如图（3）～（6）. 　　图（2）中有4个奇点，因此，可添上2条（或1条）边后改为一笔画；又因为把奇点按A与B，C与D（或A与D，B与C）分为两对后，每对间均有边相连，因此，可去掉两条（或1条）边后改为一笔画.举例如图（7）～（8）. 　　说明：图（6）运用了两种方法，去掉边BC，添上边AD与EF. 　 （三）一笔画的实际应用 【例6】 18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功?： 这个有趣的问题引起了著名数学家欧拉的注意，他证明了七桥问题中提到的走法根本不存在． 下面，我们考虑如下两个问题： (1)如果再架一座桥，游人能否走遍所有这八座桥?若能，这座桥应架在何处?若不能，请说明理由． (2)架设几座桥可以使游人走遍所有的桥回到出发地? 分析：（1）图a中，用A,D表示两个小岛，点B,C表示河的左右两岸，若再用连接两点的线表示桥，从而得到一个由四个点和七条线组成的图形(如图b)．在图b中，点A，B，C，D四个点均为奇点，显然不能一笔画出这个图形．若将其中的两个奇点改成偶点，即在某两个奇点之间连一条线，这样奇点个数由四个变为两个，此时，图形可以一笔画出．如我们可以选择奇点B，D，在B，D之间连一条线(架一座桥)，如图c．在图c中只有点A和C两个奇点，那么我们可以以A为起点，C为终点将图形一笔画出．其中一种画法为：A→C→A→B→A→D→B→D→C,所以，如果在河岸B与小岛D之间架一座桥，游人就可以不重复地走遍所有的桥． （2）在(1)的基础上，再在另外两个奇点A与C之间连一条线(即架一座桥)，使这两个奇点也变成偶点，如图d．那么A，B，C，D四个点均为偶点，所以图d可以一笔画出，并且可以以任意点为起点，最后 仍回到这个点．其中一种画法为：A→C→A→C→D→A→B→D→B→A 这表明：在河岸B与小岛D之间架一座桥后，再在小岛A与河岸C之间架一座桥，共架设两座桥，就可以使游人不重复地走遍所有的桥并回到出发地． [巩固]如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸.问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥？ 分析：用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图，有2个奇点，所以该图可以一笔画，即可以一次不重复地走遍这七座桥.例如右下图的走法. 　 【例7】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？ 分析：这种应用题，表面看起来不易解决，事实上，只要认真分析，就可以发现：我们并不关心展室的大小以及路程的远近，关心的只是能否一次不重复地走遍所有的门，与七桥问题较为类似.因此，仿照七桥问题的解法，我们可以把每个展室看作一个结点，整个展厅的外部也看作一个点，两室之间有门相通，可以看作两点之间有边相连.这样，展厅的平面图就转化成了我们数学中的图，一个实际问题也就转化为这个图（如下图）能否一笔画成的问题了，即能否从A出发，一笔画完此图，最后再回到A. 　　上图（b）中，所有的结点都是偶点，因此，一定可以以A作为起点和终点而一笔画完此图.也即游人可以从入口进， 一次不重复地穿过所有的门，最后从出口出来. 下面仅给出一种参观路线：A→E→B→C→E→F→C→D→F→A. [注意]本题中，必须以A分别作为起点和终点.这就要求图中必须没有奇点，否则，若有两个奇点，虽能一笔画出，但与从入口入、出口出（即游人的出发和终止点都在展厅外）有矛盾，其他有多个奇点的情况则根本不可能一笔画出.另外，通过前面的学习，大家已经知道：一个图如果能够一笔画出，则画的方法不止一种，但各种方法大同小异. [拓展]如图是一个超市的平面图，超市共有六个门，张明想一次走遍所有通道而又不走重复路线，请你帮他设计一种进出方法． 分析：把每一条通道看作是边，通道的交点看作是结点(每个门处即为一个结点)，可得下图，这样问题就转化为能否从某点出发将图一笔画的问题． 观察可知，图中只有两个奇点(点C和点D)，根据一笔画原理可得：将点C和点D分别作为起点和终点，可将右图一笔画出．即张明从C门(或D门)进超市，一次走遍所有通道后从D门(或C门)出超市，其行进路线为：C→D→E→O→C→B→E→F→A→B→O→D 【例8】 有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右图中的点表示村庄，线段表示道路.邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？ 分析：图中有两个奇点，所以该图可以一笔画，但因为邮局所在点为奇点，所以要一笔画就不可能回到邮局.又图中A,B,C,D,E,F,G,H,I,J十点均有4条线段与之相连，如果我们将上图一笔画的话，就要经过以上十点各两次，这也不满足题目的要求，所以要将这些点相连的线段去掉一些，使得与这些点相连的线段均只有两条，并且将两个奇点也变成只有两条线段与之相连，这样得到的图形即可一笔画，又只经过每个点一次，并且可以回到邮局，一种可行路线如下： 【例9】 已知长方体木块的长是80厘米，宽40厘米，高80厘米(如右图)，并且要求蜘蛛在爬行过程中只能前进，不能后退，同一条棱不能爬两次．请问这只蜘蛛最多要爬行多少厘米? 分析：图中八个顶点均为奇点，所以不能一笔画，要使其能一笔画，至少要去掉三条棱，使上图只有两个奇点，就可以满足一笔画的条件．长方体的棱长总和一定，(80+80+40)×4=800(厘米)，因此去掉的三条棱越短，蜘蛛爬过的距离就越远．所以我们去掉三条棱长为40厘米的棱，于是可知，蜘蛛爬行的最远距离为：800—40×3=680(厘米)．蜘蛛的爬行路径为：G→F→C→D→G→H→A→B→E→H(如右图)． [注意]这是一个立体图形，它有八个顶点，我们把长方体的棱看作顶点与顶点之间的连线，蜘蛛只能前进不能后退，并且每一条棱不能爬两次，这实质上是一个一笔画问题． [拓展]右图中每个小正方形的边长都是100米.小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？ 分析：这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解.首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点.所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如图: 【例10】 右图是某小区的街道分布图，街道长度如图所示(单位：公里)，图中各点表示不同楼的代号．一辆垃圾清扫车从垃圾站(垃圾站位于C楼与D楼之间的P处)出发要清扫完所有街道后仍回到垃圾站，问怎样走路线最短，最短路线是多少公里? 分析：为了少走冤枉路和节省时间，题目中要求最短路线，根据一笔画原理，我们知道一笔画路线就是最短路线．本题要求清扫车从P点出发，仍回到P点．通过观察上图可知，图中有六个奇点，根据一笔画规律可知，清扫车想清扫完所有街道而又不走重复的路是不可能的．要使清扫车从P点出发，最后仍回到P点，就必须把图中所有的奇点都变成偶点，即在两奇点之间添加一条线．在实际问题中，就是清扫车在哪些街道上重复走的问题，由于每条街道的长度不同，因此需要我们考虑清扫车重复走哪条街道才使总路线最短．为使六个奇点都变成偶点，我们可以有下图中的四种方法表示清扫车所走的重复路线，其中填虚线的地方表示的是重复路线．重复的路程分别为： 图a：2×2+3=7；图b：3+4×2=11；图C：3×3=9； 图d：3+6×2=15． 显然，重复走的路线最短，总路程就最短．从上述计算中就可找到最短路线图，即下面四个图中的图a． 在图a中，所有点均为偶点，是一笔画图形．清扫车可按如下路径走：P→D→G→D→E→F→G→H→L→H→C→B→L→M→A→B→C→P，全程为：(1+2+4+2)×2+3×5+2×2+3=40(公里)． 本讲一笔画问题是小学中最后一次学习了，通过学习本讲，同学们应该可以发现一笔画问题在实际生活中有很大的应用．希望同学们认真学习，再接再厉！ 1. （例1）判断下图能不能一笔画成，如果能应怎样画? 分析： 图1共有八个点.A、B、C、D、H、G是偶数点，E、F是奇数点，根据只有两个奇数点，一定可以一笔画成，画时必须以一个奇数点为起点，最后以另一个奇数点为终点. 图2共有9个点A、B、C、D、I是偶数点，E、F、G、H是奇数点，由于图形中奇数点多于两个，所以此图形不能一笔画成. 2. （例3）判断下列各图中，哪些图形可以一笔画出，哪些不能一笔画出?能一笔画出的，请用一笔把它们画出来． 分析：图(2)、(3)所有点都是偶点，可以一笔画，图(1)、(6)中只有两个奇点，也可户以一笔画，画法如下： 图(4)中有4个奇点，图(5)是非连通图，所以图(4)、图(5)不能一笔画． 3. （例5）判断下面的图能否一笔画成；若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？ 分析：图中共有4个奇点，因此，显然无法一笔画成.要想改为一笔画，关键在于减少奇点的数目（把奇点的个数减少到0或2），具体方法有两种： 　 　　（1）去边.即将多余的两奇点间的边去掉. （2）添边.即在多余的两奇点间添上一条边.本题中，可以在奇点A、C间添上边AC.添边的方法适用于任意多笔画的图. 4. （例6）在一条河的中间有两个小岛，周围有六座桥与两岸相通．问能否找到一条路线，从一岸出发，不重复走遍所有的桥，然后到达对岸? 分析：用点表示小岛与河岸，用连接两点的线表示连接相应两地的桥，如图，由于此图中有A和C两个奇点，虽然可以一笔画出此图形，但起点和终点必须为A和C，所以要想以C和D分别为起始点和终点，是无法一笔画出此图形的，所以不能找到一条路线，从一岸出发，不重复走遍所有的桥，然后到达对岸. 5. （例7）右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由.如果能，应从哪开始走？ 分析：我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到下图.能否不重复地穿过每扇门的问题，变为下图是否一笔画问题. 　　图中只有A，D两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走. 教学目标 你能用剪刀从下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形吗? 想 挑 战 吗 ？ 专题精讲 专题展望 练习十一 成长