13球的体积

球的体积 马 明 江苏南京师范大学附中 作 者 简 历： 马 明 江苏南京人，l951 年肄业于金陵大学数学系，一直从 事中学数学教学工作。1962 年起任南京师大附中数学教师，曾任 副校长等职。1984 年被评为江苏省中学特级教师，1988 年被评为 江苏省中学高级教师。现任南师附中数学教师，江苏省中数 学教学研究会副理事长，南京市数学会副理事长，国家教育委员 会中小学教材审查委员会委员。 教学目的 通过“球的体积”的教学，不仅要求学生熟记球的体积公式，更要培养学生观察、估算、 猜想、构造和论证能力，并注意完善学生的认知结构。 [若只要求学生记住有关公式，剩下的就是反复练习——解几个一元方程；已知半径求 体积；已知体积求半径，……这是降低教学要求] 教学过程 师：(板书)已知球的半径为 R，求 V 球=?(出示小黑板——图 1) [思维从问开始] V 圆柱 图 l 师：为了计算半径为 R 的球的体积，可以先计算半球的体积 V 半球。观察图 1，你一定能 在 V 圆柱、V 半球、V 圆锥这三个量之间正确地写上不等符号(学生完成)，得 V 圆柱> V 半球>V 圆锥 [提供类比，让学生目测大小，温故而知新，用以强化认识过程] 师：由于 V 圆柱=πR3、V 圆锥= 3 1 πR3是已知的，便得双重不等式(板书)： πR3> V 半球> 3 1 πR3 [向“量化”过渡] 你能猜测 V 半球=？ [引诱学生猜想。猜想是发现的开始] 生：…… (教师将πR3的系数“1”改写为“ 3 3 ”，得 3 3 πR3>V 半球> 3 1 πR3) 师：可以大胆一些，准许猜错。 生：V 半球= 3 2 πR3对吗? (此答案不一定出自成绩最好的学生，而是胆大者，思维活跃者) 师：有一定理由。因为 3 3 > 3 2 > 3 1 嘛!然而，这太冒风险了。 [既鼓励，又提出更高要求，使学生仍处于激奋境地] (用行动支持敢于大胆猜想的学生) 师：我们不妨做一个试验，用以验证这个猜想。 [理、化有实硷，数学也可以有实验。美国盛行“数学实验数学法”，这对激发学生学习 兴趣，培养学习能力都十分有利] (取一个半径为 R 的半球面，再取半径和高都是 R 的圆桶和圆锥各一个，都是铁皮制成 的容器。将圆锥放入圆桶内(图 2)，再将半球容器装满细沙，然后把半球内的细沙倒入圆桶 内，发现圆桶恰好被装满) 图 2 师：你能将实验结果用一个等式表达出来吗? [鼓励学生将实验结果“量化”(构造一个等式)是十分重要的数学方法] 生甲：(板书) V 圆柱-V 半球=V 圆锥 生乙：(板书) V 单球=V 圆柱-V 圆锥 =πR3- 3 1 πR3= 3 2 πR3 师：于是得(板书) V 球= 3 4 πR3 且 V 圆柱:V 半球:V 圆锥=3:2:1 师：中学数学是建立在推理的基础上的，实验结果是否可靠，还要进行论证才行。 [中学理、化是建立在实验基础上的。用数学工具去证明实验结果，学生兴趣盎然] 师：我们现在的任务是证明这个实验结果。或者说，是要证明图 2右边充满细沙的几何 体与左边充满细沙的半球是等积形。而右边几何体的体积是已知的。(板书) 该几何体的体积=πR3- 3 1 πR3= 3 2 πR3。 如果再能证明它符合祖暅原理中的“条件”，我们就可以将它作为半球的参照体了。 (为了运用祖暅原理，所引入的几何体必须符合两个条件：一是它的计算公式是已知的； 二是它符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间，且用平行于 这两个平面的任意一个平面去截时，截得的截面面积总相等。符合以上两个条件的几何体可 叫做原几何体的参照体。在前面推导柱、锥的体积的多次教学中应该引用这个术语，让学生 熟悉祖暅原理与该术语的关系) 该几何体与半球同高(R)，这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间，剩下的问题是要 证明它与半球的等距截面的面积相等。 用与底面平行的任一平面去截图 2 的两个几何体(图 3)，截面分别是圆面和圆环面。如 果截面与平面α的距离为 l，那么圆面半径 r= 22 lR − ，圆环面的大圆半径为 R，小圆半径为 L，因此 S 圆=πR2=π(R3-l2), S 圆环=πR2-πl2=π(R3-l2), 所以 S 圆=S 环 根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即 V 半球=πR2·R- 3 1 πR2·R = 3 2 πR3, 所以 V 球= 4 3 πR3. 由此，“猜想”得到证明，可以写成定理形式： [从猜想到证明是“质”的升华!是学习数学的最重要的素质] 定理：如果球的半径是 R，那么它的体积是 V 球= 3 4 πR3. 师：你准备怎样记忆这个结论呢? [不管是意义识记或是机械识记，在这里都是有效的，都是可行的。根据各个学生的学 习习惯，不必强求一律] 生甲：根据“细沙实验”， V 单球=V 圆柱-V 圆锥 =πR3- 3 1 πR3 = 3 2 πR3。 ∴ V 球= 4 3 πR3。 生乙：我只要记住 V 圆柱:V 半球:V 圆锥=3:2:1 就行了。 师：还有其他的记忆方法吗?例如，把球体视为拟柱体，采用拟柱体的体积公式试试看。 [数学教师要不要培养学生的记忆能力，这是有争议的。看来，数学教师有可能，也有 必要去培养学生的记忆能力] 生：(板演) 对于拟柱体，所以 V 拟柱体= 6 1 h(S+4S0+S’), 对于球, h=2R,S=S’=0,S0=πR2, 所以 V 球= 6 1 ·2R(0+4πR2+0) = 3 4 πR3 (随时复习与应用拟柱体体积公式。) 师：这能作为球体积公式的证明吗? 生：球体不是拟柱体，不能作为证明，但可以作为一种记忆方法。 师：还有其他的记忆方法吗?例如，将球体分割成许多小的锥体，球心是这些小锥体的 顶点，锥的底面不是平面，而是球面的一小部分(是曲面)请看图 4。 [是重要的数学思想] 于是，V 球=许多小锥体体积之和。而这许 图 4 多小锥体的母线视为球半径 R，又因为所有小锥体底面面积之和等于球体的表面积（4πR2）， 所以 V 拟柱体= 3 1 (S1+S2+…)h = 3 1 ·4πR2·R = 3 4 πR3。 [发展学生的空间想象能力] 同样，这也不能作为球体积公式的证明。但是，使人感兴趣的是，拟柱体、小锥体与球 体的这种“默契”，这种内部的一致，给人们以和谐的感觉，它不仅帮助人们记忆，还给人 以和谐美的感受! [升华了] 师：现在再请大家自己解答一个问题：(板书) [不十分困难的例题由学生自己解答，然后再对照课本并进行议论，有时比教师直接讲 解要收效大些，不妨一试] 有一种空心钢球，重 142 g，测得外径等于 5.0 cm，求它的内径(钢比重是 7.9 g／cm3)。 师：这是课本的例题，解完后自行对照课本。 (学生议论，同时由一位学生板演) 师：今天这堂课的关键是构造一个球的参照体，而“细沙实验”帮助我们解决了这个问 题。你能离开实验，经过直接构造这个参照体吗? (代替小结，将课内效果引向课外——直接构造参照体) 说明 这份教案显然是写给别人看的，如果只是为了自己教学，我想，只要记下教学过程就行 了： (1) 提出问题：V 球=? (2) 自测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系(图 1)； (3) 得猜想：V 半球= 3 2 πR3； (4) 细沙实验——验证“猜想”； (5) 构造参照体，证明“猜想”； (6) 得定理、谈记忆； (7) 例题、小结、作业。 我为什么要采取上面这几个环节?理由如下： 目前的数学教材是从少数公理和原理出发，通过演绎，将知识展开。于是，过程(1)～ (4)都可以省略。并且，“参照体”也是由教材直接给出的(不需要构造)。师生的任务只是 用演绎法推得 V 半球= 3 2 πR3。这就是“内化”过程。由于教材总是把知识和方法用定论的形式 直接呈现在学生面前，新、旧知识的衔接点直接给出，内化任务很快就完成。因此，这种做 法的优点是直截了当，节约时间；缺点是学生缺乏一个完整的认知过程，把知识或方法不是 作为“过程”而是作为“结果”直接抛给学生。长此以往，越“抛”越多，学生头脑中很难 形成一个有效的认知结构，结果成绩分化，出现大量差生。 反之，插入环节(1)～(4)，则环节(5)的“构造参照体”(这是全课的关键)就十分自然。 从“目测”到“猜想”，这是“发现”；从“猜想”到“实验”，这是强化“发现”，而环 节(5)则是内化。这种先发现后内化的过程又是在教师指导下进行的，教师的主导作用和学 生的学习积极性十分融洽。 “目测”、“大胆猜想”、“实验”等环节，所有差生都有发言权，优生也不乏味；从 “实验”到“构造参照体”，随流而下，直闯关键(出现参照体)，终达彼岸(得定理)。最后 “谈记忆”，生动活泼，乃至升华，“小结提问”，余味不尽。 数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方 法不是作为思维过程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回 避了数学思想的培养。长此以往，学生的数学素质很难得到提高。 最后，还要说明一点，“构造参照体”是本课的难点，本教案采用了“细沙实验”，也 就回避了“构造性困难”，因此本教案是为普通班的。而“好班”就不应该回避构造困 难，何况“构造参照体”是运用祖暅原理的关键，也是学习这一段教材(从柱体开始)的关键 所在。因此，建议根据学生情况补充下述内容： 参照体与祖暅原理 为了利用祖暅原理计算某个几何体的体积，常要构造另一个几何体，此几何体必须符合 两个条件：(1) 它的计算公式是已知的；(2) 它符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何 体能夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时，截得的截 面面积总相等。为了下面的叙述方便起见，把符合这两个条件的几何体叫做原几何体的参照 体，或简称参照体。 用祖暅原理求几何体的体积，关键在于构造参照体。 [例 1] 旋转体的母线是抛物线的一部分，其方程为 y=x2(0≤y≤H)，y 轴为旋转轴，求 该旋转体的体积。 解 将此旋转体放在平面α上(图 5)，用与平面α平行 且相距 h 的平面去截，得截面圆的面积π( h )2=πh 矩形 面积(一边为常量π，另一边为变量 h)。 这说明参照体的截面可以是一个矩形，其一边长？， 另一边长为变量 h。于是得 参照体：以等腰直角三角形 ABC 为底面(两腰长 H)，高 AA1=π一石的直三棱柱 ABC-A1B1C1(图 5 的右侧)。 由于参照体的体积为底面积×高= 22 2 1 2 1 HH ππ =• ，所以所求旋转体的体积 2 2 1 Hπ= [例 2] 求半径为 R 的半球的体积。 解 用 与 半 球 底 面 大 圆 距 离 =l 的 平 行 平 面 截 得 截 面 积 =−=−= 22222 )( lRlR πππ 圆环面积(外径为 R，内径为 l)，于是得课本所示的参照 体…… [例 3] 汽车内胎或游泳时用的救生圈是旋转体(图 6)，它的母线是半径为 r 的圆，圆 心与旋转轴 MN 的距离等于 d(d>r)，能否用构造参照体的思想方法去寻求它的体积公式? 解 取环体的上半部研究，它的下底面是圆环(图 6，外半径=d+r，内半径=d-r)，上底 是半径为 d的圆周(面积为零)，半环体的高为 r。用平行于底面的平面去截，设截面距底面 h(h