10、提高教师

第十讲 图形规律 在今天这节课中，我们将来研究图形规律问题．教师通过研究几何图形出发引导学生正确观察思考图形规律，并且帮助学生掌握观察思考复杂图形变化规律的方法，培养学生全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯以及获得利用规律解决问题的能力. 1、从图形数量、位置变化出发观察思考几何图形的规律 2、从图形形状、大小变化发现寻找图形的变化规律 3、掌握寻找复杂图形变化规律的方法 分析：第一排按1到6的顺序排列，从第二排起把第一个移动到最后，剩下的依次往前移.如右图所示，这样每一横行和每一竖行都没有重复.不唯一，类似的方法还有很多. 找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题： （1） 图形数量的变化；（2）图形形状的变化；（3）图形大小的变化； （4） 图形颜色的变化；（5）图形位置的变化；（6）图形繁简的变化. 对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题. （一）从图形形状、大小、颜色变化发现寻找图形的变化规律 【例1】 根据左边图形的关系，画出右边图形的另一半. （1） （2） （3） 分析： （1）由左边图形的变化，即阴影部分从内环变为外环，可得“？”处应填： （2）已知图形是两层圆形对应两层方形，三层圆形对应三层方形，阴影部分变为非阴影部分，所以“？”应填： （3）图形都是△和□，阴影部分两个图形的位置正好相反，△的阴影部分在上面，即“？”处□的阴影应该在下方： 【例2】 按照下列图形的变化规律，空白处应是什么样的图形？ 分析： 先看图中不变的部分.在整个变化过程中，图形中大小两个正方形没有变化，因此可以肯定空白处的图形一定是大小两个正方形，位置是一里一外.变化的部分可以分为两部分： 　　（1）图形中的直线段部分，其变化规律是每次顺时针旋转90°，因此空白处图中的直线段应是如右图的形状. 　　（2）图中的阴影部分，是在小正方形的对角线的左右两边交替出现的，因此空白处图中的阴影部分应在小正方形对角线的右边. 　　根据上面的分析，可画出空白处的图形，如图所示: [巩固]请你认真仔细观察，按照下面图形的变化规律，在“?”处画出合适的图形。 分析：这题看似复杂，只要找到合适的方法，就可以很快解答出来。图中阴影的三角形部分从左往右是按逆时针方向旋转90°得到的；涂黑色的梯形部分从左往右是按逆时针方向旋转90°得到的；而那条线段是按顺时针方向旋转90°得到的。因此“?”处应画出的图形，如图所示： 【例3】 在下面图形中找出一个与众不同的. 分析：很容易从图中看出，（1）、（3）、（4）的形状相同，只是位置和颜色不同. 　　（1）（3），而且三角形与圆的颜色互换了一下. 　　（1）（4），颜色没有发生变化. 　　（2）（5），（2）和（5）是一组图形，图形的形状相同，位置和颜色发生了变化，大小两个长方形的颜色互换了. 根据上面的分析，（2）与（5）配对，（1）与（3）配对，因此与众不同的图形是图10中的（4），如图： 【例4】 观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列 分析：观察发现，乌龟的顺序是：头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→两只脚、一条尾、背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一幅图应该是：→四只脚、一条尾、背上五个点.即： [拓展]观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列. 分析：第一格有8个圆圈，第二格有4个圆圈，第三格有2个圆圈，第四格有1个圆圈，第五格有半个圆圈.由此发现，前一格中的图减少一般，正好是后一格的图.所以第六格的图应该是第五格图的一半，即： 【例5】 观察下面由点组成的图形（点群），请回答： 　　（1）方框内的点群包含多少个点？ 　　（2）第（10）个点群中包含多少个点？ 　　（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？ 　　 分析：（1）数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是：1，4，7，10.可以看出，在每相邻的两个数中，后一个数都比前一个数大3.因为方框内应是第（5）个点群，它的点数应该是10+3=13（个）. 　　 （2）列表，依次写出各点群的点数， 　　 　　可知第（10）个点群包含有28个点. 　　 （3）前十个点群，所有点的总数是： 　　1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（个） 　　 [小游戏]下面各种各样的娃娃头好看吗？认真观察你能找到它们排列的规律吗？根据规律把最后一个画出来. 答案： （二）从图形数量、位置变化出发观察思考几何图形的规律 【例6】 观察下图的变化规律，在“?”处填入适当的图形. 分析：从图形的形状看，每一行有三个图形，并且各不相同，所以在“?”处应填入正方形；从颜色看，每一行都有一个画斜线的图形、一个涂黑色的图形、一个空白的图形.因此，在“?”处应填一个画斜线的正方形.如图： [前铺]请观察下图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形. 分析：首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的；其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图形中，只有圆、三角形和正方形三种图形.由此，我们知道这个图的特点是： 　　（1） 仅由圆、三角形、正方形组成； 　　（2）各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形. 因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应填一个正方形. 【例7】 下面的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形. 分析：仔细观察可发现第1组和第2组中间的部分都是由三个小图形构成的.构成的规律是：当按照第1、第2、第3组的顺序观察时，6个小图形都在向左移动，而且移动的同时又在重新分组和组合，但排列顺序保持不变，当某一个小图形移动到了最左边时，下一步它就回到了最右边.按这个规律可知图中第3组中间“？”处是：□△0. [拓展]按顺序仔细观察下图的形状，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？ （1） （2） 分析：（1）注意观察第1组和第2组，每组都是由三对小图形组成；而每对小图形都是由一个“空白”的和一个“黑色”的小图形组成；而且它俩的排列顺序都是“空白”的在左边，“黑色”的在右边.再按着第1、第2、第3组的顺序观察下去，可发现每对小图形在各组中的位置的变化规律：它们都在向左移动，当一对小图形移动到最左边后，下一步它就回到了最右边.按这个移动规律，可知第3组“？”处应填：○▲. 　（2）观察第1组与第2组，每组中有三种图形：★、□、■，我们把每组图形再分为三小组，将更明显的得出变化规律. 第2组将第1组中的1、2小组按原顺序调至第3小组，根据这个规律，可得“？”中应填. 【例8】 观察下列各组图的变化规律，并在“？”处画出相关的图形. （1） （2） 分析：（1）中四个图形变化规律也类似，从第二幅图开始，每个图形都是由前一幅图形逆时针方向旋转90°得到的.所以？处的图形应是下面右图： （2）图（a）和（c）的规律就是图（b）到（d）的规律，也即把原图沿逆时针方向旋转180°.因此②中“？”处的图形是图： [前铺]观察下图的变化规律，画出丙图. 分析：（甲）图与（乙）图中，点A、B、C、D的顺序和距离都没有改变，只是每个点的位置发生了变化，如：甲图中，A在左方；而乙图中，A在上方，……我们把这样一种位置的变化称为图形的旋转，乙图可 以看作是甲图沿顺时针方向旋转90°得到的，甲图也可以看成是乙图沿逆时针旋转90°而得到的， 同样的道理，我们可以把到的位置变化也叫做旋转，叫做沿顺时针方向旋转90°.所以丙处应填： [巩固]根据下列图形的变化规律，接着画下去. 分析：观察得知，每幅图只有四个小图形，注意因为图形是由旋转而得到的，所以其中三角形、菱形的方向随旋转而变化，作图的时候要注意到这一点，丁图中应填： [小结]旋转是数学中的重要概念，掌握好这个概念，可以提高观察能力，加快解题速度，对于许多问题的解决，也有事半而功倍的效果. [数学游戏]观察下图，看看右图中哪一个图形可以代替“？” 答案：E.因为1加2等于3，4加5等于6，但是相同的符号都要消掉. （三）复杂图形变化规律 【例9】 将“猫”“狗”“兔”“鸡”“猴”“虎”六个动物名称分别写在六个正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中，判断这个正方体上哪些动物名名称分别写在相对面上. 分析：本题给的是一组立方图形，在这三幅图中，“兔”所在的一面始终不改变位置，因此，这三个图的转化只能是前后转动.把第一幅图向后反转一次得到第二幅图，由此可知，“猫”的对面是“鸡”；把第一幅图向前翻转一次得到第三幅图，所以“狗”的对面是“猴”，那么剩下的只有“兔”和“虎”相对. [巩固]将A、B、C、D、E、F六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上. 分析：本题所给的是一组立体几何图形.但是，我们注意到：由于图（a）、（b）、（c）都是同一个正方体的不同摆法，所以，（a）、（b）、（c）可以通过旋转来互相转化，这三个图形中，字母C所在的一面始终不改变位置.因此，这三个图形的转化只能是前后转动.把图（a）向后翻转一次（90°）得图（b），由此可知，字母A的对面是D，把图（a）向前翻转一次（90°）得图（c），所以，字母B的对面是字母E，最后得出只有字母C、F相对.所以，正方体中，相对的字母分别是A—D、B—E、C—F. 【例10】 四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第1号位子上，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号.以后它们不停地交换位子，第一次上下两排交换.第二次是在第一次交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换…这样一直换下去.问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看下图） 分析：（方法1）因为题目中问的只是第十次交换位子后，小兔的位子是几.因此，我们只需考虑小兔的位子变化规律，小兔刚开始时在3号位子，记为③，则变化过程为：③一次→①二次→②三次→④四次→③→…容易看出每一次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每四次交换座位后，小兔又回到原处，知道了这个规律，就不难得出答案.即10次后，小兔到了第2号位子. （方法2）仔细观察示意图时会发现，开始的图沿顺时针方向旋转两格（即180°）时，恰得到第二次交换位子后的图，由此可以知道，每一次上下交换后再一次左右交换的结果就相当于把原图沿顺时针方向旋转180°，第十次交换位子后，相当于是这些小动物沿顺时针方向转了4圈半，这样，我们就得到了小兔的位子及它们的整体变化规律.但其中需注意一点的是：单独一次上下（或左右）的交换与旋转90°得到的结果是不同的.小猫、小鼠的位子变化规律是沿逆时针方向，而小猴的位子变化规律与小兔相似.所以，第十次交换位子后，小兔到了2号位子. 本讲内容学习了寻找图形规律解决问题的一些方法.我们将在三年级寒假班继续学习找规律的一些问题，精彩不断，希望同学们再接再厉！ 1. （例1）观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？ 分析： （方法一）横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按5、4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形. (方法二)竖着看，圆形由左而右依次减少，而三角形由左而右依次增加，圆形按照5、4、？、2、1的顺序变化，也可以看出 “？”处应是圆形. 2. （例6）请找出下面哪个图形与其他图形不一样 （1） （2） 分析：（1）这组图形主要是构图上的差异，几个图形都是大图形的内部有一个同一类型的小图形.但是（1）、（2）、（4）、（5）中的小图形都位于大图形的一个拐角上，只有（3）中的小图形位于达图形的中间，因此，第（3）个图形与其它图形不一样. （2）这组图形的共同特征是，连接各边上一点，组成一个复合图形.所不同的是，第四个图形是一个六边形，而其它几个都是四边形，这样，只有（4）与其它不一样 3. 选择合适的图形，填入虚线框内 (1) (2) 分析：（1）前三幅图都是四边形，所以应选择第③个 （2）图中每个图形都是里、外两层，而且每一个都是一大一小，所以应选③ 4. （例7）仔细观察下列图形的变化，请先回答： (1) 在方框（4）中应画出怎样的图形？ (2) 再按（1）、（2）、（3）、……的顺序数下去，第（10）个方框是怎样的图形？ 　 分析：（1）观察阴影部分可得这组图形的规律，它在沿逆时针方向转动.所以第（4）个方框中的图形的样子： （2）按（1）、（2）、（3）、……的顺序仔细观察，进一步还可发现，图形的变化是有“周期性”的，也就是说，每过4个方框后，完全同样的图形又重新出现，如第（1）、（5）、（9）个图形是完全一样的.因为2＋4＋4=10，所以第（10）个方框内的图形与第（2）完全相同. 5. 顺序观察下面图形，并按其变化规律在“？”处填上合适的图形.　 （1） （2） （3） （4） 分析：（1）图（a）到（b）的规律也就是图（c）到（d）的规律，所以①中“？”处应填的是右图. （2）图（a）和（c）的规律就是图（b）到（d）的规律，也即把原图沿逆时针方向旋转180°.因此②中“？”处的图形是右图. （3） 　　（4）把图形分为顶部、中部和底部分别考虑，④中“？”处的图形应是图： 教学目标 有六种不同图案的瓷砖，每种各6块.将它们砌在如下图那样的地面上，使每一横行和每一竖行都没有相同图案的瓷砖.你会怎样设计？ � 右面哪一个图是缺少的部分？ 想 挑 战 吗　？ 专题精讲 专题展望 成长故事 练习十