研究生考试--数学复习笔记

1 高等 高中公式 三角函数公式 和差角公式 和差化积公式 sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin ( ) 1 1 ( ) tg tg tg tg tg ctg ctg ctg ctg ctg                                      sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos -2sin sin 2 2                                         积化和差公式 倍角公式 1 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 cos sin [sin( ) sin( )] 2 1 cos cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2                                          2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 tan sin 2 2sin cos 1 tan cos 2 2cos 1 1 2sin 1 tan cos sin 1 tan 2 1 2 2 1 2 sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3 3 1 3 tg ctg tg ctg tg ctg tg tg tg tg                                                    半角公式 1 cos 1 cos sin cos 2 2 2 2 1 cos 1 cos sin 2 1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos sin 2 1 cos sin 1 cos tg ctg                                         　 1 1 V =SH V = SH V = H(S+ +S ) 3 3 SS 棱柱 棱锥 棱台 球的面积：4πR2 球的体积： 34 3 R 椭圆面积：πab 椭球的体积： 4 3 abc 第 1 章 极限与连续 1.1 集合、映射、函数 空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界， 上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界 确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。 映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量， 因变量，基本初等函数 1.2 数列的极限 性质： 1. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。 2. （有界性）收敛数列必为有界数列。 3. （子列不变性）若数列收敛于 a，则其任何子列也收敛于 a。 注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。 注2. 若数列{xn}有两个子列{xp},{xq}均收敛于 a，且这两个子列合起来 就是原数列，则原数列也收敛于 a。 注3. 性质 3 提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命：若能从 该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。 4. （对有限变动的不变性）若数列{xn}收敛于 a，则改变{xn}中的有限项所 得到的新数列仍收敛于 a。 5. （保序性）若 lim , limn n n n x a y b     ，且 aN 时，有 xnN 时，xn≤yn≤zn，且 lim n xn= lim n zn=a, 则 lim n yn=a。 2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。 注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。 3.柯西收敛准则：数列{xn}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数 ε，都存 在正整数 N ，使得当 m，n>N 时，有|xm-xn|<ε。 1.3 函数的极限 性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。 判别法则： 1.夹逼法则：若 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x h x A     ，且存在 x0 的某一去心邻域 0 0( , ) ( , ) o o U x x U x  ，使得 ，均有 f(x)≤g(x)≤h(x)，则 0 lim ( ) x x g x A   。 2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。 3. 柯西收敛准则：函数 f(x)收敛的充要条件是：∀ε>0, ∃>0, ∀x’,x’’∈ 0( , ) o U x  , 有|f(x’)-f(x’’)|<ε。 4.海涅 (Heine)归结原则： 0 lim ( ) x x f x A   的充要条件是：对于任何满足 0lim n n x x   的数列{xn}，都有 lim ( )n n f x A   。 归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个 收敛于该点的自变量 x 的数列{xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或 者选出两个收敛于该点的数列{xn},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)} 却具有不同的极限。 1.4 无穷小与无穷大 若 0 ( ) lim ( )x x x l x    ， 当 0 0 1 l     时 ， 则 称 x→x0 时 称 α(x) 是 β(x) 的 ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ~ ( ) x o x x O x x x            高阶无穷小，记作 同阶无穷小，记作 等阶无穷小，记作 常用等价无穷小 2 sin tan arcsin arctan 1ln(1 ) ~ 1 1 cos ~ (1 ) 1 ~ 1 ~ ln 2 x a x x x x x e x x x x x ax a x a              若 f(x=0), f’(0)≠0,则 2 0 1 ( ) (0) 2 x f t dt f x 确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式 1.5 连续函数 极限存在⇔左右极限存在且相等。 连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。 简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2. 左右极限至少有一个不存在。 闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。 1.6 常见题型 求极限的方法：1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4. 泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限； 7.放缩法； 求极限 lim n n x  ,就要将数列 xn 放大与缩小成：zn≤xn≤yn. 8.求递归数列的极限 (1)先证递归数列{an}收敛（常用单调收敛原理），然后设 lim n n x A   , 再对递 归方程 1 ( )n na f a  取极限得 A=f(A), 最后解出 A 即可。 (2)先设 lim n n x A   ，对递归方程取极限后解得 A，再用某种方法证明 lim n n a A   。 第 2 章 导数与微分 2.1 求导法则和求导公式 求导法则： 2 1.四则运算法则 [αu(x)+ βv(x)]’=αu’(x)+ βv’(x) [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+ u(x)v’(x) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x     2.复合函数求导 ( [ ( )]) [ ( )] ( )f x f x x     关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量 3.反函数求导 1 1[ ( ) ] ( ) f y f x     4.隐函数求导 5.参数式求导 2 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) [ ( )] x x t dy y t d y y t x t y t x t y y t dx x t dx x t            6.对数求导法 7.分段函数求导 (1)按求导法则求连接点处的左右导数 设 0 0 0 0 0 ( ), ( ) , ( ) ( ) , ( ) . ( ), g x x x x f x g x h x A f x A h x x x x                 若 则 (2) 按定义求连接点处的左右导数 设 0 0 0 0 0 0 ( ), ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ), g x x x x g x f x x f x A x x g x h x h x x x x                    与 在点 处无定义， 可按定义求 与 (3)对于 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) (1) ( ) ( ) lim( ), ( ) , , (2) ( ) lim ( ) x x x x f x f x f x f xg x x x x xf x A x x f x f x             很复杂，按定义求, 否则，先求出 ，再求 8.变限积分求导 ( ) ( ) ( ) , ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) x x dy y f t dt f x x f x x dx          求导公式： 1 ( ) 0 ( ) ( ) ln 1 (log ) ln x x a C x x a a a x x a            2 2 (sin ) cos (cos ) sin (tan ) sec ( ) csc (sec ) sec tan (csc ) csc x x x x x x ctgx x x x x x x ctgx                  2 2 2 2 1 (arcsin ) 1 1 (arccos ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 x x x x arctgx x arcctgx x               2.2 高阶导数和高阶微分 求高阶导数的方法： 1.莱布尼茨（Leibniz）公式： ( ) ( ) ( ) 0 ( ( ) ( )) ( ) ( ) n n k k n k n k u x v x C u x v x   2.常用公式 ( )( )ax b n n ax be a e  ( )(sin( )) sin( ) 2 n n nax b a ax b     ( )(cos( )) cos( ) 2 n n nax b a ax b     ( )(( ) ) ( 1)...( 1)( )n n nax b a n ax b          ( ) 1 1 ( 1) ! ( ) ( ) n n n n n a ax b ax b      ( ) 1 1(ln( )) ( 1) ( 1)! ( ) n n n n ax b a n ax b      3.分解法 分解为上述初等函数之和 第 3 章 中值定理和泰勒公式 3.1 中值定理 费马定理：若是 x0是 f(x)的一个极值点，且 f’(x0)存在，则必有 f’(x0)=0(可微 函数的极值点必为驻点)， 1.罗尔定理：若函数 f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间 (a,b)内可导；(iii)f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得 f’(ξ)=0. 2.拉格朗日定理：若函数 f(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开 区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a     . 3.柯西定理：若函数 f(x)和 g(x)满足以下条件；(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在 开区间(a,b)内可导；(iii) ∀x∈(a,b),g’(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点 ξ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f g b g a g      3.2 泰勒公式 求泰勒公式的方法： 1.泰勒公式（拉格朗日余项）： ( ) ( 1) 10 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ( 1)! k nn k n k f x f f x x x x x k n          2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项） 2 1 3 5 2 1 2 1 1 2 4 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1! 2! ! ( 1)! sin ( 1) ( 1) cos 3! 5! (2 1)! (2 1)! cos 1 ( 1) ( 1) cos 2! 4! (2 )! (2 2)! ln(1 ) ( 1) ( 1) 2 3 ( 1)(1 n n x x n n n n n n n n n n n n x x x x e e n n x x x x x x x n n x x x x x x n n x x x x x x n n                                                 1 2 1 ( 1) ) (1 ) (1 ) 0 1 2 1 n n n n x x x x x x x n n                                                 2 1 1 1 ( 1) 2 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 2 2 1 1 ... ( 1) ( 1) (1 ) 1 1 1 ... (1 ) 1 1 (2 3)!! (2 1)!! 1 1 ( 1) ( 1) (1 ) 2 (2 )!! (2 2)!! n n n n n n n n n n k k n n k x x x x x x x x x x x x k n x x x x x k n                                                3.逐项求导或逐项积分 若 0 ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x x f x t dt   或 ，φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来， 然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到 f(x)的泰勒公式。 例如： 2 4 5 3 5 5 20 0 1 1 1 arctan (1 ) ( ) ( ) 1 3 5 x x x dt t t dt o x x x x o x t            3.3 函数的极值、最值 驻点，导数不存在的点为极值可疑点。 驻点，导数不存在的点，端点为最值可疑点。 极值判别法则： 1.设点 x0为函数 f(x)的极值可疑点，f(x)在点 x0的邻域内连续，去心邻域内可 微，如果在(x0-δ,x0)内 f’(x0)≥0，在 (x0,x0+δ)内 f’(x0)≤0，则 x0必为 f(x)的极大 值点。反之必为极小值点。 2.若点 x0是 f(x)的驻点且 f’’(x0)存在，则当 f’’(x0)>0(<0)时，x0必为 f(x)的极小 (大)值点。 3.设函数 f(x)在点 x0处有 n 阶导数，且 ( 1) 0 0 0( ) ( ) ... ( ) 0 nf x f x f x     ， 但 ( ) 0( ) 0 nf x  ，则(i)当 n 为偶数时，f(x)在点 x0处取极值，当 ( ) 0( ) 0 nf x  时 取极小值，当 ( ) 0( ) 0 nf x  时取极大值；(ii)当 n 为奇数时 f(x0)不是极值。 3.4 函数作图 定理：设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则 f(x)在[a,b] 上是凸（凹）函数的充要条件是：1.f’(x) 在开区间(a,b)内单调递减（增）。 2. f(λx1)+ (1-λ)x2)<(>) λf(x1)+(1-λ) f(x2), λ∈(0,1). 3. f’’(x0)≤(≥)0. 若函数 f(x)在点 x0处凹凸性相反，则点 x0称为 f(x)的拐点。 拐点的必要条件：f’(x0)=0 或 f’(x0)不存在。 拐点的充要条件：f’’(x)经过时变号。 渐近线：1.垂直渐近线：x=a 是垂直渐近线⇔ 0 lim x a   或 0 lim x a    . 3 2.斜渐近线：f(x)=ax+b, ( )lim , lim ( ( ) ) x x f x a b f x ax x     或 ( ) lim , lim ( ( ) ) x x f x a b f x ax x     （水平渐近线为其特例）。 函数作图的步骤： 1. 确定函数的定义域； 2. 观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等； 3. 判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线； 4. 确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表； 5. 适当确定一些特殊点的函数值； 6. 根据上面提供的数据，作图。 第 4 章 积分 4.1 不定积分 4.1.1.基本积分表 11 1 1ln | | 1 ln sin cos cos sin tan ln | cos | cot ln | sin | sec ln | sec tan | csc ln | csc cot ln | csc cot ln | tan x xx dx x C dx x C a dx a C x a xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C x xdx x x C x x C                                               2 2 2 2 | 2 sec tan csc cot tan sec sec csc cot csc 1 arcsin arccos 1 1 arctan arccot 1 C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C dx x C x C x dx x C x C x                              或 或 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 arctan arcsin 1 1 1 ln | | ln | | 2 1 1 1 ln | | ln( ) 2 arcsin 2 2 2 x x dx C dx C a x a a aa x a x dx C dx x x a C a x a a x x a x a dx C dx x x a C x a a x a x a x a x a x dx a x C a x x a dx x a                                              2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 ln( ) 2 2 cos ( cos sin ) sin ( sin cos ) ax ax ax ax a x x a C x a x a dx x a x x a C e e bxdx a bx b bx C a b e e bxdx a bx b bx C a b                       不可积的几个初等函数： 2 2 21 sin cossin cos ln x x xe x x x x x  4.1.2.换元积分法和分部积分法 换元积分法： 1.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。 2.第二类换元积分法，拆分。 分部积分法： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x dx u x v x u x v x dx    4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分 有理函数 ( ) ( ) ( ) P x R x Q x  的积分可以归结为下列四种简单分式的积分： （1） A dx x a ；（2） A ( )n dx x a ； （3） 2 Mx+N dx x px q  ；（4） 2 Mx+N ( )n dx x px q  12 2 2 2 2 1 2 1 2 3 ( ) 2 ( 1) ( ) 2 ( 1) n nn n dx x n I I x a a n x a a n           三角函数有理式的积分一般用万能代换 tan 2 x t ，对于如下 形式可以采用更灵活的代换： 对于积分 2 2(sin ,cos )R x x dx ，可令 tanx=t； 对于积分 (sin )cosR x xdx ，可令 sinx=t； 对于积分 (cos )sinR x xdx ，可令 cosx=t，等等。 某些可化为有理函数的积分 1. ( , )n ax b R x dx cx d   型积分，其中 n>1，其中 ad ≠bc。 这里的关键问题是消去根号，可令 ax b t cx d    。 2. 2( ,R x ax bx cdx  型 积 分 , 其 中 2 4 0b ac  ， a ≠0 。 由 于 2 2 2 2 4 ( ) 2 4 b ac b ax bx c a x a a       ，故此类型积分可以化为以下三种类型： 2 2( , )R u k u dx ，可用三角替换 sinu k t ； 2 2( , )R u u k dx ，可用三角替换 secu k t ； 2 2( , )R u u k dx ，可用三角替换 tanu k t 。 1 2 1 tan tan 1 n n n nI xdx x I n      倒代换： 2 4 1 1 x dx x   ， 2 4 1 1 x dx x   ，由此还可以求出 4 1 1 dx x ， 2 41 x dx x 2 21 1sin cos ,( 0) sin cos a x b x dx a b a x b x     解：设 1 1sin cos ( sin cos ) ( cos sin )a x b x A a x b x B a x b x     ，为此应有 1 1 aA bB a bA aB b      ，解得 1 1 1 1 2 2 2 2 , aa bb ab ba A B a b a b       ，故 1 1sin cos ( sin cos ) sin cos sin cos a x b x a x b x dx A dx B dx a x b x a x b x         1 1 1 1 2 2 2 2 ln | sin cos | aa bb ab ba x a x b x C a b a b         4.2 定积分 4.2.1.可积条件 可积的必要条件：若函数 f(x)在闭区间[a,b]上可积，则 f(x)在[a,b]上有界。 可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。 4.2.2.定积分的计算 1.换元积分法 ( ) ( ( )) ( ) b a f x dx f t t dx      从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类 换元积分法。 2.分部积分法 ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( ) b b b a a a u x v x dx u x v x u x v x dx    常见的积分和式 1 1 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( 1)( ) ( ) ( ) lim ( ) nb a n i nb a n i i b a b a f x dx f a n n i b a b a f x dx f a n n                4 1 0 1 1 lim ( ) ( ) n n i i f f x dx n n    2 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 (sin ) (cos ) (sin ) 2 (sin ) (sin ) (sin ) (sin ) 2 f x dx f x dx f x dx f x dx xf x dx f x dx f x dx                    2 2 2 0 0 1 sin cos ,n nn n n n I xdx xdx I I n         使用分部积分法的常见题型： 被积函数的形式 所用方法 ( ) , ( )sin , ( )cosxn n nP x e P x x P x x 进 行 n 次分部 积分，每次 均取 ,sin ,cosxe x x   为 ( )v x ( ) ln , ( ) sin , ( )arctann n nP x x P x arc x P x x 取 ( )nP x 为 ( )v x sin , cosx xe x e x   取 xe 为 ( )v x ，进行两次分部积分 4.2.3.定积分的应用 (1)平面图形的面积 21( ) ( ) ( ) 2 dS f x dx y dy r d     (2)旋转体的体积 2 2( ) ( ) 2 ( )dV f x dx y dy xf x dx     (3)弧长、曲率 弧微分公式： 2 2 2 2( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )ds dx dy f x dx y dy       2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x t y t dt r r d        曲率： 2 2 3/2 2 3/2 | ( ) ( ) ( ) ( ) | | | | | [ ( ) ( )] (1 ) d y t x t y t x t y K ds x t y t y              (4)静矩、转动惯量 mr, mr 2 (5) 1 2 2 mm F G r  引力 ①均匀细杆质量为 M，长度为 l，在杆的延长线上离右端为 a 处有一质量为 m 的质点，则质点与细杆之间的引力为 F=kMm/a(a+l). ②均匀圆环质量为 M，半径为 r，在圆心的正上方距离为 b 处有一质量为 m 的质点，则质点与均匀圆环之间的引力为 3 2 2 2 F= ( ) kMmb r b . ③均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环。 4.3 广义积分 广义积分审敛法 1.比较法 f(x)≤kg(x),k≥0 2.比较法的极限形式 ( ) lim ( )x f x k g x  3.柯西收敛准则 | ( ) | A A f x dx     几个常见的广义积分 , 1 , 1 1. , 0 , 0 ( ), 1 , 1 , 1 , 0 3. , 1 , 0 ln , 1 , 0 k b p pa a x pa a p pdx dx a a x x ap p pdx a x e dx k x x p                                收敛 收敛 ； 发散 发散 收敛 收敛 ； 发散 发散 20 1 1 I= (1 )(1 ) 4 x I dx t x x        2xe dx      第 5 章 无穷级数 常数项级数敛散性的判定 1.若 lim 0n n u   ，级数发散，等于零，需进一步判定。 2.若 1 n n u    为正项级数，根据一般项的特点选择相应判别法： ①一般项中含有 n!或 n 的乘积形式，采用比值判别法； ②一般项中含有以 n 为指数幂的因子，采用根值判别法； ③一般项中含有形如 nα（α 不一定是整数）的因子，采用比较判别法； ④利用已知敛散性的结果，结合级数的性质，判别其敛散性； ⑤采用定义，部分和数列{Sn}有上界。 3. 若 1 n n u    为任意级数，若其为交错级数，采用莱布尼茨判别法，若不为交 错级数或是交错级数但不满足莱布尼茨判别法的条件，采用比值判别法和根 值判别法。 求函数项级数的收敛域：（1）比值法 1( )lim | | 1 ( ) n n n u x u x    ；（2）根值法 lim ( ) 1n n n u x   。 求幂级数的收敛域：（1）比值法 1 1( )lim | | lim | | 1 ( ) n n n n n n a u x a u x      或 ； （2）根值法 lim | | lim ( ) 1n nn n n n a u x   = 或 。 常数项级数的求和：1.直接计算部分和 Sn，然后求极限； 2.利用相应的幂级数。 幂级数的求和：利用逐项求导，逐项积分，四则运算等手段，将其化为可求 和形式（即前面的麦克劳林公式）。 求函数的幂级数展开式：就是求泰勒公式（前面有求泰勒公式的三个方法）。 傅立叶级数 0 1 ( ) 2 ( cos sin )n n n a f x a nx b nx      ， 1 ( )cos 1 ( )sin n n a f x nxdx b f x nxdx                 狄利克雷充分条件 ( ) ( 0) ( 0) ( ) 2 1 [ ( 0) ( 0)] 2 f x f x f x S x f f x                   ，续点 ，间断点 ， 几个重要的级数 1.几何级数 1 1 | | 1 | | 1 n n q aq q        当 时收敛 当 时发散 2.p-级数 1 11 n 1 p n       当p 时收敛 当p 时发散 3. 2 11 = ln 1 p n p n n p       当 时收敛 当 时发散 4. 0 1 !n e n    5. 2 2 1 1 6n n    第 6 章 微分方程 1. 可分离变量方程 ( ) ( ) dy g x h y dx  2. 1 1 1 2 2 2 ( , ) ( ) ( ) dy y f x y dx x a x b y cdy f dx a x b y c               齐次方程 可化为可分离变 量方程的方程 可化为齐次方程的方程 3.一阶线性方程 ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ) P x dx P x dxdy P x y Q y y e C Q x e dx dx        5 4.伯努利方程 1( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) dy dz P x y Q x y y z P x z Q x dx dx            令 5.全微分方程 特殊路径法，凑微分法 6. y ( , ) , x ( , ) , dp y f x y p y y dx dp y f y y p y y y dy                      不含 令 可降阶的 高阶方程 不含 令 7. 1 2 1 2 1 1 2 2 (1) (2) ( ) ( ) ( ) 0 (3) ( y y u x y y y p x y q x y y c y c y y p x               已知 二阶齐次 线 令 ，代入求出 性 微 分 二阶非齐次 方 程 1 2 1 1 2 2* 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 * 1 1 2 2 (1) , 0 (2) ( ) ( ) ( ) ( ), , ) ( ) ( ) ( ) (3) y y u y u y y u x y x u x y x u u y q x y f x u y u y f x y c y c y y                     求出对应齐次方程的 令 求出                 8.常系数线性微分方程 二阶齐次 ( )y p x y   ( ) 0q x y  特征方程的根 微分方程的 线性无关解 微分方程的 通解 互异实根 r1,r2 1 2,r x r xe e 1 21 2 r x r x y c e c e  二重实根 r1=r2=r ,rx rxe xe 1 2( ) rxc c x e 共轭复根 r1,2=α±iβ cos , sinx xe x e x   1 2( cos sin ) xe c x c x   二阶非齐次 ( )y p x y   ( ) ( )q x y f x （1）求对应齐次方程的 y1,y2 （2） 0 1 2 * ( ) ( ... ) ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) x k m x m m y Q x e x A A x A x e Q x p Q x p q Q x p x                  令 （3） * 1 1 2 2y c y c y y   9.欧拉方程 ( ) 1 ( 1) 1 1 ( ) 1 1 ... ( ) , , ( 1)...( 1) [ ( 1)...( 1) ( 1)...( 2) ... ] ( ) n n n n n n k t k k k k t n x y p x y p xy p y f x d x e D x y D D D k y dt D D D n p D D D n p D y f e                           令 则 第 7 章 向量代数与空间解析几何 ( ) ( , , ) ( ) = x y z x y z x y z x y z x y z i j k a a a a b a a a a b c a b c b b b b b b c c c       叉积 混合积 平行六面体的体积 0 0 0( ) ( )+C(z-z )=0 1 0 A x x B y y x y z a b c Ax By Cz D                     点法式 三点式 混合积为零 平面 方程 截距式 一般式 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 x x mt y y nt z z pt x x y y z z m n p A x B y C z D A x B y C z D                                  参数式 直 线 对称式 方 程 一般式 平面束方程 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C z D A x B y C z D         1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | | cos sin ( ) A A B B CC A B C A B C            两平面夹角 平面与直线的夹角 两直线夹角 点到直线的距离 0 0 0 2 2 2 | |Ax By Cz d A B C      点到直线的距离 1 0| | | | p p s d s   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 - 1 2 0 ( ) ( ) ( ) z x z x z x pz a b a b x y z x y z R a b c x x t y y t z z t                      绕 轴旋转 柱面：椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 球面 椎面 常 见 二 旋转面 次 曲 线 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) cos ( ) ( ) sin ( ) + 1 + ( , ) 1( ) ( , ) 0 0 1( ) 2 z x x t y t y x t y t z z t x y z a b x y z f x z f x y z a b y x y z a b x y pz x y z a b c                                                绕 轴旋转 旋转椭园面 旋转双 单叶 曲面 双叶 旋转抛物面 椭球面 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 1 - ( ) x y z x y z a b a b c x y z a b                                               椭圆 单 双曲面 抛物面 双 双曲 第 8 章 多元函数微分学 复合函数微分法，关键在于确定哪些是中间变量，哪些是自变量 1 2( , ,..., ) 1 ( , ) ( , , ) 0 ( , ) ( , , ) 0 1 ( , ) ( , ) ( , i n i y Fxy F x x x x F du F G F x u v dx J x v G x u v dv F G dx J u x F x y                         由方程确定的隐函数 隐 函 数 微 由方程组确 分 定的隐函数 法 1 ( , ) 1 ( , ) , , , ) 0 ( , ) ( , ) ( , , , ) 0 1 ( , ) 1 ( , ) , ( , ) ( , ) u F G du F G u v x J x v y J y v G x y u v v F G v F G x J u x y J u y                                                   0 0 0 0 0 ( ( ), ( ), ( )) ( ), ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) x t y t z t y x z x F G F G F G y z z x x y      