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线性代数公式

2011-12-05 22页 pdf 263KB 91阅读

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线性代数公式 线性代数部分 基本运算 ① ABBA  ②    CBACBA  ③   cBcABAc    dAcAAdc  ④    AcddAc  ⑤ 00  ccA 或 0A 。   AA TT    TTT BABA     TT AccA  。   TTT ABAB       2 1 211 2...
线性代数公式
线性代数部分 基本运算 ① ABBA  ②    CBACBA  ③   cBcABAc    dAcAAdc  ④    AcddAc  ⑤ 00  ccA 或 0A 。   AA TT    TTT BABA     TT AccA  。   TTT ABAB       2 1 211 2   nn Cnn n nn AaAaAaD 2222222121   转置值不变 AAT  逆值变 A A 11  AccA n  ,,,,,, 2121   321 ,, A ,3 阶矩阵  321 ,, B BABA   332211 ,,   BA 332211 ,,   BA BA B A B A     0 0 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.    1, cjiE 有关乘法的基本运算 njinjijiij bababaC  2211 线性性质   BABABAA 2121  ,   2121 ABABBBA       cBAABcBcA  结合律    BCACAB    TTT ABAB  BAAB  lklk AAA    kllk AA    kkk BAAB  不一定成立! AAE  , AEA    kAkEA  ,   kAAkE  EBAEAB  与数的乘法的不同之处   kkk BAAB  不一定成立! 无交换律 因式分解障碍是交换性 一个矩阵 A的每个多项式可以因式分解,例如   EAEAEAA  3322 无消去律(矩阵和矩阵相乘) 当 0AB 时 0 A 或 0B 由 0A 和 00  BAB 由 0A 时 CBACAB  (无左消去律) 特别的 设 A可逆,则 A有消去律。 左消去律: CBACAB  。 右消去律: CBCABA  。 如果 A列满秩,则 A有左消去律,即 ① 00  BAB ② CBACAB  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 可逆矩阵的性质 i)当 A可逆时, TA 也可逆,且    TT AA 11   。 kA 也可逆,且    kk AA 11   。 数 0c , cA也可逆,   11 1   A c cA 。 ii) A,B是两个n阶可逆矩阵 AB 也可逆,且   111   ABAB 。 推论:设 A,B是两个n阶矩阵,则 EBAEAB  命题:初等矩阵都可逆,且     jiEjiE ,, 1                    c iEciE 11       cjiEcjiE  ,, 1 命题:准对角矩阵 kkA A A A 000 000 000 000 22 11   可 逆  每 个 iiA 都 可 逆 , 记 1 1 22 1 11 1 000 000 000 000      kkA A A A  伴随矩阵的基本性质: EAAAAA  ** Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 当 A可逆时, E A A A  * 得 A A A *1  , (求逆矩阵的伴随矩阵法) 且 得 :      11* A A A A              A A AAA 1111 * 伴随矩阵的其他性质 ① 1 *   n AA , 1*  AAA ②     ,** TT AA  ③   ** 1AccA n , ④   *,** ABAB  ⑤    kk AA **  , ⑥   AAA n 2**  。 2n 时,   AA **          dc ba A* 关于矩阵右上肩记号:T, k , 1 ,* i) 任何两个的次序可交换, 如    TT AA **  ,    ** 11   AA 等 ii)     111 ,   ABABABAB TTT ,   *** ABAB  但   kkk ABAB  不一定成立! 线性示 s ,,,0 21  si  ,,, 21    sss xxx  221121 ,,, 有解     xs,,, 21  有解   Tsxxx ,,1  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Ax 有解,即 可用 A 的列向量组表示  srrrCAB ,,, 21  ,  nA  ,,, 21  , 则 nsrrr  ,,,,,, 2121   。 st  ,,,,,, 2121   , 则存在矩阵C,使得    Cst  ,,,,,, 2121   线性表示关系有传递性 当 pst rrr ,,,,,,,,, 212121    , 则 pt rrr ,,,,,, 2121   。 等 价 关 系 : 如 果 s ,,, 21  与 t ,,, 21  互 相 可 表 示 ts  ,,,,,, 2121   记作 ts  ,,,,,, 2121   。 线性相关 1s ,单个向量, 0x 相关 0 2s , 21 , 相关对应分量成比例 21 , 相关 nn bababa ::: 2211   ①向量个数 s =维数n,则 n1 ,,   线性相(无)关  01  n   nA  ,,, 21  , 0Ax 有非零解 0 A 如果 ns  ,则 s ,,, 21  一定相关 0Ax 的方程个数 n 未知数个数 s ②如果 s ,,, 21  无关,则它的每一个部分组都无关 ③如果 s ,,, 21  无关,而  ,,,, 21 s 相关,则 s ,,, 21  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 证明:设 ccc s ,,,1  不全为 0,使得 011   ccc ss 则其中 0c ,否则 scc ,,1  不全为 0, 011  sscc   ,与条件 s ,,1  无关矛盾。于是 s s c c c c   1 1 。 ④当 s ,,1  时,表示方式唯一 s 1 无关 (表示方式不唯一 s 1 相关) ⑤若 st  ,,,, 11   ,并且 st  ,则 t ,,1  一定线性相关。 证明:记  sA  ,,1  ,  tB  ,,1  , 则存在 ts  矩阵C,使得 ACB  。 0Cx 有 s个方程, t个未知数, ts  ,有非零解, 0C 。 则 0  ACB ,即也是 0Bx 的非零解,从而 t ,,1  线性相关。 各性质的逆否形式 ①如果 s ,,, 21  无关,则 ns  。 ②如果 s ,,, 21  有相关的部分组,则它自己一定也相关。 ③如果 s 1 无关,而 s ,,1  ,则  s,,1  无关。 ⑤如果 st   11  , t 1 无关,则 st  。 推论:若两个无关向量组 s 1 与 t 1 等价,则 ts  。 极大无关组 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 一个线性无关部分组  I ,若  I# 等于秩  I6421 ,,,  , I 就一定是极大无关 组 ① s ,,, 21  无关   ss  ,,, 21  ②    sss  ,, ,,,, ,,, 12121   另一种说法: 取 s ,,, 21  的一个极大无关组  I  I 也是  ,,,, 21 s 的极大无关组   ,I 相关。 证明:      ,,,1 IIs   相关。            ss ss s    ,,/,1,, ,,, ,,, 11 11 1    ③ 可用 s ,,1  唯一表示     sss   ,, ,,, 11  ④    stsst  ,, ,,,,, ,,,, 11111      st  ,, ,, 11   ⑤  ts  ,,,, 11       ttss  ,, , ,, 1111   矩阵的秩的简单性质    nmAr ,min0    00  AAr A行满秩:   mAr  A列满秩:   nAr  n阶矩阵 A满秩:   nAr  A满秩 A 的行(列)向量组线性无关 0 A A 可逆 0 Ax 只有零解, Ax 唯一解。 矩阵在运算中秩的变化 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 初等变换保持矩阵的秩 ①    ArAr T  ② 0c 时,    ArcAr  ③      BrArBAr  ④       BrArABr ,min ⑤ A可逆时,    BrABr  弱化条件:如果 A列满秩,则    BAB   证:下面证 0ABx 与 0Bx 同解。 是 0ABx 的解 0 AB   0B 是 0Bx 的解 B可逆时,    ArABr  ⑥若 0AB ,则     nBrAr  ( A的列数,B的行数) ⑦ A列满秩时    BrABr  B行满秩时    ArABr  ⑧      BrArnABr  解的性质 1. 0Ax 的解的性质。 如 果 e ,,, 21  是 一 组 解 , 则 它 们 的 任 意 线 性 组 合 eeccc   2211 一定也是解。   00, 2211  eeii cccAA   2.  0 Ax ①如果 e ,,, 21  是 Ax 的一组解,则 eeccc   2211 也是 Ax 的解 121  eccc  eeccc   2211 是 0Ax 的解 021  eccc  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. iA i     eeee AcAcAccccA    22112211  eccc  21 特别的: 当 21 , 是 Ax 的两个解时, 21   是 0Ax 的解 ②如果 0 是 Ax 的解,则n维向量 也是 Ax 的解 0  是 0Ax 的解。 解的情况判别 方程: Ax ,即   nnxxx 2211 有解 n ,,, 21     AA   |    nn  ,,,,,,, 2121   无 解    AA   | 唯 一 解     nAA   | 无 穷 多 解     nAA   | 方程个数m:     mAmA   ,| ①当   mA  时,   mA  | ,有解②当 nm  时,   nA  ,不会是唯一解 对于齐次线性方程组 0Ax , 只有零解   nA   (即 A列满秩)(有非零解   nA   ) 特征值特征向量 是 A的特征值  是 A的特征多项式 AxE  的根。 两种特殊情形: (1) A是上(下)三角矩阵,对角矩阵时,特征值即对角线上的元素。            3 2 1 00 0 **    A    321 3 2 1 00 0 **          xxx x x x AxE Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. (2)   1Ar 时: A的特征值为  Atr,0,,0,0  特征值的性质 命题:n阶矩阵 A的特征值的重数  AErn   命题:设 A的特征值为 n ,, , 21   ,则 ① An 21   ②  Atrn 21   命题:设是 A的特征向量,特征值为,即  A ,则 ①对于 A的每个多项式  Af ,     xfAf  ②当 A可逆时,    11 A ,    || * A A  命题:设 A的特征值为 n ,,, 2 1   ,则 ①  Af 的特征值为      nfff ,,, 2 1   ② A可逆时, 1A 的特征值为 n 1 ,, 1 , 1 2 1   *A 的特征值为 n AAA 2 1 || ,, || , ||   ③ TA 的特征值也是 n ,, , 21   特征值的应用 ①求行列式 nA ,,, || 2 1   ②判别可逆性 是 A的特征值 EAAE 0   不可逆 EA  可逆  不是 A的特征值。 当   0Af 时,如果   0cf ,则 cEA  可逆 若是 A的特征值,则  f 是  Af 的特征值   0 f 。   ccf  0 不是 A的特征值 AcE 可逆。 n 阶矩阵的相似关系 当 UAAU  时, AB  ,而 UAAU  时, AB  。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 相似关系有 i)对称性: ABBA ~~  BAUU 1 ,则 1UBUA ii)有传递性: BA ~ , CB ~ ,则 CA ~ BAUU 1 , CBVV 1 ,则     CBVVAUVUVUVAUV   1111 命题 当 BA ~ 时, A和B有许多相同的性质 ① BA  ②    BA   ③ A,B的特征多项式相同,从而特征值完全一致。 A与B的特征向量的关系:是 A的属于的特征向量 1U 是B的属于的特征 向量。        11111 11     UAUUUUAU UUBA  正定二次型与正定矩阵性质与判别 可逆线性变换替换保持正定性  nxxxf ,,, 21  变为  nyyyg ,,, 21  ,则它们同时正定或同时不正定 BA~ ,则 A,B同时正定,同时不正定。 例如 ACCB T 。如果 A正定,则对每个 0x   0 ACxCxACxCxBxx TTTT (C可逆, 0x , 0Cx !) 我们给出关于正定的以下性质 A正定 EA ~ 存在实可逆矩阵C, CCA T 。 A 的正惯性指数 n 。 A 的特征值全大于0 。 A 的每个顺序主子式全大于0 。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 判断 A正定的三种方法: ①顺序主子式法。②特征值法。③定义法。 基本概念 对称矩阵 AAT  。 反对称矩阵 AAT  。 简单阶梯形矩阵:台角位置的元素都为 1 ,台角正上方的元素都为 0。 如果 A是一个n阶矩阵, A是阶梯形矩阵 A是上三角矩阵,反之不一定 矩阵消元法:(解的情况) ①写出增广矩阵  A ,用初等行变换化  A 为阶梯形矩阵  B 。 ②用  B 判别解的情况。 i)如果  B 最下面的非零行为  d0,,0  ,则无解,否则有解。 ii)如果有解,记 是  B 的非零行数,则 n  时唯一解。 n 时无穷多解。 iii)唯一解求解的方法(初等变换法) 去掉  B 的零行,得  00 B ,它是  cnn  矩阵, 0B 是 n阶梯形矩阵,从而 是上三角矩阵。 则 0 nnb iinn bb   01 1 都不为0 。       ErBA  行行 就是解。 一个 n阶行列式 nnnn n n aaa aaa aaa     21 22221 11211 的值: ①是 !n 项的代数和 ②每一项是n个元素的乘积,它们共有 !n 项 nnjjj aaa  21 21 其中 njjj 21 是 n,,2,1  的一个全排列。 ③ nnjj aa  11 前面乘的应为    njjj 211   njjj 21 的逆序数      n n n jjj njjj jjj aaa    21 21 21 211  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.      2 1 211 2   nn Cnn n 代数余子式 ijM 为 ija 的余子式。   ij ji ij MA   1 定理:一个行列式的值D等于它的某一行(列),各元素与各自代数余子式乘积之和。 nn AaAaAaD 2222222121   一行(列)的元素乘上另一行(列)的相应元素代数余子式之和为0 。 范德蒙行列式    ji ij n aa aaa )( 111 11   2nC 个 乘法相关 AB的  ji, 位元素是 A的第 i行和B的第 j列对应元素乘积之和。 njinjijiij bababaC  2211 乘积矩阵的列向量与行向量 (1)设 nm 矩阵  nA  ,,, 21  , n维列向量   T nbbb ,,, 21  ,则 nnbbbA   2211 矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式 Ax ,   Tmbbb ,,, 21  方程组的向量形式   nnxxx 2211 (2)设 CAB  ,  sAAAAB  ,,, 21  nniiiii bbbAr   2211 AB的第 i个列向量是 A的列向量组的线性组合,组合系数是B的第 i个列向量 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 的各分量。 AB的第 i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数是 A的第 i个行向量 的各分量。 矩阵分解 当矩阵C的每个列向量都是 A的列向量的线性组合时,可把C分解为 A与一 个矩阵B的乘积 特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题                 n n     000 000 000 000 ,,, 2 1 21    nn ,,, 2211  对角矩阵从右侧乘一矩阵 A,即用对角线上的元素依次乘 A的各列向量 对角矩阵从左侧乘一矩阵 A,即用对角线上的元素依次乘 A的各行向量 于是 AAE  , AEA    kAkEA  ,   kAAkE  两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘 对角矩阵的 k次方幂只须把每个对角线上元素作 k 次方幂 对一个n阶矩阵 A,  Atr 为 A的对角线上元素之和称为 A的迹数。 于是     TkTkT  1    TkTtr  1  TT tr   其他形式方阵的高次幂也有规律 例如:            101 020 101 A 初等矩阵及其在乘法中的作用 (1)  jiE , :交换E的第 ji, 两行或交换E的第 ji, 两列 (2)  )(ciE :用数  0c 乘E的第 i行或第 i列 (3)  )(, cjiE :把E的第 j行的c倍加到第 i行上,或把E的第 i列的c倍加到第 j列 上。 初等矩阵从左(右)侧乘一个矩阵 A等同于对 A作一次相当的初等行(列)变换 乘法的分块法则 一般法则:在计算两个矩阵 A和B的乘积时,可以先把 A和B用纵横线分割成若干小 矩阵来进行,要求 A的纵向分割与B的横向分割一致。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 两种常用的情况 (1) BA, 都分成 4 块        2221 1211 AA AA A ,        2221 1211 BB BB B 其中 1iA 的列数和 jB1 的行数相等, 2iA 的列数和 jB2 的行数相关。          2222122121221121 2212121121121111 BABABAAA BABABABA AB (2)准对角矩阵               kkA A A     00 00 00 22 11                                            kkkkkkkk BA BA BA B B B A A A 00 00 00 00 00 00 00 00 00 2222 1111 22 11 22 11            矩阵方程与可逆矩阵 两类基本的矩阵方程 (都需求 A是方阵,且 0A )   BAxI    BxAII  (I)的解法:    xEBA 行 (II)的解法,先化为 TTT BxA  。    TTT xEBA  。 通过逆求解: BAx  , BAx 1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 可逆矩阵及其逆矩阵 定义:设 A是 n阶矩阵,如果存在n阶矩阵H ,使得 EAH  ,且 EHA  ,则称 A是 可逆矩阵,称H 是 A的逆矩阵,证作 1A 。 定理:n阶矩阵 A可逆 0 A 求 1A 的方程(初等变换法)    1 AEEA 行 伴随矩阵  Tij nnnn n n A AAA AAA AAA A                     21 22212 12111 * 线性表示  可以用 s ,,, 21  线性表示,即 可以表示为 s ,,, 21  的线性组合, 也就是存在 sccc ,,, 21  使得   ssccc 2211 记号: s ,,, 21  线性相关性 线性相关:存在向量 i 可用其它向量 sii  ,,,,, 111   线性表示。 线性无关:每个向量 i 都不能用其它向量线性表示 定义:如果存在不全为 0 的 sccc ,,, 21  ,使得 02211  ssccc   则称 s ,,, 21  线性相关,否则称 s ,,, 21  线性无关。 即: s ,,, 21  线性相(无)关 011  ssxx   有(无)非零解   0,,, 21  xs  有(无)非零解 极大无关组和秩 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 定义: s ,,, 21  的一个部分组  I 称为它的一个极大无关组,如果满足: i)  I 线性无关。 ii)  I 再扩大就相关。  I s ,,, 21     III s   1 定义:规定 s ,,, 21  的秩    Is #,,, 21   。 如果 s ,,, 21  每个元素都是零向量,则规定其秩为0 。    sns ,min,, 0 1    有相同线性关系的向量组 定义:两个向量若有相同个数的向量: ss  ,,,,,,, 2121  ,并且向量方程 0, 2211  ssxxx   与 02211  ssxxx   同解,则称它们有相同的 线性关系。 ①对应的部分组有一致的相关性。 421 ,,  的对应部分组 421 ,,  , 若 421 ,,  相关,有不全为0 的 421 ,, ccc 使得 0442211   ccc , 即  0,,0,,0,, 421 ccc 是 02211  ssxxx   的解, 从而也是 02211  ssxxx   的解,则有 0442211   ccc , 321 ,,  也相关。 ②极大无关组相对应,从而秩相等。 ③有一致的内在线表示关系。 设:  sA  ,,, 21  ,  sB  ,,, 21  ,则 02211  ssxxx   即 0Ax , 02211  ssxxx   即 0Bx 。 s ,,, 21  与 s ,,, 21  有相同的线性关系即 0Ax 与 0Bx 同解。 反之,当 0Ax 与 0Bx 同解时, A和B的列向量组有相同的线性关系。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 矩阵的秩 定理:矩阵 A的行向量组的秩=列向量组的秩 规定   Ar 行(列)向量组的秩。  Ar 的计算:用初等变换化 A为阶梯形矩阵B,则B的非零行数即  Ar 。 命题:   AAr  的非零子式阶数的最大值。 方程组的表达形式 1.           mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa     2211 22222121 11212111 2. Ax 是解   A 3.   nnxxx 2211 有解 n ,,, 21  基础解系和通解 1. 0Ax 有非零解时的基础解系 e ,,, 21  是 0Ax 的基础解系的条件: ①每个 i 都是 0Ax 的解② e ,,, 21  线性无关③ 0Ax 的每个解 e ,,, 21  ③ /  Anl  通解 ①如果 e ,,, 21  是 0Ax 的一个基础解系,则 0Ax 的通解为 eeccc   2211 , ic 任意 ②如果 0 是  0 Ax 的一个解, e ,,, 21  是 0Ax 的基础解系,则 Ax Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 的通解为 eeccc   22110 , ic 任意 特征向量与特征值 定义:如果 0 ,并且 A 与线性相关,则称是 A的一个特征向量。此时,有数 ,使得  A ,称为的特征值。 设 A是数量矩阵 E ,则对每个 n维列向量,  A ,于是,任何非零列向量都 是 E 的特征向量,特征值都是。 ①特征值有限特征向量无穷多 若  A ,     cccAcA     221122112211 22 11    ccAcAcccA A A       ②每个特征向量有唯一特征值,而有许多特征向量有相同的特征值。 ③计算时先求特征值,后求特征向量。 特征向量与特征值计算 0,  A   0,0   AE  是   0 xAE 的非零解 命题:①是 A的特征值 0  AE ②是属于的特征向量  是   0  xAE 的非零解 称多项式 AxE  为 A的特征多项式。 是 A的特征值  是 A的特征多项式 AxE  的根。 的重数:作为 AxE  的根的重数。 n阶矩阵 A的特征值有n个: n ,, , 21   ,可能其中有的不是实数,有的是多重的。 计算步骤: ①求出特征多项式 AxE  。 ②求 AxE  的根,得特征值。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ③对每个特征值 i  ,求   0  xAEi 的非零解,得属于 i  的特征向量。 n 阶矩阵的相似关系 设 A,B是两个 n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U ,使得 BAUU 1 ,则称 A与B 相似,记作 BA ~ 。 n 阶矩阵的对角化 基本定理 A可对角化 A有 n个线性无关的特征向量。 设可逆矩阵  nU  ,,, 21  ,则                n AUU    000 000 000 000 2 1 1     nn n n UA      ,,, 000 000 000 000 ,,, 2211 2 1 21                   iiiA   , ni ,,2,1  判别法则 A可对角化对于 A的每个特征值,的重数  AEn   。 计算:对每个特征值 i ,求出   0 xAEi 的一个基础解系,把它们合在一起,得 到 n个线性无关的特征向量, n ,,1  。令  nU  ,,, 21  ,则                n AUU    000 000 000 000 2 1 1  ,其中 i 为 i 的特征值。 二次型(实二次型) 二次型及其矩阵 一个n元二次型的一般形式为   ji ji ij n i iiin xxaxaxxxf    2,,, 1 2 21  只有平方项的二次型称为标准二次型。 形如: 22 1 22 2 2 1 qppp xxxxx    的n元二次型称为二次型。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 对每个n阶实矩阵 A,记  Tnxxxx ,,, 21  ,则 Axx T 是一个二次型。   Axxxxxf Tn ,,, 21  称 A的秩  A 为这个二次型的秩。 标准二次型的矩阵是对角矩阵。 规范二次型的矩 阵是规范对角矩阵。 可逆线性变量替换 设有一个n元二次型  nxxxf ,,, 21  ,引进新的一组变量 nyyy ,,, 21  ,并把 nxxx ,,, 21  用它们表示。           nnnnnn nn nn ycycycx ycycycx ycycycx     2211 22221212 12121111 (并要求矩阵                nnnn n n ccc ccc ccc C     21 22221 11211 是可逆矩 阵) 代入  nxxxf ,,, 21  ,得到 nyy ,,1  的一个二次型  nyyg ,,
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