中考高分的十八个关节 关节11 存在性问题和最值问题的解法

关节十一 “存在性”问题和“最值”问题的解决方法 一、关于存在性问题 1、什么样的情况会引发出“存在性问题？ 从一个整体情况或一个变化过程中，判断满足某种特殊要求的情况是否存在，并在存在时将其寻找出来，这样的问题就是“存在性”问题。 如： 题1 如某月的月历，像图中那样用方框框住4个数字，是否存在以下情况：使框住的4个数字和为100？为90？若存在，请写出这4个数字，若不存在，请理由。 题 2 如图（1），四边形 是边长为6的正方形，动点P从 A点P出发，以每秒1个单位的速度沿 边向 点运动，动点 从点 出发，以每秒3个单位的速度沿边 运动，两点同时出发，点P到达 处 时两点运动停止，记 的运动时间为 。 （1）是否存在时刻 ，使线段 将正方形 的周长分为相等的两部分？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 （2）是否存在时刻 ，，使线段 将正方形 的面积分为1：2两部分，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 （1） （2） 题 3 如图（2），在 中， ，在斜边 上是否存在点 ，使以 为圆心，以 为半径的圆，恰好与 相切？ 若存在，请作出⊙ （保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由。 像以上三个题目都属于“存在性”问题。 2、“存在性”问题的基本类型和解决方法 “存在性”问题大体可分为两类： Ⅰ、由数量关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求）； Ⅱ、由位置关系确定的“存在性”问题（即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求）。 （1）由数量关系确定的“存在性”问题 这种类型的“存在性”问题，解决的方法主要是借助于构造方程。 例1 （见前面的题1） 【观察与思考】第一，框住的4个数字，若设左上角的数字为 ，则这4个数字的和为 。本题就是判断图中有无数字 ，使和 分别为100，90？有这样的数字 时，求出 的值。 第二，落实的就是根据和为100，90分别构造关于 的方程，判断相应的方程是否有解，有解时求出解来。 解：设框住的4个数为 则它们的和为： ， 令 ，解得 。 即当框住的4个数字为 时，它们的和恰为100。 又，令 ，解得 ，这样的 不在月历中。 所以，不存在框住的4个数字的和为90的情况。 【说明】在这里，把方框中的第一个数字 看作一个变量（范围是1—22），框内的4个数字之和 是 的，而“和为100，为90”就是对函数值的特定要求，从而变成了求特定函数值所对应的自变量的值，那当然就是解方程。 例2 （见前面的题2） （1`） （1``） （1```） 【观察与思考】容易知道，按点 在 上， 上， 上， 和 的运动全过程可分为三段： ①当 时，如图（1`），②当 时，如图（1``），③当 时，如图（1```）。应分类考虑 EMBED Equation.3 将正方形 分成部分的周长与面积的情况。 解：（1）①当 时，点 在AB上，点 在 上，正方形 的周长被 EMBED Equation.3 分成的两部分中，顶点B所在部分显然小于 （正方形 的周长），而另一部分大于 （正方形 的周长）。因此，不可能有二者相等的时刻； ②当 时，点 在 上，顶点B所在的部分的“周长”为 ，另一部分的“周长”为 。 令 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，解得 。 （或令 EMBED Equation.3 12，也得同样的结果）。 ③当 时，点 在AB上，点 在AD上， EMBED Equation.3 分成的两部分中，含顶点B的部分的“周长”显然 大于 （ 的周长），因此不存在二者相等的时刻。 所以，存在 ，使 EMBED Equation.3 将 的周长分为相等的两部分（其实，此时 和 分别为边AB， 的中点）。 （2）①当 时， ， ， 令 ，解得 （与 矛盾，舍去）。 ②当 时，令 或 ，分别解得 （ 矛盾，舍去）， 。 ③当 时，令 ，解得 （舍去）， （舍去）。 所以，存在时刻 和 ，使得 EMBED Equation.3 把正方形 的面积分为1：2的两部分。 【说明】在 ， 的运动过程中，正方形的周长与面积总是被分为两部分，且两部分的值在运动中变化着，现对变化着的值提出特定的要求，以确定这种特殊情况是否真的出现在运动过程之中，这正是“存在性”问题的典型特征，而构造出相应的方程来求解。也真是普遍适用的方法。 例3 如图（3）， 在直角梯形 中， 。动点 从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点 从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位的速度向点B运动，点 ， 分别从点D，C同时出发，设运动时间为 （秒）。 （1）是否存在时刻 ，使得 ？若存在，求出 的值； 若不存在，请说明理由。 （2）是否存在时刻 ，使得 ，若存在，求出 的值； （3） 若不存在，请说明理由。 【观察与思考】 （1）和（2）应分别由“ ”和“ ”出发构造关于 的方程求解。 解：（1）假若有 作 交射线DA于 ，如图（3`）则 。 在 中， ， （3`） ， ， 由 ，解得 （秒）。 即 （秒）时 。 （2）假若有 ，如图（3``），易知此时四边形 为平行四边形， ，即 ，解得 ，但点 只在线段CB上运动，即 不合题意，舍去。 不存在时刻 ，使得 。 【说明】在 的运动过程中，线段 和 的位置 （3``） 关系是变化的，本题是从中考虑位置关系特定情况的“存在性”，方法也是按 特定情况对应的数量关系去构造相应的方程，用该方程在允许范围内有解、 无解来回答“存在”或“不存在”。 例4 在 中， ，点D在BC所在的直线上运动，作 （A，D，E按逆时针方向）。 （1） 如图①，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E。 ① ①求证： ∽ ; ②当 是等腰三角形时，求 的长。 (2) ①如图②，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点 ，是否存在点D，使 是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由； ③ ② ②如图③，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使 是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由； 【观察与思考】对于问题（1），就是我们熟悉的几何证明与几何计算问题； 对于问题（2），只要求出满足要求的BD的长，就是确定了D点的位置。为此只需要通过三角形的相似关系去构造关于BD和方程。 解：（1）① ，又 ，即 。 EMBED Equation.3 ∽ ② 当 时， 。 EMBED Equation.3 。 （2）①若 为等腰三角形， 只有 。 EMBED Equation.3 而 ，得 。 ∽ ， ，由 ，得 。 ， 存在点D使 为等腰三角形，点D在BC的延长线上，距点B的 处。 ② 不存在 为等腰三角形的情况。 例5 二次函数 的图象如图（1）所示，过 轴上一点 的直线与抛物线交于 两点，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 。 （1）当点A的横坐标为 时，求点B的坐标； （2）在（1）的情况下，分别过点 作 轴于 ， 轴于 在 上是否存在点 ，使 为直角，若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由。 【观察与思考】（1）由 ∽ ，可求得点B的坐标。 （2）这时，如图（1`），若在线段 上有点 使 EMBED Equation.3 ， （1） 那么立刻推得 ∽ 依次构造关于 点坐标的方程。 解：（1）设点B的坐标为 其中 ， ， ， ∽ ， ，即 ，解得 （舍去）， B的坐标为（8，8） （2）若满足要求的点 存在，设 的长为 ，连结 ，如图（1`） 。 EMBED Equation.3 ， （同为 的余角）。 EMBED Equation.3 ∽ EMBED Equation.3 ，即 。 解得 ， 。 （1`） EMBED Equation.3 均满足要求。 可以看出：构造方程是解决各种形式的由“数量关系”确定的“存在性”问题的最有效最常用的方法。 （2）由位置关系确定的“存在性”问题 例6 现在来看开始时提出的题3 如图（1），在 中， ，在斜边 上是否存在点 ，使以 为圆心，以 为半径的圆，恰好与 相切？若存在，请求出⊙ （保留作图痕迹）；若不存在请说明理由。 【观察与思考】假设这样的点 存在，如图（1`）的情况：点 在 上，以 为圆心 以 的半径的⊙ 和 相切于点D，若连结 ，可知 ，得 （1） 由 得 即有 ，也就是说，AD是 的平分线，如此一来，就找到了确定点 的位置方法：先作 的平分线AD，交 于点D，再由D作 交AB于点 。 （1`） （1``） 解：这样的点 存在，作法如图（1``） 例7 已知，如图（1）四边形 是矩形， E和F分别是边AB，BC的中点，P为对角线AC上一个 题`）C 动点（不与A，C重合），试问：点 能否构成直角三角形？若能，共有几个？并在图中画出所有满足条件的三角形。 【观察与思考】第一，分情况来考虑： ①若要 只需 ； （1） ②若要 只需 ； ③若要 只需P为以 为直径的圆与 的交点，且因 所以 大于 与 之间的距离，所以以 为直径的圆与 必有两个交点。 第二，表示出以上四个点 的位置： 解：能使 为顶点的三角形成为直角三角形的点P共有四个，如图（1`）。 【说明】其实作图法确定符合某要求的图形，基本思想和用方程求 （1`） 未知数量的值有极大的相仿之处，都是先假定“存在”，按其具有的 特定要求逆推出它应当是怎样的。 二、关于“最值”问题 所谓“最值”问题，就是求一个变动的数量在某范围内取最大或最小值的问题。 “最值”问题大都归于两类基本模型： Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。 Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况： （1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。 （2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 1、利用函数模型求最值 由于这类问题在关节三“函数知识的三个支点”已有涉及和说明，这里我们只举一例。 例1 如图（1），平行四边形 中， ，E为BC上一动点（不与B重合），作 于 ，设 EMBED Equation.3 的面积为 当 运动到何处时， 有最大值，最大值为多少？ 【观察与思考】容易知道 是 的函数，为利用函数的性质求 的最大值， 就应先把 关于 的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。 （1） 解：如图（1`），延长 交 的延长线于 易知 。 ，而 ， 又，在 中， 。 。 其中 。 （1`） 对称轴 当 ， 随 的增大而增大。 当 ，即E与C重合时， 有最大值， 。 【说明】可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。 2、利用几何模型求最值 （1）归入“两点之间的连线中，线段最短” 例2 如图（1）所示，在一笔直的公路 的同一旁有两个新开发区 ，已知 EMBED Equation.3 千米，直线 与公路 的夹角 新开发区B到公路 的距离 千米。 （1）求新开发区A到公路 的距离； （2）现从 上某点 处向新开发区 修两条公路 ，使点 到新开发区 的距离之和最短，请用尺规作图在图中找出点 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹），并求出此时 的值。 【观察与思考】对于（1），直接归于几何计算。 对于（2），首先利用“轴对称”的性质，把原题中的求“ ” （1） 最短，转化成求“ ”最短（其中 是A关于 的对称点。 解：（1）先作 垂直于 于点 如图（1`） 在 中， （千米） 在 中， （千米） （千米） （2）作点A关于 的对称点 ，连结 交 于点 。 （1`） 结果如图（1``），点 即为所求。 如图（1``），作 交 的延长线于点 。 在 中， （千米）， （千米）。 （千米）。 此时 EMBED Equation.3 （千米） 【说明】本题的关键在于将“在直线上确定一点，使它到直线 同侧的两点距离之和最短”，转化为“直线异侧两点距离之和最 短”，进而再用“两点之间的所有连线中，线段最短。 （1``） 例3 如图，（1），在 中， ， 为 边上一定点，（不与点B，C重合）， 为 边上一动点，设 的长为 ，请写出 最小值，并说明理由。 【观察与思考】其实，本题和例2中的（2）基本上是相同的，是“在 直线 上求一点 ，使它到 同侧的两个定点 和 的距离之和 最小”。因此，可由图（1`）（连结 关于 的对称点 与 所成线段， （1） 交 于 。或图（1``）（连结 关于 的对称点 与 所成线段， 交 于 ，都同样可得 最小值。 （1`） （1``） （1```） 解：如图（1```），作点 关于 的对称点 ，连结 EMBED Equation.3 交 于点 ，易知 ， 。 在 中， ， 又，在 上任意取一异于 的点 ，连结 ，则 对 边上的动点 ，最小值为 。 【说明】Ⅰ、在本题，关键仍是将 最小问题，转化成求线段 的长，转化的桥梁仍是利用“轴对称”的性质； Ⅱ、至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。 例4 如图（1），抛物线 和 轴的交点为 为 的中点，若有一动点 ，自 点处出发，沿直线运动到 轴上的某点（设为点 ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 ），最后又沿直线运动到点 ，求使点 运动的总路程最短的点 ，点 的坐标，并求出这个最短路程的长。 【观察与思考】容易知道，点 的坐标为 ，抛物线的对称轴为 ，点 的坐标为 。实际上是求点E，F位于何处时有 最短，仍归于用“两点之间的所有连线中，线段最短” （1） 来求解，这只需作 关于 轴的对称点 ，点A关于对称轴 的对称点 连结 ，如图（1`），即可将原问题解决。 解：如图（1`），由题意可得 （0，3）， EMBED Equation.3 ，抛物线的对称点 为 ，点 关于 轴的对称点为 EMBED Equation.3 ，点 关于抛物线 对称轴 的对称点为 （6，3）。连结 。 根据轴对称性及两点间线段最短可知， EMBED Equation.3 的长就是所求点 运动中 最短总路程的长， EMBED Equation.3 在直线的方程为 （过程略）。 设 EMBED Equation.3 与 的交点为 则 为在 轴上所求的点， EMBED Equation.3 与直线 的交点为所求的F点。 可得 点的坐标为（2，0），F点的坐标为 ）。 由勾股定理可求出 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （过程略） 所以点 运动的总路程（ ）最短时间为 。 不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”。 （2）归于“三角形两边之差小于第三边” 例5 如图（1），直线 与 轴交于点C，与 轴交于点B，点A为 轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点 ，直线BC交⊙A于点D。 （1）求点D的坐标； （2）过 ，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使线段 与 之差的值最大？若存 在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。 【观察与思考】对于（1），可通过解直角三角形求得点D的坐标。 对于（2）如图（1`），过 ，C，D三点的抛物线的对称轴为 。 （1） 对于该对称轴上的任意一点P都有 ，而只 有当点P恰为直线 与抛物线的对称轴 的交点时， ，为最大。 解：（1）在 中，分别令 得B点的坐标为（2，0），C点的坐标为 为⊙A的直径， 。 EMBED Equation.3 且 。 （1`） 在 中，由 和 ，得点D的坐标为（ ）。 （2）如图（1``），当点P为该抛物线的对称轴 和 所在的 直线 的交点处时， ，其值最大，而 。 由 解得此时点P的坐标为 。 点P为 时 取最大值为 。 【说明】这里将求“两线段之差的最大值”，借助“三角形两边之差 小于第三边”转化为求一条特殊线段的长，其间，还借助了抛物线 （1``） 对称轴的性质。 练习题 1、已知：四边形 中， 分别是 上的点，且 。设四边形 的面积为 ， 。 如图，当四边形 为菱形，且 时，四边形 的面积 能否等于 若能，求出相应 的值，若不能，请说明理由。 （1） 2、抛物线 与 轴的交点为A，B（点B在点A的右侧），与 轴的交点为C，是否存在这样的 值，使点B在 轴的正半轴上，点C在 轴的负半轴上，且 为等腰三角形？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由。 3、已知抛物线 （ 为常数，且 ）。的顶点为A，与 轴交于点C；抛物线 与抛物线 关于 轴对称，其顶点为B，连结 。 （1）请在横线上直接写出抛物线 的解析式： ； （2）当 时，判定 的形状，并说明理由； （3）抛物线 上是否存在点P，使得四边形 为菱形？如果存在，请求出 的值；如果不存在，请说明理由。 4、如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线 与该二次函数的图象交于 两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在 轴上。 （1）求 的值及这个二次函数的解析式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与 不重合），过P作 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为 ，点P的横坐标为 ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使和四边形 是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由。 5、已知， 中， ， 是 边上的动点（与点A，B不重合）Q是BC边上的动点（与点B，C不重合）。 （1）如图，当 且Q为BC的中点时，求线段 的长。 （2）当 与 不平行时， 可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段 的长的取值范围，若不可能，请说明理由。 6、已知，如图，抛物线 ，它和 轴交点中右侧的一点为 和 轴的交点为C。在该抛物线上是否存在点 ，使 如果存在，请指明点P所在的位置，如果不存在，请说明理由。 7、已知抛物线 （1）在抛物线上求一点 使得 为等腰三角形，并写出 点的坐标。 （2）除（1）中所求的 点外，在抛物线上是否还存在其它的点 使得 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点 （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点 ，请说明理由。 8、如图， 中， ， 是BC的中点，E是AB边上的一动点，则 的最小值 。 9、已知矩形 的边长 ，点 是AD边上的一个动点（ 异于A，D）， 是BC边上任意一点，连结 。过点 作 交AQ于E，作 交DQ于F。 （1）求证： ∽ ； （2）设 的长为 试求 的面积 关于 的函数关系式，并求当点 在何处时， 取最大值，最大值是多少？ （3）当点 在何处时， 的周长最小？（指出确定点 在何处的过程或方法，不必证明）。 10、已知，如图，抛物线 与 轴交于A，B两点，交 轴于点 在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最小？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。 11、抛物线 交 轴于A，B两点，交 轴于点 已知抛物线的对称轴为 。 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使点 到B，C两点的距离之差最大？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。 12. 如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD。 （1）求C、D两点的坐标； （2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标。 13、如图，已知平面直角坐标系， 两点的坐标分别为 。 （1）若 是 轴上一个动点，则当 时， 的周长最短。 （2）若 是 轴上两个动点，则当 时，四边形ABDC的周长最短。 （3）设 分别为 轴和 轴上的动点，请问：是否存在这样的点 ，使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出 ， ，若不存在，请说明理由。 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 BC CD DA A B C A D B C Q P � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 21 22 28 29 A D B C Q P A D B C Q P A D B C Q P A D P B C Q A D P B C Q M A D P B C Q P A B C D E 45° A B C D E 45° A B C D E 45° � EMBED Equation.3 ��� A � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� M B C D A � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� M B C D E F P A B C A B C � EMBED Equation.3 ��� D A B C � EMBED Equation.3 ��� D A B C D F P E A B C D F E � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A B C D E F A B C D E F G A B C N O M A B C N O M 30°� EMBED Equation.3 ��� D A B C N O M 30°� EMBED Equation.3 ��� D P � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A C B P Q A C B P � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A C B P Q � EMBED Equation.3 ��� A C B P Q � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A F E M � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A F E M � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� B 3 3 A � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� D C B � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� D C B P � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� D C B P P A B C D E F G H � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� B D A P E C A C B Q P � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A C � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� -1 1 C B E A A B C D E A B C D Q P F E � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A B C � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A B C � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A B - 1 - _1266845789.unknown _1266942737.unknown _1267087831.unknown _1267091216.unknown _1267093117.unknown _1267095827.unknown _1267101171.unknown _1267101967.unknown _1269544871.unknown _1269544904.unknown _1269545044.unknown _1269545087.unknown _1269545151.unknown _1269545278.unknown _1269545292.unknown _1269545266.unknown _1269545135.unknown _1269545060.unknown _1269545000.unknown _1269545001.unknown _1269544999.unknown _1269544883.unknown _1267102377.unknown _1269544823.unknown _1269544838.unknown _1267102388.unknown _1267102254.unknown _1267102306.unknown _1267102073.unknown _1267102088.unknown _1267102104.unknown _1267101998.unknown _1267101307.unknown _1267101356.unknown _1267101954.unknown _1267101422.unknown _1267101901.unknown _1267101916.unknown _1267101926.unknown _1267101875.unknown _1267101384.unknown _1267101332.unknown _1267101343.unknown _1267101318.unknown _1267101220.unknown _1267101263.unknown _1267101282.unknown _1267101235.unknown _1267101200.unknown _1267101213.unknown _1267101184.unknown _1267097469.unknown _1267097912.unknown _1267101137.unknown _1267101149.unknown _1267101124.unknown _1267097852.unknown _1267097880.unknown _1267097831.unknown _1267096876.unknown _1267096922.unknown _1267097372.unknown _1267097462.unknown _1267097467.unknown _1267097468.unknown _1267097390.unknown _1267097417.unknown _1267097198.unknown _1267097240.unknown _1267097098.unknown _1267097126.unknown _1267097189.unknown _1267097111.unknown _1267096938.unknown _1267096884.unknown _1267096832.unknown _1267096851.unknown _1267095851.unknown _1267094469.unknown _1267095610.unknown _1267095739.unknown _1267095810.unknown _1267095816.unknown _1267095777.unknown _1267095647.unknown _1267095653.unknown _1267095623.unknown _1267094931.unknown _1267094967.unknown _1267095245.unknown _1267095266.unknown _1267095283.unknown _1267095066.unknown _1267094959.unknown _1267094730.unknown _1267094892.unknown _1267094699.unknown _1267094523.unknown _1267094549.unknown _1267094149.unknown _1267094322.unknown _1267094358.unknown _1267094452.unknown _1267094187.unknown _1267094173.unknown _1267093941.unknown _1267093986.unknown _1267094000.unknown _1267093838.unknown _1267093856.unknown _1267093891.unknown _1267093142.unknown _1267092213.unknown _1267092526.unknown _1267092930.unknown _1267092945.unknown _1267093065.unknown _1267093086.unknown _1267093063.unknown _1267093064.unknown _1267092964.unknown _1267092555.unknown _1267092567.unknown _1267092913.unknown _1267092546.unknown _1267092348.unknown _1267092418.unknown _1267092499.unknown _1267092393.unknown _1267092239.unknown _1267091397.unknown _1267091438.unknown _1267091462.unknown _1267091419.unknown _1267091333.unknown _1267091365.unknown _1267091242.unknown _1267090349.unknown _1267091004.unknown _1267091159.unknown _1267091190.unknown _1267091121.unknown _1267090825.unknown _1267090899.unknown _1267090938.unknown _1267090540.unknown _1267090553.unknown _1267090526.unknown _1267090094.unknown _1267090347.unknown _1267090348.unknown _1267090113.unknown _1267090208.unknown _1267090076.unknown _1267087901.unknown _1267089974.unknown _1267087266.unknown _1267087435.unknown _1267087612.unknown _1267087734.unknown _1267087791.unknown _1267087627.unknown _1267087574.unknown _1267087585.unknown _1267087478.unknown _1267087342.unknown _1267084910.unknown _1267086257.unknown _1267086523.unknown _1267086995.unknown _1267087014.unknown _1267086535.unknown _1267086491.unknown _1267086308.unknown _1267086378.unknown _1267086283.unknown _1267085358.unknown _1267085399.unknown _1267085443.unknown _1267085682.unknown _1267085699.unknown _1267085714.unknown _1267085453.unknown _1267085429.unknown _1267085260.unknown _1267085316.unknown _1267085339.unknown _1267085286.unknown _1267085274.unknown _1267085103.unknown _1267085224.unknown _1267084911.unknown _1267082093.unknown _1267084194.unknown _1267084643.unknown _1267084771.unknown _1267084803.unknown _1267084657.unknown _1267084520.unknown _1267084563.unknown _1267084475.unknown _1267083260.unknown _1267084006.unknown _1267084178.unknown _1267084024.unknown _1267083774.unknown _1267083690.unknown _1267082345.unknown _1267082695.unknown _1267082809.unknown _1267082356.unknown _1267082384.unknown _1267082314.unknown _1267082324.unknown _1267082048.unknown _1267082082.unknown _1266942772.unknown _1266943012.unknown _1267082031.unknown _1266942999.unknown _1266942758.unknown _1266939721.unknown _1266941765.unknown _1266942081.unknown _1266942323.unknown _1266942454.unknown _1266942542.unknown _1266942687.unknown _1266942526.unknown _1266942352.unknown _1266942229.unknown _1266942296.unknown _1266942147.unknown _1266941943.unknown _1266941985.unknown _1266942064.unknown _1266941967.unknown _1266941916.unknown _1266941781.unknown _1266940622.unknown _1266940822.unknown _1266940933.unknown _1266941231.unknown _1266940932.unknown _1266940836.unknown _1266940889.unknown _1266940668.unknown _1266940713.unknown _1266940632.unknown _1266940042.unknown _1266940593.unknown _1266940610.unknown _1266940552.unknown _1266940579.unknown _1266940073.unknown _1266939931.unknown _1266940026.unknown _1266939902.unknown _1266939779.unknown _1266939857.unknown _1266938624.unknown _1266939164.unknown _1266939257.unknown _1266939624.unknown _1266939642.unknown _1266939292.unknown _1266939196.unknown _1266939211.unknown _1266939173.unknown _1266939040.unknown _1266939055.unknown _1266939104.unknown _1266939049.unknown _1266938655.unknown _1266938670.unknown _1266938641.unknown _1266850256.unknown _1266938532.unknown _1266938599.unknown _1266938615.unknown _1266938543.unknown _1266850345.unknown _1266851170.unknown _1266852240.unknown _1266852274.unknown _1266852217.unknown _1266850417.unknown _1266850265.unknown _1266850059.unknown _1266850217.unknown _1266850241.unknown _1266850081.unknown _1266850180.unknown _1266850194.unknown _1266850104.unknown _1266850060.unknown _1266845936.unknown _1266849752.unknown _1266849827.unknown _1266848895.unknown _1266849166.unknown _1266848832.unknown _1266845896.unknown _1266845912.unknown _1266845836.unknown _1266566401.unknown _1266595618.unknown _1266842173.unknown _1266843781.unknown _1266844342.unknown _1266845728.unknown _1266845746.unknown _1266845761.unknown _1266845729.unknown _1266844423.unknown _1266845727.unknown _1266844375.unknown _1266844039.unknown _1266844118.unknown _1266844319.unknown _1266844074.unknown _1266843997.unknown _1266844030.unknown _1266843794.unknown _1266843934.unknown _1266843218.unknown _1266843578.unknown _1266843779.unknown _1266843780.unknown _1266843611.unknown _1266843778.unknown _1266843462.unknown _1266843525.unknown _1266843425.unknown _1266842917.unknown _1266843169.unknown _1266843194.unknown _1266843045.unknown _1266843066.unknown _1266843009.unknown _1266842324.unknown _1266842877.unknown _1266842339.unknown _1266842309.unknow