初三数学能力训练

练习1 实数（1） 【本课】正数与负数；数轴；相反数；绝对值；科学记数法 一、选择题 1．B 2．D 3．C 4．D 二、填空题 5．2，－ EQ \f(1,2) ，2 6．1.82×107 7．＞，＞ 8．4 三、解答题 9．（1）1；（2）－1006. 10．（1）26.7元； （2）28元，26.4元 11．示形式分别为224，236，235；末位数字分别是6，6，8. 12．（1）由已知可得 eq \f(全程参考价,总里程数)＝ eq \f(180,1500)＝0.12． A站至F站实际里程数为1500－219＝1281．所以A站至F站的火车票价为 0.12 1281＝153.72≈154(元) （2）设王大妈实际乘车里程数为x千米根据題意得 eq \f(180x,1500)＝66解得x＝550 (千米)． 对照表格可知， D站与G站距离为550千米，所以王大妈是D站或G站下的车． 练习2　实数（2） 【本课知识点】有理数的大小比较，有理数的运算，零指数及负整指数幂 一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．A 二、填空题 5．－ EQ \r(2) 、－ EQ \r(3) 等 6．9.9×10－11 7．＜ 8．3 三、解答题 9．（1）1；（2）5 10．－3.1415 11．x＝±2，y＝3，x－y＝－1或－5 12．（1）10－3＋4＋2－8＋13－2＋12＋8＋5＝41，在出发地东41千米. （2）0.2×（10＋3＋4＋2＋8＋13＋2＋12＋8＋5）＝13.4升 13．p＝1，q＝－2. 练习3　实数（3） 【本课知识点】开平方，近似数与有效数字；二次根式 一、选择题 1．A 2．A 3．D 4．C 二、填空题 5．1 6． EQ \r(7) 7．0.3； EQ \r(5) －2 8．2 三、解答题 9．（1）1； （2）2－ EQ \r(2) ；（3） EQ \f(3,2) EQ \r(2) －1 10．3 11．－ EQ \f(1,16) 12．43 13．－30.06 练习4　整式 【本课知识点】单项式、多项式；列代数式，代数式的值；整式的运算；因式分解 一、选择题 1．A 2．D 3．A 4．B 二、填空题 5．2π，2 6．五、四，－ EQ \f(7,9) 7．（1）－6； （2） EQ \f(6,7) ， EQ \f(4,7) 8．6 三、解答题 9．（1）2a2＋3a－5； （2）－3x＋y； （3）m3－3m2－9m＋27； （4）2a4＋18a2； （5）－x8； （6）0 10．（1）x（x－y）2； （2）（a＋b－1）（a－b＋1） 11．当a＝2，b＝1时，原式＝a2－2ab＝2. 12．n2—6n＝n（n—6），只有当0＜n＜6且n为整数时值为负. 13．（1）4，2＋3＋4＋5 （2）Sn－Sn－1＝n （3）S＝2＋3＋4＋…＋n＝ eq \f((n＋2)(n－1),2) 练习5　分式 【本课知识点】分式的概念，基本性质；分式的运算 一、选择题 1．B 2．C 3．D 4．B 二、填空题 5．－ eq \f(1,4mn)， eq \f(x2y4,9m2n2)， eq \f(xy,y－x) 6． eq \f(x2－y2,x－y)等 7．＝1 8．1 三、解答题 9．（1） eq \f(y2,x＋y)；（2） eq \f(4x10,a2y4)；（3） eq \f(3,m＋3)；（4）1；（5） eq \f(8x7,a8－x8). 10． EQ \f(3,5) 11．(A－B)÷C＝ eq \f(1,x－2)＝1 或A－B÷C＝ eq \f(1,x)＝ eq \f(1,3) 12．M＝N 13．x＝―5，―2，―1，0，2，3，4，7 14．（1） EQ \f(n,n＋1) ； （2） eq \f(2012,x2＋2012x) 练习6 方程（1） 【本课知识点】一元一次方程、二元一次方程组 一、选择题 1．C 2． C 3．B 4．C 二、填空题 5．2 6．12x－20；16 7．5 8． eq \f(29,3) 三、解答题 9． (1) x＝－ eq \f(1,2) (2)x＝2 (3) x＝3 (4) x＝ eq \f(14,17) 10． (1) eq \b\lc\{(\a\vs3\al(x＝－1，,y＝－4；)) (2) eq \b\lc\{(\a\vs3\al(a＝－1，,b＝－3；)) (2)eq \f(1,3) eq \b\lc\{(\a\vs3\al(a＝，,b＝ eq \f(1,2)；)) (2) eq \b\lc\{(\a\vs3\al(a＝5，,b＝1．)) 11．略 12．D 13．a＝4，b＝5，c＝－2 练习7 方程（2） 【本课知识点】一元一次方程、二元一次方程组及其应用 一、选择题 1．A 2． A 3．D 4．C 二、填空题 5．15(x＋2)＝330 6．如果每人做6个，那么比多8个 7．120 8．30 三、解答题 9． 2或3 10． (1)A型洗衣机1100元，B型洗衣机1600元； (2) 小李957元，小王1392元 11．(1)60座900元，45座700元； (2)5200元 12． x＝4，y＝3 练习8 方程（3） 【本课知识点】分式方程、一元二次方程 一、选择题 1．D 2．A 3．D 4．C 二、填空题 5． (1) x1＝0，x2＝2 (2) x1＝－1＋ eq \r(2)；x2＝－1－ eq \r(2) (3) x1＝x2＝－2 (4) x1＝2；x2＝3 6．m＞－6且m≠－4 7．－2，－1 8．4＋2 eq \r(2) 三、解答题 9． (1)x＝6 (2)x＝1 (3)x1＝3，x2＝－3 (4) x1＝－2＋ eq \r(2)；x2＝－2－ eq \r(2) (5)x1＝1，x2＝ eq \f(1,2) (6)x1＝17，x2＝－15 10．k＞－1且k≠0 11． (1)m≤ eq \f(1,4) (2)m＝ eq \f(1,4) 12．(1)原式＝ eq \f(a2＋3a,2)＝－ eq \f(1,2) (2) 原式＝ eq \f(b2－a2b,a)＝－1 13．(1)略 (2) x1＝a，x2＝ eq \f(a,a－1) 练习9 方程（4） 【本课知识点】一元二次方程及其应用 一、选择题 1．A 2．D 3．C 4．A 二、填空题 5．72(1－x)2＝56 6． eq \f(2400,x)－ eq \f(2400,(1＋20%)x)＝8 7．5 8．2 三、解答题 9．6元或4元 10． (1)5元 (2)4160元 11．5米 12．2米 练习10 不等式（1） 【本课知识点】一元一次不等式（组）及其解法 一、选择题 1．B 2．C 3．C 4．C 二、填空题 5．k＞2 6．m＜2 7．－3＜a≤－2 8．p＞1 三、解答题 9．（1）x≤2 （2）x＞17 10．x＜－4，数轴略 11．－3＜x≤1，x＝eq \r(3) eq \f(,2) 满足该不等式 12．0≤x≤3 13．－2＜x≤3 14．a＞－1 15．x＜－3 练习11 不等式（2） 【本课知识点】不等式及其应用 一、选择题 1．B 2．B 3．D 4．B 二、填空题 5．x＞1 6． eq \f(x,1.1)＞ eq \f(400,5) 7．8 8．50＋0.3x≤1200 三、解答题 9．158名学生，20个交通路口安排执勤 10．600≤x≤800 11．（1）20≤x≤40， 有21种；（2）y＝－0.2x＋280， x＝40时，成本总额最低 12．5个 练习12 数（1） 【本课知识点】直角坐标系、点的坐标，以及函数的有关概念 一、选择题 1.D 2. C 3. C 4. C 二、填空题 5. 二；(−2，−3) 6. x≠1；x≥−1， eq \r(,3) ；x≥−1且x≠2 7. −2＜m＜ eq \f(1,2) ，(1，2)(不唯一) 8.(− eq \f(7,6) ，4)，(−2，4)，(−3，4)，(8，4)；12 三、解答题 9. y＝80−2x，20＜x＜40. 10.(4，0)；(4，4)；(0，4)；(0，0)；图略 11.图略，(3，−1) 12. (−4，4)， eq \f(15(,4) 13.略 练习13 函数（2） 【本课知识点】一次函数的图像与性质 一、选择题： 1．B 2．C 3．A 4．C 二、填空题： 5．y＝x＋3（不唯一） 6． EQ \F(1,2) ≤m＜2 7．−3 8．y＜−2 三、解答题： 9．解：（1）S＝40−5x，x的取值范围是0＜x＜8 （2）画图略． 10．解：（1）甲厂的收费y（元）与印刷数量（份）之间的函数关系式为y＝x＋100 乙厂的收费y(元)与印刷数量x（份）之间的函数关系式为y＝2x （2）根据题意可得x＋1000＜2x 解得x＞1000 ∴当印制数量大于1000份时，在甲厂印刷合算. 11．解：(1) ∵ 直线y＝− EQ \F(3,4) x＋3与x轴的交点坐标为（4，0），与y轴交点坐标为（0，3）， ∴函数y＝− EQ \F(3,4) x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5. (2) 直线y＝− EQ \F(3,4) x＋b与x轴的交点坐标为（ EQ \F(4,3) b，0），与y轴交点坐标为（0，b）， 当b＞0时，b＋ EQ \F(4,3) b＋ EQ \F(5,3) b＝16，得b ＝4，此时，坐标三角形面积为 EQ \F(32,3) ； 当b＜0时，−b− EQ \F(4,3) b− EQ \F(5,3) b＝16，得b ＝−4，此时，坐标三角形面积为 EQ \F(32,3) . 综上，当函数y＝− EQ \F(3,4) x＋b的坐标三角形周长为16时，面积为 EQ \F(32,3) ． 12．解：（1）设乙车所行路程y与时间x的函数关系式为y＝k1x＋b1，把（2，0）和（10，480）代入，得 EQ \B\lc\{ (\a(2k1＋b1＝0，,10k1＋b1＝480．)) 解得 EQ \B\lc\{ (\a(k1＝60，,b1＝−120．)) ∴y与x的函数关系式为y＝60x−120． （2）由图可得，交点F表示第二次相遇，F点横坐标为6，此时y＝60×6−120＝240， ∴F点坐标为（6，240）， ∴两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程为240千米． （3）设线段BC对应的函数关系式为y＝k2x＋b2，把（6，240）、（8，480）代入，得 EQ \B\lc\{ (\a(6k2＋b2＝240，,8k2＋b2＝480．)) 解得 EQ \B\lc\{ (\a(k2＝120，,b2＝−480．)) ∴y与x的函数关系式为y＝120x−480． ∴当x＝4.5时，y＝120×4.5−480＝60． ∴点B的纵坐标为60， ∵AB表示因故停车检修， ∴交点P的纵坐标为60． 把y＝60代入y＝60x−120中，有60＝60x−120，解得x＝3， ∴交点P的坐标为（3，60）． ∴交点P表示第一次相遇， ∴乙车出发3−2＝1小时，两车在途中第一次相遇． 练习14 函数（3） 【本课知识点】一次函数与反比例函数 一、选择题 1．C 2．A 3．A 4．B 二、填空题 5．y＝ eq \f(40,x)； 6．m＞3； 7．−3 8．4 三、解答题 9．解：（1）m＝−1，k＝2；（2）(−1，−2)；（3）x＜−1或0＜x＜2 10．解：（1）△P1OA1的面积将逐渐减小． （2）作P1C⊥OA1，垂足为C，因为△P1O A1为等边三角形， 所以OC＝1，P1C＝ EQ \R(,3) ，所以P1(1， EQ \R(,3) )． 代入y＝ eq \f(k,x)，得k＝ EQ \R(,3) ，所以反比例函数的解析式为y＝ eq \f(\R(,3),x) ． 作P2D⊥A1 A2，垂足为D、设A1D＝a，则OD＝2＋a，P2D＝ EQ \R(,3) a， 所以P2(2＋a， EQ \R(,3) a )． 代入y＝ eq \f(\R(,3),x) ，得(2＋a)· EQ \R(,3) a ＝ EQ \R(,3) ，化简得a2＋2a－1＝0； 解得：a＝−1± EQ \R(,2) ， ∵a＞0 ∴a＝−1＋ EQ \R(,2) ， 所以点A2的坐标为(2 EQ \R(,2) ，0)． 11．①②④ 12．解：（1）如图；M1 的坐标为(−1，2)； （2）k＝−1，b＝m； （3）由（2）知，直线M1 M的解析式为y＝−x＋6， 则M(x，y)满足x·(− ＋6)＝−2， 解得x1＝3＋ EQ \R(,11) ，x2＝3− EQ \R(,11) ， ∴ y1＝3− EQ \R(,11) ，y2＝3＋ EQ \R(,11) ， ∴M1，M的坐标分别为（3− EQ \R(,11) ，3＋ EQ \R(,11) ），（3＋ EQ \R(,11) ，3− EQ \R(,11) ）． 练习15 函数（4） 【本课知识点】二次函数 一、选择题 1．A 2．C 3．D　　4．D 二、填空题 5．−2　　； 6．(eq \r(,6)，2)或(−eq \r(,6)，2)； 7．(2，−6) 三、解答题 8．（1）y＝ x2－4 x－6． （2）对称轴为x＝2；顶点坐标为(2，－10)． （3）点Q到x轴的距离为6． 9．（1）网球不能落入桶内．　　　　　　　　　　　 （2）当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内． 10．（1）y＝−eq \f(1,4)x2＋2x＋1． （2）当t ＝ 1时，P点坐标为(1，1)，∴Q点坐标为(2，0)； 当t ＝ 4时，P点坐标为(2，3)，∴Q点坐标为(5，0)． （3）当0＜t≤2时， s＝−eq \f(1,8)t2＋t；当2＜t≤5时， s＝−eq \f(1,2)t2＋3t −eq \f(5,2) 当t＝3时，S的最大值为2． 练习16 函数（5） 【本课知识点】函数及其应用 一、选择题： 1．A 2．A 3．A 4．C 二、填空题： 5．y随x值的增大而增大； 6．右，1，上， EQ \F(5,2) ； 7．y1＝0.58x (x≥0)， y2＝0.28x＋600 (x≥0) ； 8．16 三、解答题： 9．200；5；y＝200x−1000． 10．解：（1）由题意得y与x之间的函数关系式为 y＝(10＋0.5x)(2000(6x)＝ −3x2＋940x＋20000 (1≤x≤110，且x为整数) （2）由题意得：−3x2＋940x＋20000−10×2000−340x＝22500 解方程得：x1＝50 x2＝150（不合题意，舍去） 李经理想获得利润2250元需将这批香菇存放50天后出售． （2）设最大利润为W，由题意得 W＝ −3x2＋940x＋20000−10 ×2000−340x ＝ −3(x(100)2＋ 30000 ∴当x＝100时，W最大＝30000 100天＜110天 ∴100天后出售这批香菇可获得最大利润30000元． 11. 解：（1）将B、C两点的坐标代入得 eq \b\lc\{(\a\al\co2(3b＋c＝0，,,c＝−3．))解得： eq \b\lc\{(\a\al\co2(b＝ ( 2，,,c＝ (3．)) 所以二次函数的表达式为：y＝x2(2x(3 （2）存在点P，使四边形PO EQ P\S\up3(′)C为菱形．设P点坐标为(x，x2(2x(3)， P EQ P\S\up3(′)交CO于E 若四边形PO EQ P\S\up3(′)C是菱形，则有PC＝PO． 连结P EQ P\S\up3(′) 则PE⊥CO于E， ∴OE＝EC＝ eq \f(3,2)，∴y＝ ( eq \f(3,2) ∴x2(2x(3＝− eq \f(3,2) 解得x1＝ eq \r(,10) eq \f(2＋,2) ，x2＝eq \r(,10) eq \f(2(,2) (不合题意，舍去) ∴P点的坐标为(eq \r(,10) eq \f(2＋,2) ，− eq \f(3,2)) （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P(x，x2(2x(3)， 易得，直线BC的解析式为y＝x ( 3. 则Q点的坐标为(x，x−3). S四边形ABPC＝S△ABC＋S△BPQ＋S△CPQ＝ EQ \F(1,2) AB·OC＋ EQ \F(1,2) QP·OE＋ EQ \F(1,2) QP·EB ＝ EQ \F(1,2) ×4×3＋ EQ \F(1,2) ((x2＋3x)×3 ＝ ( eq \f(3,2) (x( eq \f(3,2) )2＋ eq \f(75,8) 当x＝ eq \f(3,2) 时，四边形ABPC的面积最大. 此时P点的坐标为( eq \f(3,2) ，− eq \f(15,4))，四边形ABPC的面积的最大值为 eq \f(75,8) . 练习17 代数综合练习 一、选择题： 1．C 2．B 3．D 4．C 5．B 6．D 7．A 8．B 二、填空题： 9． 5.99579×107 人次 10．ax(x(1) ；（3x＋y＋2）·（3x(y(2） 11．y＝( EQ \F(6,x) 12．k＞1 13．4 14． EQ \F(1,2) 15．(2，4) 16．（ EQ \F(9,2) ，0）；12 三、解答题： 17．（1）11( eq \r(3) （2） EQ \F(1,2) eq \b \lc\{ (\a \al \vs1(x＝,y＝1)) （3）化简为 EQ \F(1,a＋b) ，当a ＝2时，值为1 18．乙车出发后1．5小时追上甲车 19．（1）m＝ (x＋100（0≤x≤100）（2）每件商品的利润为x−50，所以每天的利润为： y＝(x−50)(−x＋100) ∴函数解析式为y＝−x2＋150x−5000 （3）∵x＝− EQ \F(150,2×((1)) ＝75 在50＜x＜75元时，每天的销售利润随着x的增大而增大 20． 解：（1）(150−150x) 千米． （2）相遇之后，两车的距离是(150 x −150)千米， 依题意可得不等式组： EQ \B\lc\{ (\a(150−150x≤15，,150x−150≤15．)) 解得0.9≤x≤1.1 ； 1.1(0．9＝0.2 答：两部对讲机可以保持通话的时间最长是0.2小时． 21． ∴直线AD的函数表达式为．y＝ eq \r(3)x＋2 eq \r(3) ∴当t＝2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切． 22．（1）提示：∵PQ∥FN，PW∥MN ∴∠QPW ＝∠PWF，∠PWF ＝∠MNF ∴∠QPW ＝∠MNF 同理可得：∠PQW ＝∠NFM或∠PWQ ＝∠NFM ∴△FMN∽△QWP （2）当x＝ EQ \F(4,3) 或x＝4时，△PQW为直角三角形； 当0≤x＜ EQ \F(4,3) ， EQ \F(4,3) ＜x＜4时，△PQW不为直角三角形． （3）当x＝5时，MN最短，此时MN＝ eq \r(2) 练习18 相交线与平行线 【本课知识点】相交线与平行线 一、选择题 1．B； 2．B； 3．A； 4. C． 二、填空题 5．70°； 6．30°； 7．30°； 8．80° 三、解答题 9．BD∥AC．理由略． 10．110°． 11．略 【拓展与延伸】 12．过点A作AE⊥l3于点E，过点C作CF⊥l3于点F，可得△AEB≌△BFC，AE＝BF＝3，EB＝FC＝5，在Rt△AEB中，得AB2＝BC2＝34，∴AC＝2 eq \r(17)． 13．（1）不成立，结论是∠BPD＝∠B＋∠D. 延长BP交CD于点E， ∵AB∥CD. ∴∠B＝∠BED. 又∠BPD＝∠BED＋∠D，∴∠BPD＝∠B＋∠D. （2）结论： ∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D. （3）由（2）的结论得：∠AGB＝∠A＋∠B＋∠E. 又∵∠AGB＝∠CGF. ∠CGF＋∠C＋∠D＋∠F＝360°∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D∠E＋∠F＝360°. 练习19 三角形 【本课知识点】三角形的边角关系、全等三角形的判定与性质 一、选择题 1．B； 2．D； 3．A； 4．C． 二、填空题 5．270°； 6．3； 7．75°； 8．82°． 三、解答题 9．中线．证明△BED≌△CFD即可． 10．（1）△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF． （2）证法不唯一：连接CE ∵Rt△ABC≌Rt△ADE ∴AC＝AE ∴∠ACE＝∠AEC 又∵Rt△ABC≌Rt△ADE ∴∠ACB＝∠AED ∴∠ACE－∠ACB＝∠AEC－∠AED ， 即∠BCE＝∠DEC ∴CF＝EF 11．（1）∵△ABD是等边三角形，AB＝10，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10 ∵DH⊥AB ∴AH＝ eq \f(1,2)AB＝5 ∴DH＝ eq \r(AD2－AH2)＝ eq \r(102－52)＝5 eq \r(3) ∵△ABC是等腰直角三角形 ∴∠CAB＝45° ∴∠AEH＝45° ∴EH＝AH＝5 ∴DE＝DH－EH＝5 eq \r(3)－5 （2）∵DH⊥AB且tan∠HDB＝ eq \f(3,4) ∴可设BH＝3k，则DH＝4k ，DB＝5k ∵BD＝AB＝10 ∴5k ＝10 解得：k ＝2 ∴DH＝8，BH＝6，AH＝4 又∵EH＝AH＝4 ∴DE＝DH－EH＝4 【拓展与延伸】 12．201． 13．图（2）成立，图（3）不成立． 证明图（2）． 延长DC至点K，使CK＝AE，连结BK，则△BAE≌△BCK， ∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC， ∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠FBC＋∠ABE＝60°， ∴∠FBC＋∠KBC＝60°， ∴∠KBF＝∠FBE＝60°， ∴△KBF≌△EBF， ∴KF＝EF， ∴KC＋CF＝EF， 即AE＋CF＝EF． 图（3）不成立， AE，CF ，EF的关系是AE－CF＝EF． 练习20 特殊三角形 【本课知识点】等腰三角形、直角三角形 一、选择题 1．A； 2．B； 3．C； 4. D． 二、填空题 5．60°； 6． eq \f(7,4) cm； 7．5； 8．2 eq \r(7)． 三、解答题 9．（1）略． （2）13． 10．（1）∵AD⊥AB，点E是BD的中点， ∴AE＝BE＝ED＝ eq \f(1,2)BD， ∴∠B＝∠BAE， ∵∠AED＝∠B＋∠BAE， ∴∠AED＝2∠B， ∵∠C＝2∠B， ∴∠C＝∠AED， ∴AC＝AE， ∴BD＝2AC． （2）25． 11．（1）证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB， ∴AF＝DF， ∵点E是AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF∥BC． （2）△ABD的面积＝8 【拓展与延伸】 12．27＋13 eq \r(3)． 13．(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ (DBA ＝ (CAE， 又∵ eq \f(AB,AC)＝ eq \f(BD,AE)＝3 ， ∴ △ABD∽△CAE. (2) ∵AB ＝3AC ＝3BD，AD＝2 eq \r(2)BD ， ∴ AD2 ＋ BD2 ＝ 8BD2 ＋ BD2 ＝ 9BD2 ＝AB2， ∴(D ＝90°， 由（1）得 (E ＝(D ＝ 90°，∵ AE＝ eq \f(1,3)BD ，EC ＝ eq \f(1,3)AD ＝ eq \f(2,3) eq \r(2)BD ，AB＝3BD ， ∴在Rt△BCE中，BC2 ＝(AB＋AE)2＋EC2＝(3BD ＋ eq \f(1,3)BD)2＋(eq \r(2) eq \f(2,3) BD)2＝ eq \f(108,9)BD2＝12a2， ∴ BC ＝2 eq \r(3)a . 练习21 四边形（1） 【本课知识点】四边形的边、角关系；平行四边形性质判定 一、选择题 1. A. 2. C. 3. D. 4. D. 二、填空题 5. 6. 6. 65°. 7. 10. 8. 12. 三、解答题 9. 证明： 四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ，AB=CD，∴∠GBC=∠BGA，∠BCE=∠CED. ∵BG平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠ABG=∠GBC，∠BCE=∠ECD， ∴∠ABG=∠GBA，∠ECD=∠CED， ∴AB=AG，CE=DE. ∴AG=DE，∴AG-EG=DE-EG. 即AE=DG. 10. ∵∠AEB=∠EBC，DF∥BE，   ∴∠DFC=∠AEB.       ∵∠DAB=∠BCD，AB=CD，∴△ABE≌△CDF，  ∴AE=FC.       ∴ED=CF.       ∵AB=CD，  又∵∠ABC=∠CDA，∴△ABF≌△CDE.， ∴∠BAF=∠ECD.       ∴∠FAD=∠ECB， ∴△AEM≌△CFN      ∴FN=EM.     又∵DF∥BE       ∴四边形MFNE是平行四边形 11. ⑴提示：AC=3) eq \f(,2) AB，EF=3) eq \f(,2) AE=3) eq \f(,2) AB，AC=AE. ⑵提示：∠DAF=60°+30°=90°=∠EFA，AD∥EF且AD=EF. 12. ⑴证明： ∵∠ABD=90°，AB∥CR，∴CR⊥BD ∵BC=CD， ∴∠BCR=∠DCR ∵四边形ABCR是平行四边形，∴∠BCR=∠BAR∴∠BAR=∠DCR ∵AB=CR，AR=BC=CD， ∴△ABR≌△CRD ⑵由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，故BC∥AD. 又由AB=CD知∠A=∠CDA 因为SR∥PQ∥BA，所以∠SRD=∠A=∠CDA，从而SR=SD. 由PS∥BC及BC=CD知SP=SD. 而SP=DR，所以SR=SD=RD 故∠CDA=60°. 因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°. （注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等亦可. ） 练习22 四边形（2） 【本课知识点】矩形、菱形的概念、性质、判定 一、选择题 1. C. 2. D. 3. A. 4.B. 二、填空题 5. eq \f(25,8) . 6. 54. 7. eq \f(13,4) . 三、解答题 8. ⑴∵AB∥CD，即AE∥CD，∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形. ∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，∵AD∥CE，∠ACE=∠CAD， ∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，∴四边形AECD是菱形. ⑵连DE，则DE⊥AC，且平分AC，设DE交AC于F． ∵E是AB的中点，∴EF∥BC．∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形． 9. (1)在矩形ABCD中，∵AD//BC ∴∠DAC=∠BCA. 由题意可知∠1= eq \f(1,2)∠DAC，∠2= eq \f(1,2)∠BCA，∴∠1=∠2 ∴AG//CE， 又∵AB//CD，∴四边形AECG是平行四边形. ⑵在Rt△ABC 中，AB=4，BC=3，∴AC=5. ∵CF=CB=3 ∴AF=2. 在Rt△AEF 中，设EF=x，则AE=4-x， 由勾股定理可得： （4-x）2=22+x2， 解得x= eq \f(3,2)，即线段EF的长是 eq \f(3,2). 10. ⑴∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC ，DE=DE，对角线BD平分∠ADC， ∴△ADE≌△CDE，∴∠DAE=∠DCE. ∵AD‖GC，∴∠DAE=∠G. ∵∠DAE=∠DCE，∴∠G=∠DCE，∠CEF=∠GEC ∴△ECF∽△EGC，∴ eq \f(EF,EC) = eq \f(EC,EG) . ∵AE=CE=2EF，∴ eq \f(EF,EC) = eq \f(EC,EG) = eq \f(1,2) . ∴EC= eq \f(EG,2) ，EF= eq \f(EC,2) ，∴EF= eq \f(EG,4) ，∴EF:FG=1:3，∴FG=3EF 11. ⑴证明：Rt△DEC是由Rt△ABC绕点C旋转60°得到， ∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°， ∴△ACD是等边三角形，∴AD=DC=AC. 又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到 ∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°，∴∠FBC是平角，∴点F、B、C三点共线. ∴△AFC是等边三角形，∴AF=FC=AC. ∴AD=DC=FC=AF， ∴四边形AFCD是菱形． ⑵四边形ABCG是矩形． 证明：由⑴可知：△ACD是等边三角形，DE⊥AC于E， ∴AE=EC，∵AG∥BC，∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC， ∴△AEG≌△CEB，∴AG=BC， ∴四边形ABCG是平行四边形，而∠ABC=90°，∴四边形ABCG是矩形． 练习23 四边形（3） 【本课知识点】正方形的性质与判定 一、选择题 1. D. 2. A. 3. C. 4. A. 二、填空题 5. 22.5°. 6. eq \r(,2)-1. 7. 3. 三、解答题 8. ⑴证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°. 又EC＝EC，∴△ABE≌△ADE . ⑵∵△ABE≌△ADE，∴∠BEC＝∠DEC＝ eq \f(1,2)∠BED. ∵∠BED＝120°∴∠BEC＝60°＝∠AEF ，∴∠EFD＝60°+45°＝105° . 9. 提示：由∠H＝∠FCE，AH＝CE，∠HAE＝∠FCE可证△HAE≌△CEF，从而得到AE＝EF. 10. ⑴答：AE(GC. 提示：延长GC交AE于点H. 证明(AHG=90(，∴AE(GC. ⑵答：成立. 提示：延长AE和GC相交于点H. 证明(EHC=90(，∴AE(GC. 11. ⑴①证明： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB​ = AD，∠1 =∠2. 又∵AN = AN， ∴△ABN ≌ △ADN. ②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H，由AD∥BC，得∠MAH =∠ABC = 60°， 在Rt△AMH中，MH = AM·sin60° = 4×sin60° = 2 eq \r(,3) ， ∴点M到AD的距离为2 eq \r(3). 易求AH=2，则DH=6＋2=8. 在Rt△DMH中，tan∠MDH= eq \f(MH,DH) = eq \f(2,8) = eq \f(,4) ， 由①知，∠MDH=∠ABN=α. 故tanα= eq \f(,4) ⑵解：∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形 此时，∠CAD=45°. 下面分三种情形： Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°. 此时，点M恰好与点B重合，得x=6； Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°. 此时，点M恰好与点C重合，得x=12； Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2，由AD∥BC，得∠1=∠4，又∠2=∠3， ∴∠3=∠4，从而CM=CN，易求AC=6 eq \r(,2) ，∴CM=CN=AC－AN=6 eq \r(,2) －6， 故x = 12－CM=12－（6 eq \r(,2) －6）=18－6 eq \r(,2) . 综上所述：当x = 6或12 或18－6 eq \r(,2) 时，△ADN是等腰三角形 . 练习24 四边形（4） 【本课知识点】梯形的相关概念，等腰梯形的性质与判定，梯形的中位线 一、选择题 1. C. 2. A. 3. C. 4. A. 二、填空题 5. 3. 6. 3. 7. 20. 8. 5. 三、解答题 9. 如图，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F． ∴AE∥DF． 又AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF=AD= eq \r(,2) ． ∵AB⊥AC，∠B=45°，BC=4 eq \r(,2) ，∴AB=AC.∴AE=EC= eq \f(1,2) BC=2 eq \r(,2) ． ∴DF=AE=2 eq \r(,2) ，CF=EC-EF= eq \r(,2) . 在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∴DC= eq \r(,10) . 10. ⑴证明： ∵AE∥BD， ∴∠E＝∠BDC ∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC 又∵∠C＝2∠E， ∴∠ADC＝∠BCD ∴梯形ABCD是等腰梯形 ⑵由第⑴问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5 ∵ 在△BCD中，∠C＝60°， ∠BDC＝30°，∴∠DBC＝90° ∴DC＝2BC＝10 11. ⑴如图，延长AD交FE的延长线于N， ∵∠NDE=∠FCE=90°，∠DEN=∠FEC，DE=EC， ∴△NDE≌△FCE， ∴DN=CF. ∴AB∥FN，AN∥BF，∴四边形ABFN是平行四边形． ∴BF=AD+DN=AD+FC． ⑵解：∵AB∥EF，∴∠1=∠BEF. ∵∠1=∠2，∴∠2=∠BEF．∴EF=BF. ∴EF=AD+CF= eq \f(AD+BC,2) = eq \f(1+7,2) =4. 12. ⑴作BH(x轴于点H，则四边形OHBC为矩形， ∴OH=CB=3，∴AH=OA(OH=6(3=3，∴BH=6， ∴点B的坐标为(3，6). ⑵作EG(x轴于点G，则EG//BH，求得OG=2，EG=4，∴点E的坐标为(2，4). 设直线DE的解析式为y=kx＋b，则 eq \b\lc\{(\a\vs3\al(2k＋b＝4，,b＝5.))解得直线DE的解析式为：y=－ eq \f(1,2)x(5. ⑶N1(-2 eq \r(,5) ， eq \r(,5) )，N2(-5， eq \f(5,2) )，N3(4，8). 练习二十五 圆的有关概念 【本课知识点】圆的有关概念及圆的侧面展开 一、选择题 1．D； 2．D； 3．B； 4. D． 二、填空题 5．5； 6．1 cm或5 cm； 7．8； 8．100°． 三、解答题 9．（1）PD是⊙O的切线． 连接OD，∵OB＝OD， ∴∠2＝∠PBD， 又∵∠PDA＝∠PBD， ∴∠PBD＝∠2， 又∵AB是半圆的直径， ∴∠ADB＝90°， 即∠1＋∠2＝90°， ∴∠1＋∠PDA＝90°，即OD⊥PD， ∴PD是⊙O的切线． （2）∵∠BDE＝60°，∠ODE＝60°，∠ADB＝90°， ∴∠2＝30°， ∠1＝60°， ∵OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形，∴∠POD＝60°， ∴∠P＝∠PDA＝30°． 在直角△PDO中，设OD＝x，∴x2＋( eq \r(3))2＝(2x)2， ∴x1＝1，x2＝－1（不合题意，舍去） ∴PA＝1． 10．（1）解：（1）如图①．过D点作DF⊥AE于F点． 在Rt△ADP中，AP＝ eq \r(AD2＋DP2)＝5) eq \f(,2) 又∵S△ADP＝ eq \f(1,2)AD·DP＝ eq \f(1,2) AP·DF，∴DF＝5) eq \f(,5) . ∵ eq \o(\s\up 5( ⌒),AD)的度数为90° ∴∠DEA＝45° ∴DE＝ eq \r(2)DF＝10) eq \f(,5) . （2）如图②．当Rt△ADP∽Rt△QCP时有 eq \f(AD,QC)＝ eq \f(DP,CP)，得：QC＝1． 即点Q与点B重合，∴BQ＝0 如图③，当Rt△ADP∽Rt△PCQ时，有 eq \f(AD,PC)＝ eq \f(PD,QC) 得QC＝ eq \f(1,4)，即BQ＝BC－CQ＝ eq \f(3,4) 当BQ＝0或BQ＝ eq \f(3,4)时，三角形ADP与以点Q、C、P为顶点的三角形相似． 11．（1）证明：连接OD，则OA＝OD，∴∠1＝∠3； ∵BC是⊙O的切线， ∴OD⊥BC. ∵AC⊥BC ， ∴OD∥AC， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD平分∠BAC. （2）①连结ED. ∵AE为直径，∴∠ADE＝∠C＝90°， 又由（1）知∠1＝∠2，∴△ADE∽△ACD， ∴ ∵AC＝3，AE＝4， ∴AD2＝AE·AC＝3×4＝12， ∴AD＝ ②在Rt△ADE中，cos∠1＝ ∴S△AOD＝ ∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝ 【拓展与延伸】 12．2－ eq \r(2) eq \f(,2) ． 13．（1）（1）直线CE与⊙O相切． 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴BD∥AD，∠ACB＝∠DAC ， 又 ∵∠ACB＝∠DCE ∴∠DAC＝∠DCE，连接OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE，∵∠DCE＋∠DEC＝90 ∴∠AE0＋∠DEC＝90° ∴∠OEC＝90° ∴直线CE与⊙O相切． （2）∵tan∠ACB＝ eq \f(AB,BC)＝2) eq \f(,2) ，BC＝2 ∴AB＝BC·tan∠ACB＝ eq \r(2) ，AC＝ eq \r(6) 又∵∠ACB＝∠DCE ∴tan∠DCE＝2) eq \f(,2) ∴DE＝DC•tan∠DCE＝1 在Rt△CDE中，CE＝ eq \r(CD2＋DE2)＝ eq \r(3)，连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2即( eq \r(6)－r)2＝r2＋3 解得：r＝ eq \f(,4) ． 练习二十六 正多边形与圆 【本课知识点】正多边形与圆及镶嵌、正多边形展开等问题 一、选择题 1．C； 2．D； 3．D； 4. C． 二、填空题 5．9； 6．3) eq \f(8π,3) ； 7．2； 8．102． 三、解答题 9．五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．理由略． 10．线段CP与AC相等． 证明△CDP≌△ABC即可． 11． eq \f(70,3)㎝ 12． eq \f(360°,n) 13．11＋6 eq \r(2) 练习27 图形的轴对称、中心对称 【本课知识点】图形的轴对称、中心对称（含基本作图、投影与视图） 一、选择题 1．B 2．D 3．C 4．C 5．C 6．C 二、填空题 7．14， eq \f(15,4) 8．61° 9．3 eq \r(3) 10． eq \f(1,2)a2 11． eq \f(75,16) 三、解答题 12．略 13．解：（1）2次； （2）略；（3）略． 14．解：(1)略；(2)34；(3)结论：AB2＋BC2＝AC2或勾股定理的文字叙述 15．（1）图略；（2） eq \f(288,5) 16．B 17． (1)0＜x＜ eq \f(27,5) (2) y＝ eq \f(27－x,2) 练习28 平移与旋转 【本课知识点】平移与旋转 一．选择题 1． B 2． B 3．A 4． C 二．填空题 5．6－2 eq \r(3) 6．5 7．3 8．2－ eq \r(2) 三．解答题 9．（1）5 （2） eq \f(5,2) eq \r(3) （3）略 10． （1）当x＝2时， y＝8 ；当x＝5时， y＝50 ； （2）当0＜x≤5时，y＝2t2． 当5＜x≤7.5时，y＝50． 当7.5＜x≤10时，y＝(2 eq \r(3)－2)t2－(20 eq \r(3)－20)t＝50 eq \r(3)． 当10＜x≤12.5时，y＝3) eq \f(,2) (25－2t)2． 11．（1）AN＝BM； （2）在转动的过程中四边形AMPN的面积不变，定值为1； （3）△PMN的面积：y＝1－x＋ eq \f(1,2)x2． 练习29 图形的相似 【本课知识点】图形的相似 一、选择题 1． B 2． B 3． D 4． C 二、填空题 5．±4 eq \r(2) 6．32500 7． eq \f(2,5)， 4：21 8．a(1－k) 三、解答题 9．如图，有三个 10．（1）略；（2）略；（3）边长为6，面积.为9 eq \r(3) 11．（1）△ADF、△ABE、△CDE、△ABC；（2）当t＝ eq \r(3)时，使得△ADF∽△EDB． 12． 作出示意图，连接AB，同时连结OC并延长交AB于E， 因为夹子是轴对称图形，故OE是对称轴，求得AB两点间的距离为30mm． 13．（1）证明略；（2）y与x之间的函数关系式为y＝10－ eq \f(1,2)(x－2)2；当M点运动到BC中点时，四边形ABCN面积最大，最大面积为10；（3）当M点运动到BC中点时Rt△ABM∽Rt△AMN，此时 x的值为2． 练习30 锐角三角函数 【本课知识点】锐角三角函数（含解直角三角形） 一、选择题 1．A 2．A 3．B 4．A 二、填空题 5．1－3) eq \f(,3) 6．5 7．150 8．（－ eq \f(3,5)， eq \f(4,5)） 三、解答题 9．（16＋4 eq \r(3)）m 10．（1）55.4 （2）2.3 （3）2.3 11．（1）5 eq \r(3)－5 （2）①6、8 ②4 12.（1）观测点B到航线l的距离为3km （2）该轮船航行的速度约为40.6 km/h 练习31 几何综合练习 一、选择题 1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．C 二、填空题 7．6 8． eq \f(13,2)，6 9．4 10．50° 11．2π 12． eq \f(1,2π) 三、解答题： 13．（1）略；（2）略 14．（1）∠BDA′＝2∠A；（2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A；（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A，理由略；（4）2(∠A＋∠B)＝360°＋∠1＋∠2 15．50 eq \r(3)－50 16．（1）∠A＝30°，（2）阴影部分的面积为 eq \f(8,3)π－2 eq \r(3) 17．解：（1）略 （2）（1）中结论仍然成立，即EG＝CG．如连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴ △DAG≌△DCG．∴ AG＝CG．在△DMG与△FNG中，∵ ∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴ △DMG≌△FNG．∴ MG＝NG，在矩形AENM中，AM＝EN．在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM＝EN， MG＝NG，∴ △AMG≌△ENG．∴ AG＝EG．∴ EG＝CG． （3）（1）中的结论仍然成立，即EG＝CG．其他的结论还有：EG⊥CG． 18．解：（1）∠CQP＝∠CDB＝30°． （2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ， ∴∠RPQ＝∠CPQ，RP＝CP．由（1）知∠CQP＝30°， ∴∠RPQ＝∠CPQ＝60°，∴∠RPB＝60°，RP＝2BP． ∵CP＝x，∴PR＝x，PB＝3 eq \r(3)－x． 在△RPB中，根据题意得：2(3 eq \r(3)－x)＝x，解这个方程得：x＝2 eq \r(3)． （3）①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，0＜x≤2 eq \r(3)，S△CPQ＝ eq \f(1,2)CP·CQ＝3) eq \f(,2) x2，∵△RPQ≌△CPQ，∴当0＜x≤2 eq \r(3)时，y＝3) eq \f(,2) x2；当R在矩形ABCD的外部时（如图2），2 eq \r(3)＜x≤3 eq \r(3)，在Rt△PFB中，∵∠RPB＝60°，∴PF＝2BP＝(3 eq \r(3)－x)，又∵RP＝CP＝x，∴RF＝RP＝PF＝3x－6 eq \r(3)，在Rt△ERF中，∵∠EFR＝∠PFB＝30°，∴ER＝ eq \r(3)x－6．∴S△