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第12章 简单的静不定系统

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第12章 简单的静不定系统 1 eBook 材料力学习题详细解答 教师用书 (第 12 章) 2006-01-18 范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室 FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio 2 习题 12-1 习题 12-2 习题 12-3 习题 12-4 习题 12-5 习题 12-6 习题 12-7 习题 12...
第12章 简单的静不定系统
1 eBook 材料力学习题详细解答 教师用书 (第 12 章) 2006-01-18 范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室 FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio 2 习题 12-1 习题 12-2 习题 12-3 习题 12-4 习题 12-5 习题 12-6 习题 12-7 习题 12-8 3 习题 12-1 图 (a) (b) 习题 12-2 图 材料力学习题详细解答之十二 第 12 章 简单的静不定系统 12-1 关于求解图 a 所示的超静定结构,解除多余约束有图 b、c、d、e 所示四种选择, 试判断下列结论中哪一种是正确的。 (A)b、c、d 都正确; (B)b、d 正确; (C)b、c、e 正确; (D)仅 e 是正确的。 解:正确答案是 D 。 12-2 两个弯曲刚度 EI 相同、半径为 R 的半圆环,在 A、C 两处铰链连接,加力方式 如图所示。关于 A、B 两处截面上的内力分量的绝对值,有如下四种结论,试分析哪一种是 正确的。 4 (a) (b) 习题 12-3 图 (A) FF A =Q , 0=AM , FF B =N , FRM B = ; (B) FF A =Q , 0=AM , 2N FF B = , 2 FRM B = ; (C) 2Q FF A = , 0=AM , FF B =N , FRM B = ; (D) 2Q FF A = , 0=AM , 2N FF B = , 2 FRM B = 。 解:从铰链处拆开,根据铰链的约束性质,应该有两个约束力-水平方向与铅垂方向, 但是根据对称性,只能有对称的约束力,这表明水平约束力必须等于零。 再应用铅垂方向的平衡条件,因为铅垂方向没有外力作用,所以,铅垂方向的约束力也 变形等于零。 于是,拆开后的半圆环的受力如图 b 所示。A、B 截面的内力分量分别为: 0=AM , 2Q FF A = 0=∑ xF , 2QN FFF AB == 0=∑ BM , RFM B ⋅= 2 所以,正确答案是 D 。 12-3 两个弯曲刚度 EI 相同,半径为 R 的半圆环,在 A、C 两处铰接。关于在图示受 力情形下 A、B 两处截面上的内力分量数值有以下四种结论,试分析哪一种是正确的。 (A) 2/N FF A = , 0=AM , 2N FF B = ,FQA、FNB、MB需求解超静定才能确定; (B) 2/N FF A = , πQ FF A = , π FM A = , πN FF B = , 2Q FF B = , RFFM B )π2( −= ; (C) 2N FF A = , 0Q =AF , 0=AM , N 0BF = , 2Q FF B = , 2 FRM B = ; (D) 2QNQN FFFFF BBAA ==== , 0== BA MM 。 5 (a) (b) 习题 12-4 图 解:从铰链处拆开,根据铰链的约束性质,应该有两个约束力-水平方向与铅垂方向, 但是根据对称性,只能有对称的约束力,这表明铅垂方向约束力必须等于零。 再应用水平方向的平衡条件,A、C 二处水平方向的约束力与外力平衡,同时应用对称 性,这二处的约束力大小相等、方向相同。于是,拆开后的半圆环的受力如图 b 所示。 0xF =∑ , N N N N0 2 ,A C A C FF F F F F+ − = = = 于是,A、B 截面的内力分量分别为: 2N FF A = , 0Q =AF , 0AM = 0N =BF , Q 2B FF = , RFM B 2= 。 所以,正确答案是 C 。 12-4 闭口圆环在三个等分点 C、D、E 处,承受环绕杆轴线转动的外力偶如图所示。关 于 A、B 两截面上内力分量数值,有以下四种结论,试分析哪一种是正确的。 (A) 0QQ == BA FF , 0NN == BA FF , 3( / 3)A BM M M= = ; (B)需解超静定才能确定; (C) 0QQ == BA FF , 0NN == BA FF ,MA 、MB需解超静定才能确定; (D) BABA FFFF NNQQ === ,但需解超静定才能确定具体数值, 2 MMM BA == 。 正确答案是 A 。 解:这是平面结构承受平面外载荷作用的情形,在结构平面内没有外载荷作用,所以 6 (a) (b) 习题 12-5 图 结构平面内的所有内力分量均为零。 AE、BD 为对称面,从 A、B 二处将结构截出三分之一,如图所示。 应用力偶矩矢量判断力偶的对称性:两力偶矩矢量若为反对称,其对应的的力偶则相 互对称;反之,如果两力偶矩矢量是对称的,其所对应的力偶则是反对称的。 据此,作用在截开部分上的外力偶 M,可以分为两大小相等方向相同的两个力偶(M /2)这两个力偶矩矢量是反对称的,所以两个力偶(M/2)是对称的。 应用对称性,在对称面 A、B 上只有对称的内力分量即弯矩,二者大小相等, BA MM = , 矢量方向如图所示(力偶矩矢反对称),应用力矩矢量平衡条件,有 MM A =°60sin2 , MMM BA 3 3== 。 12-5 三根长度为 l、横截面面积为 A、材料均为线弹性的直杆,在 A、B、C、D 四处 铰结成图示的结构,F、l、E、A 等已知。试用卡氏定理确定各杆的拉力。 解:解除 B 处的约束,使结构变成静定的,即静定基本系统;然后,在解除约束处加 上多余约束力 FRB ,应用对称性,由 0=∑ yF , 2 2)( R3N1N BFFFF −== , BFF R2N = 7 (a) (b) 习题 12-6 图 2 2 R 3N R 1N −=∂ ∂=∂ ∂ BB F F F F , 1 R 2N =∂ ∂ BF F 应用卡氏定理(内力分量形式)建立变形协调条件 0 R ε =∂ ∂ BF V ( ) ε N1 N1 N3 N3 N2 N2 0 0 0 R R R R R R d d d 2 2 2 1 0 2 2 l l l B B B B B B V F F F F F Fx x x F EA F EA F EA F F F Fl l EA EA ∂ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞−= − ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 由此解得 2R FF B = 代入平衡方程后,得到 FFF 4 2 3N1N == (拉), 22N FF = (拉) 12-6 超静定平面刚架承受载荷如图所示。若忽略轴力和剪力影响,试用卡氏定理确定 其约束力。 解:此为一次静不定结构,解除 D 处的约束,使之变成静定的,即静定基本系统,如 图 b 所示。分段写弯矩方程并对多余约束力求偏导数 1R11 )( xFxM D= , 1 R 1 x F M D =∂ ∂ lFxM DR22 )( = , lF M D =∂ ∂ R 2 )()( 3P3R33 xlFxFxM D −−= , 3 R 3 x F M D =∂ ∂ 应用卡氏定理,建立变形协调条件 0Dx∆ = 。 ( ) ( ) ( ) 31 21 1 1 2 2 2 3 3 30 0 0 R R R 1 d d d l l l Dx D D D MM MM x x M x x M x x EI F F F ∆ ⎡ ⎤∂∂ ∂= + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 8 (a) (b) (c) 习题 12-7)图 ( )( )2 2R 1 1 R 2 R 3 P 3 3 30 0 0 3 3 R P 1 d d d 1 5 1 0 3 6 l l l D D D D F x x F l x F x F l x x x EI F l F l EI ⎡ ⎤= + + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 由此解得: 103 5 6 1 P PR F FF D == (→) 考虑静定基本系统平衡,得到全部约束力 PRP 10 11 FFFF DAx =+= (←) lFlFM A PP =⋅= (逆) 12-7 平面刚架各杆的刚度都相同,所受载荷如图所示。若忽略轴力和剪力影响,试用 图乘法确定其约束力,并画出弯矩图,确定绝对值最大的弯矩值及其所在横截面。 9 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 习题 12-7(a)解的图-1 题(a) 解:此为 1 次静不定问题,将 B 处的水平约束作为多余约束,解除多余约束, 得到静定基本系统。在静定基本系统上加上载荷以及多余约束力,得到相当系统如图 b 所示。 为了使两个系统完全相当,必须使相当系统在 B 处的水平位移等于零。于是,变形协 调条件为 0Bx∆ = P1 11 1 0FX δ ∆+ = (a) 利用图乘法求其中的位移,作用在静定基本系统上的载荷(图 c)以及沿这多余约束力 方向施加的单位力(图 e)所产生的弯矩图分别如图 d 和 f 所示。据此,可以求得: EI llll EI 3 2 3 2 2 12 3 11 =⋅⋅=δ P 2 4 1 1 2 2 3 8 2 2 24F ql l l ql EI EI ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 代入式(a) 10 (g) (h) 习题 12-7(a 解的)图-2 P 3 4 11 1 1 1 2 0 3 24F l qlX X EI EI δ ∆+ = + = 由此解得: 4 1 3 24 2 16 3 ql qlEIX l EI = − = − (b) 负号表示实际方向与图 b 中所设方向相反。 考察相当系统的整体平衡,可以求得全部约束力: 7 16By qlF = (↑) 16Ax qlF = (→) 9 16Ay qlF = (↑) 静不定系统的剪力图和弯矩图分别如 g 和 h 所示。 最大弯矩 2 2 max 1 9 9 49 16 2 16 16 512 ql qlM ql l= − + × × = 题(b)解:此为 2 次静不定问题,将 A、B 二处的约束作为多余约束,将其解除,得 到静定基本系统。在静定基本系统上加上载荷以及多余约束力,得到相当系统如图 b 所示。 为了使两个系统完全相当,必须使相当系统在 A 处的水平位移以及 B 处的铅垂位移都 等于零。于是,变形协调条件为 P P 1 11 2 12 1 1 21 2 22 2 0 0 F F X X X X δ δ ∆ δ δ ∆ + + = ⎫⎪⎬+ + = ⎪⎭ (a) 11 (a) (b) 习题 12-7 (b) 解的图-1 利用图乘法求其中的位移,作用在静定基本系统上的载荷(图 c)以及沿多余约束力 X1 和 X2 方向施加的单位力(图 e 和 g)所产生的弯矩图分别如图 f 和 h 所示。据此,可以求得: 3 11 1 1 2 4 2 3 3 ll l l l l l EI EI δ ⎛ ⎞= × × + × × =⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 12 1 1 2 2 ll l l EI EI δ ⎛ ⎞= − × × = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 1221 δδ = 3 13 1 1 2 2 3 3 ll l l EI EI δ ⎛ ⎞= × × =⎜ ⎟⎝ ⎠ P 2 4 1 1 1 3 2 6F ql qll l EI EI ∆ ⎛ ⎞= × × × =⎜ ⎟⎝ ⎠ P 2 4 2 1 1 3 3 2 4 8F ql qll l EI EI ∆ ⎛ ⎞= − × × × = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 将上述位移代入变形协调方程,解得 A、B 二处的多余约束力: 1 28 qlX = (←) 2 3 7 X ql= (↑) 12 再以相当系统作为平衡对象,即可求得全部约束力: 28Cx qlF = (→) 4 7Cy F ql= (↑) 2 2 1 2 3 2 28C qlM l X l X ql= − − × + × = − (逆时针方向) 据此,可以画出剪力图和弯矩图,分别如图 i 和 j 所示。极值点弯矩 (c) (d) (e) (f) (g) (h) 习题 12-7 (b) 解的图-2 13 (a) (b) 习题 12-7(d)解的图-1 2 21 3 3 11 28 2 7 7 196 qlM ql l ql= − + × × = 最大弯矩发生在固定端处横截面上 2 2 max 1 3 3 1 4 3 28 2 7 7 2 7 28 qlM ql l ql l ql= − + × × − × = 题(c)解:此为 1 次静不定问题,将 B 处的水平约束作为多余约束,解除多余约束, 得到静定基本系统。在静定基本系统上加上载荷以及多余约束力,得到相当系统如图 b 所示。 为了使两个系统完全相当,必须使相当系统在 B 处的水平位移等于零。于是,变形协 调条件为 0Bx∆ = P1 11 1 0FX δ ∆+ = (a) 利用图乘法求其中的位移,作用在静定基本系统上的载荷(图 c)以及沿这多余约束力 方向施加的单位力(图 e)所产生的弯矩图分别如图 d 和 f 所示。据此,可以求得: (i) (j) 习题 12-7 (b) 解的图-3 14 (c) (d) (e) (f) 习题 12-7(d)解的图-2 3 11 1 1 2 23 2 3 ll l l l l l EI EI δ ⎛ ⎞= × × × + × × =⎜ ⎟⎝ ⎠ P 4 2 1 1 1 22 2 3 2 3F l qlql l EI EI ∆ −⎛ ⎞= − × × × =⎜ ⎟⎝ ⎠ 代入式(a),得到 3 4 1 2 2 0 3 l qlX EI EI − = 由此解出 1 3 qlX = (←) 考察相当系统的整体平衡,可以求得全部约束力: ql qlqlFAx 3 5 3 2 =−= (←) 22 3 5 3 2 qlqllqlM A =⋅−= (顺时针方向) 0AyF = 15 (a) (b) 习题 12-8 图-1 (g) (h) 习题 12-7(d)解的图-3 静不定系统的剪力图和弯矩图分别如 g 和 h 所示。 最大弯矩 2 max 5 3 M ql= 极值点的弯矩值 2 5 18 M ql= , 12-8 各杆弯曲刚度均为 EI 的平面刚架承受载荷如图所示,且已知 FP、l、EI。试利用 对称性或反对称性: 1.确定支座处的约束力; 2.绘制弯矩图; 3.求加力点 E 的水平位移。 解:1、解静不定问题,确定支座处的约束力 图示结构中,两个固定端约束将产生 6 个约束力,但是,平面力系只有 3 个独立的平 衡方程,6-3=3,所以这是一个 3 次静不定结构。 应用反对称性-结构是对称的,外加的载荷 FP可以分解为两个 FP/2,这样载荷便是反 对称的。对称结构承受反对称载荷时,其变形、约束力以及内力都是反对称的,因此在对称 面上将只有反对称的内力分量,亦即所有对称的内力分量均为零。 于是,用假想截面将结构从对称面处截开,得到两个静定的刚架,以次作为静定基本 16 系统。在静定基本系统上施加载荷和多余约束力,这时的多余约束力不是外力,而是对称面 上的反对称内力分量-剪力,用 X1表示。由此得到相当系统如图 b 所示。 为了使相当系统与原来的静不定结构完全相当,在截开处,对称面左右两侧截面的相 对转角必须等于零,即: P1 11 1 0FX δ ∆+ = (a) (c) (d) (e) (f) 习题 12-8 图-2 根据载荷作用在相当系统(图 c)上引起的弯矩图(图 d),以及作用在多余约束力方向 17 的单位力(图 e)引起弯矩图(图 f),应用图乘法,得到 3 11 1 1 2 7 2 2 2 3 2 2 2 24 l l l l l ll EI EI δ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= × × × + × =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ 3 P P 1P 1 1 2 2 2 8 F l F lll EI EI ∆ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ 代入式(a),有 33 P 1 7 0 24 8 F llX EI EI − = 由此解出 1 P 3 7 X F= 最后,考察相当系统(图 b)的平衡,即可求得全部未知约束力: 2 PFFAx = (←), 1 P 3 7Ay F X F= = (↓) P P P 3 2 2 7 2 7A F l lM F F l= − × = (逆时针方向) 固定端 B 处的约束力与 A 处的约束力大小相等、方向相反。 2、画弯矩图 根据所求出的多余约束力以及作用在相当系统上的外载荷,比较容易画出对称面两侧 静定结构的弯矩图,如图 g 所示。 (g) 习题 12-8 图-3 3、确定 E 截面的水平位移 为了确定 E 截面的水平位移,采用单位载荷和图乘法。 单位力可以施加在原来的静不定结构上,将上面所得到弯矩图与单位力引起的弯矩图 相乘,即可得到所需要的结果。对于本题而言,因为单位力的位置与方向与外加载荷完全相 同,所以只要令载荷弯矩图中的 FP=1,即可得到单位力引起的弯矩图。 但是,如果的不是 E 截面的水平位移,为了画出单位力引起的弯矩图就需要再一 次求解静不定问题,显然这是一个复杂过程。 因为相当系统与原来的静不定结构的受力与变形完全相当,所以两个系统在同一点的 位移当然也是相同的。根据这一点,单位力可以不必施加在原来的静不定结构上,而只需要 施加在,静定基本系统上。 对于本题,单位力可以施加在,从对称面截开后得到的两个静定刚架中的任意一个上。 基于此,我们将单位力施加在做侧的静定刚架上。作用在这一侧刚架上的载荷、多余 约束力以及单位力(图 h)引起的弯矩图示于图 i 中。 18 (h) (i) 习题 12-8 图-4 应用图乘法求得 E 截面的水平位移为: ( ) 3P P P31 1 2 2 2 3 14 12Ex F l F l F ll l l l EI EI ∆ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= × × × − × = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (←) 上一章 返回总目录 下一章
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