第12章 简单的静不定系统
1
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材料力学习题详细解答
教师用书
(第 12 章)
2006-01-18
范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室
FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio
2
习题 12-1 习题 12-2
习题 12-3 习题 12-4
习题 12-5 习题 12-6
习题 12-7 习题 12...
1
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(第 12 章)
2006-01-18
范 钦 珊 教 育 教 学 工 作 室
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习题 12-1 习题 12-2
习题 12-3 习题 12-4
习题 12-5 习题 12-6
习题 12-7 习题 12-8
3
习题 12-1 图
(a)
(b)
习题 12-2 图
材料力学习题详细解答之十二
第 12 章 简单的静不定系统
12-1 关于求解图 a 所示的超静定结构,解除多余约束有图 b、c、d、e 所示四种选择,
试判断下列结论中哪一种是正确的。
(A)b、c、d 都正确;
(B)b、d 正确;
(C)b、c、e 正确;
(D)仅 e 是正确的。
解:正确答案是 D 。
12-2 两个弯曲刚度 EI 相同、半径为 R 的半圆环,在 A、C 两处铰链连接,加力方式
如图所示。关于 A、B 两处截面上的内力分量的绝对值,有如下四种结论,试分析哪一种是
正确的。
4
(a) (b)
习题 12-3 图
(A) FF A =Q , 0=AM , FF B =N , FRM B = ;
(B) FF A =Q , 0=AM , 2N
FF B = , 2
FRM B = ;
(C)
2Q
FF A = , 0=AM , FF B =N , FRM B = ;
(D)
2Q
FF A = , 0=AM , 2N
FF B = , 2
FRM B = 。
解:从铰链处拆开,根据铰链的约束性质,应该有两个约束力-水平方向与铅垂方向,
但是根据对称性,只能有对称的约束力,这表明水平约束力必须等于零。
再应用铅垂方向的平衡条件,因为铅垂方向没有外力作用,所以,铅垂方向的约束力也
变形等于零。
于是,拆开后的半圆环的受力如图 b 所示。A、B 截面的内力分量分别为:
0=AM , 2Q
FF A =
0=∑ xF ,
2QN
FFF AB ==
0=∑ BM ,
RFM B ⋅= 2
所以,正确答案是 D 。
12-3 两个弯曲刚度 EI 相同,半径为 R 的半圆环,在 A、C 两处铰接。关于在图示受
力情形下 A、B 两处截面上的内力分量数值有以下四种结论,试分析哪一种是正确的。
(A) 2/N FF A = , 0=AM , 2N
FF B = ,FQA、FNB、MB需求解超静定才能确定;
(B) 2/N FF A = , πQ
FF A = , π
FM A = , πN
FF B = , 2Q
FF B = , RFFM B )π2( −= ;
(C) 2N
FF A = , 0Q =AF , 0=AM , N 0BF = , 2Q
FF B = , 2
FRM B = ;
(D) 2QNQN
FFFFF BBAA ==== , 0== BA MM 。
5
(a)
(b)
习题 12-4 图
解:从铰链处拆开,根据铰链的约束性质,应该有两个约束力-水平方向与铅垂方向,
但是根据对称性,只能有对称的约束力,这表明铅垂方向约束力必须等于零。
再应用水平方向的平衡条件,A、C 二处水平方向的约束力与外力平衡,同时应用对称
性,这二处的约束力大小相等、方向相同。于是,拆开后的半圆环的受力如图 b 所示。
0xF =∑ ,
N N N N0 2
,A C A C
FF F F F F+ − = = =
于是,A、B 截面的内力分量分别为:
2N
FF A = , 0Q =AF , 0AM =
0N =BF , Q 2B
FF = , RFM B 2= 。
所以,正确答案是 C 。
12-4 闭口圆环在三个等分点 C、D、E 处,承受环绕杆轴线转动的外力偶如图所示。关
于 A、B 两截面上内力分量数值,有以下四种结论,试分析哪一种是正确的。
(A) 0QQ == BA FF , 0NN == BA FF , 3( / 3)A BM M M= = ;
(B)需解超静定才能确定;
(C) 0QQ == BA FF , 0NN == BA FF ,MA 、MB需解超静定才能确定;
(D) BABA FFFF NNQQ === ,但需解超静定才能确定具体数值, 2
MMM BA == 。
正确答案是 A 。
解:这是平面结构承受平面外载荷作用的情形,在结构平面内没有外载荷作用,所以
6
(a)
(b)
习题 12-5 图
结构平面内的所有内力分量均为零。
AE、BD 为对称面,从 A、B 二处将结构截出三分之一,如图所示。
应用力偶矩矢量判断力偶的对称性:两力偶矩矢量若为反对称,其对应的的力偶则相
互对称;反之,如果两力偶矩矢量是对称的,其所对应的力偶则是反对称的。
据此,作用在截开部分上的外力偶 M,可以分为两大小相等方向相同的两个力偶(M
/2)这两个力偶矩矢量是反对称的,所以两个力偶(M/2)是对称的。
应用对称性,在对称面 A、B 上只有对称的内力分量即弯矩,二者大小相等, BA MM = ,
矢量方向如图所示(力偶矩矢反对称),应用力矩矢量平衡条件,有
MM A =°60sin2 ,
MMM BA 3
3== 。
12-5 三根长度为 l、横截面面积为 A、材料均为线弹性的直杆,在 A、B、C、D 四处
铰结成图示的结构,F、l、E、A 等已知。试用卡氏定理确定各杆的拉力。
解:解除 B 处的约束,使结构变成静定的,即静定基本系统;然后,在解除约束处加
上多余约束力 FRB ,应用对称性,由
0=∑ yF ,
2
2)( R3N1N BFFFF −== , BFF R2N =
7
(a) (b)
习题 12-6 图
2
2
R
3N
R
1N −=∂
∂=∂
∂
BB F
F
F
F
, 1
R
2N =∂
∂
BF
F
应用卡氏定理(内力分量形式)建立变形协调条件
0
R
ε =∂
∂
BF
V
( )
ε N1 N1 N3 N3 N2 N2
0 0 0
R R R R
R R
d d d
2 2 2 1 0
2 2
l l l
B B B B
B B
V F F F F F Fx x x
F EA F EA F EA F
F F Fl l
EA EA
∂ ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂
⎛ ⎞−= − ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
由此解得
2R
FF B =
代入平衡方程后,得到
FFF
4
2
3N1N == (拉), 22N
FF = (拉)
12-6 超静定平面刚架承受载荷如图所示。若忽略轴力和剪力影响,试用卡氏定理确定
其约束力。
解:此为一次静不定结构,解除 D 处的约束,使之变成静定的,即静定基本系统,如
图 b 所示。分段写弯矩方程并对多余约束力求偏导数
1R11 )( xFxM D= , 1
R
1 x
F
M
D
=∂
∂
lFxM DR22 )( = , lF
M
D
=∂
∂
R
2
)()( 3P3R33 xlFxFxM D −−= , 3
R
3 x
F
M
D
=∂
∂
应用卡氏定理,建立变形协调条件 0Dx∆ = 。
( ) ( ) ( ) 31 21 1 1 2 2 2 3 3 30 0 0
R R R
1 d d d
l l l
Dx
D D D
MM MM x x M x x M x x
EI F F F
∆ ⎡ ⎤∂∂ ∂= + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦∫ ∫ ∫
8
(a)
(b) (c)
习题 12-7)图
( )( )2 2R 1 1 R 2 R 3 P 3 3 30 0 0
3 3
R P
1 d d d
1 5 1 0
3 6
l l l
D D D
D
F x x F l x F x F l x x x
EI
F l F l
EI
⎡ ⎤= + + − −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
由此解得:
103
5
6
1 P
PR
F
FF D == (→)
考虑静定基本系统平衡,得到全部约束力
PRP 10
11 FFFF DAx =+= (←)
lFlFM A PP =⋅= (逆)
12-7 平面刚架各杆的刚度都相同,所受载荷如图所示。若忽略轴力和剪力影响,试用
图乘法确定其约束力,并画出弯矩图,确定绝对值最大的弯矩值及其所在横截面。
9
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
习题 12-7(a)解的图-1
题(a) 解:此为 1 次静不定问题,将 B 处的水平约束作为多余约束,解除多余约束,
得到静定基本系统。在静定基本系统上加上载荷以及多余约束力,得到相当系统如图 b 所示。
为了使两个系统完全相当,必须使相当系统在 B 处的水平位移等于零。于是,变形协
调条件为
0Bx∆ =
P1 11 1
0FX δ ∆+ = (a)
利用图乘法求其中的位移,作用在静定基本系统上的载荷(图 c)以及沿这多余约束力
方向施加的单位力(图 e)所产生的弯矩图分别如图 d 和 f 所示。据此,可以求得:
EI
llll
EI 3
2
3
2
2
12 3
11 =⋅⋅=δ
P
2 4
1
1 2 2
3 8 2 2 24F
ql l l ql
EI EI
∆ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
代入式(a)
10
(g) (h)
习题 12-7(a 解的)图-2
P
3 4
11 1 1 1
2 0
3 24F
l qlX X
EI EI
δ ∆+ = + =
由此解得:
4
1 3
24
2 16
3
ql
qlEIX
l
EI
= − = − (b)
负号表示实际方向与图 b 中所设方向相反。
考察相当系统的整体平衡,可以求得全部约束力:
7
16By
qlF = (↑)
16Ax
qlF = (→)
9
16Ay
qlF = (↑)
静不定系统的剪力图和弯矩图分别如 g 和 h 所示。 最大弯矩
2 2
max
1 9 9 49
16 2 16 16 512
ql qlM ql l= − + × × =
题(b)解:此为 2 次静不定问题,将 A、B 二处的约束作为多余约束,将其解除,得
到静定基本系统。在静定基本系统上加上载荷以及多余约束力,得到相当系统如图 b 所示。
为了使两个系统完全相当,必须使相当系统在 A 处的水平位移以及 B 处的铅垂位移都
等于零。于是,变形协调条件为
P
P
1 11 2 12 1
1 21 2 22 2
0
0
F
F
X X
X X
δ δ ∆
δ δ ∆
+ + = ⎫⎪⎬+ + = ⎪⎭
(a)
11
(a)
(b)
习题 12-7 (b) 解的图-1
利用图乘法求其中的位移,作用在静定基本系统上的载荷(图 c)以及沿多余约束力 X1 和
X2 方向施加的单位力(图 e 和 g)所产生的弯矩图分别如图 f 和 h 所示。据此,可以求得:
3
11
1 1 2 4
2 3 3
ll l l l l l
EI EI
δ ⎛ ⎞= × × + × × =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
12
1 1
2 2
ll l l
EI EI
δ ⎛ ⎞= − × × = −⎜ ⎟⎝ ⎠
1221 δδ =
3
13
1 1 2
2 3 3
ll l l
EI EI
δ ⎛ ⎞= × × =⎜ ⎟⎝ ⎠
P
2 4
1
1 1
3 2 6F
ql qll l
EI EI
∆ ⎛ ⎞= × × × =⎜ ⎟⎝ ⎠
P
2 4
2
1 1 3
3 2 4 8F
ql qll l
EI EI
∆ ⎛ ⎞= − × × × = −⎜ ⎟⎝ ⎠
将上述位移代入变形协调方程,解得 A、B 二处的多余约束力:
1 28
qlX = (←)
2
3
7
X ql= (↑)
12
再以相当系统作为平衡对象,即可求得全部约束力:
28Cx
qlF = (→)
4
7Cy
F ql= (↑)
2
2
1 2
3
2 28C
qlM l X l X ql= − − × + × = − (逆时针方向)
据此,可以画出剪力图和弯矩图,分别如图 i 和 j 所示。极值点弯矩
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
习题 12-7 (b) 解的图-2
13
(a) (b)
习题 12-7(d)解的图-1
2
21 3 3 11
28 2 7 7 196
qlM ql l ql= − + × × =
最大弯矩发生在固定端处横截面上
2
2
max
1 3 3 1 4 3
28 2 7 7 2 7 28
qlM ql l ql l ql= − + × × − × =
题(c)解:此为 1 次静不定问题,将 B 处的水平约束作为多余约束,解除多余约束,
得到静定基本系统。在静定基本系统上加上载荷以及多余约束力,得到相当系统如图 b 所示。
为了使两个系统完全相当,必须使相当系统在 B 处的水平位移等于零。于是,变形协
调条件为
0Bx∆ =
P1 11 1
0FX δ ∆+ = (a)
利用图乘法求其中的位移,作用在静定基本系统上的载荷(图 c)以及沿这多余约束力
方向施加的单位力(图 e)所产生的弯矩图分别如图 d 和 f 所示。据此,可以求得:
(i) (j)
习题 12-7 (b) 解的图-3
14
(c) (d)
(e) (f)
习题 12-7(d)解的图-2
3
11
1 1 2 23
2 3
ll l l l l l
EI EI
δ ⎛ ⎞= × × × + × × =⎜ ⎟⎝ ⎠
P
4
2
1
1 1 22 2
3 2 3F
l qlql l
EI EI
∆ −⎛ ⎞= − × × × =⎜ ⎟⎝ ⎠
代入式(a),得到
3 4
1
2 2 0
3
l qlX
EI EI
− =
由此解出
1 3
qlX = (←)
考察相当系统的整体平衡,可以求得全部约束力:
ql
qlqlFAx 3
5
3
2 =−= (←)
22
3
5
3
2 qlqllqlM A =⋅−= (顺时针方向)
0AyF =
15
(a) (b)
习题 12-8 图-1
(g) (h)
习题 12-7(d)解的图-3
静不定系统的剪力图和弯矩图分别如 g 和 h 所示。 最大弯矩
2
max
5
3
M ql=
极值点的弯矩值
2
5
18
M ql= ,
12-8 各杆弯曲刚度均为 EI 的平面刚架承受载荷如图所示,且已知 FP、l、EI。试利用
对称性或反对称性:
1.确定支座处的约束力;
2.绘制弯矩图;
3.求加力点 E 的水平位移。
解:1、解静不定问题,确定支座处的约束力
图示结构中,两个固定端约束将产生 6 个约束力,但是,平面力系只有 3 个独立的平
衡方程,6-3=3,所以这是一个 3 次静不定结构。
应用反对称性-结构是对称的,外加的载荷 FP可以分解为两个 FP/2,这样载荷便是反
对称的。对称结构承受反对称载荷时,其变形、约束力以及内力都是反对称的,因此在对称
面上将只有反对称的内力分量,亦即所有对称的内力分量均为零。
于是,用假想截面将结构从对称面处截开,得到两个静定的刚架,以次作为静定基本
16
系统。在静定基本系统上施加载荷和多余约束力,这时的多余约束力不是外力,而是对称面
上的反对称内力分量-剪力,用 X1表示。由此得到相当系统如图 b 所示。
为了使相当系统与原来的静不定结构完全相当,在截开处,对称面左右两侧截面的相
对转角必须等于零,即:
P1 11 1
0FX δ ∆+ = (a)
(c)
(d)
(e)
(f)
习题 12-8 图-2
根据载荷作用在相当系统(图 c)上引起的弯矩图(图 d),以及作用在多余约束力方向
17
的单位力(图 e)引起弯矩图(图 f),应用图乘法,得到
3
11
1 1 2 7
2 2 2 3 2 2 2 24
l l l l l ll
EI EI
δ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= × × × + × =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
3
P P
1P
1 1
2 2 2 8
F l F lll
EI EI
∆ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − × × = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
代入式(a),有
33
P
1
7 0
24 8
F llX
EI EI
− =
由此解出
1 P
3
7
X F=
最后,考察相当系统(图 b)的平衡,即可求得全部未知约束力:
2
PFFAx = (←),
1 P
3
7Ay
F X F= = (↓)
P P P
3 2
2 7 2 7A
F l lM F F l= − × = (逆时针方向)
固定端 B 处的约束力与 A 处的约束力大小相等、方向相反。
2、画弯矩图
根据所求出的多余约束力以及作用在相当系统上的外载荷,比较容易画出对称面两侧
静定结构的弯矩图,如图 g 所示。
(g)
习题 12-8 图-3
3、确定 E 截面的水平位移
为了确定 E 截面的水平位移,采用单位载荷和图乘法。
单位力可以施加在原来的静不定结构上,将上面所得到弯矩图与单位力引起的弯矩图
相乘,即可得到所需要的结果。对于本题而言,因为单位力的位置与方向与外加载荷完全相
同,所以只要令载荷弯矩图中的 FP=1,即可得到单位力引起的弯矩图。
但是,如果
的不是 E 截面的水平位移,为了画出单位力引起的弯矩图就需要再一
次求解静不定问题,显然这是一个复杂过程。
因为相当系统与原来的静不定结构的受力与变形完全相当,所以两个系统在同一点的
位移当然也是相同的。根据这一点,单位力可以不必施加在原来的静不定结构上,而只需要
施加在,静定基本系统上。
对于本题,单位力可以施加在,从对称面截开后得到的两个静定刚架中的任意一个上。
基于此,我们将单位力施加在做侧的静定刚架上。作用在这一侧刚架上的载荷、多余
约束力以及单位力(图 h)引起的弯矩图示于图 i 中。
18
(h)
(i)
习题 12-8 图-4
应用图乘法求得 E 截面的水平位移为:
( ) 3P P P31 1 2
2 2 3 14 12Ex
F l F l F ll l l l
EI EI
∆ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= × × × − × = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (←)
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