离心率材料(3)求解圆锥曲线离心率的取值范围
离心率材料(3)
求解圆锥曲线离心率的取值范围
求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点,也是一个难点,求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围.
一、直接根据题意建立
不等关系求解. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例1:(08湖南)若双曲线
(a>0,b>0)上横坐标为
的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2)
B.(2,+
)
C.(1,5)
D. (5,+
)
解析 由题意可知
即
解得
故选B.
(07北京)椭圆
的焦...
离心率材料(3)
求解圆锥曲线离心率的取值范围
求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点,也是一个难点,求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围.
一、直接根据题意建立
不等关系求解. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例1:(08湖南)若双曲线
(a>0,b>0)上横坐标为
的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2)
B.(2,+
)
C.(1,5)
D. (5,+
)
解析 由题意可知
即
解得
故选B.
(07北京)椭圆
的焦点为
,
,两条准线与
轴的交点分别为
,若
,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意得
∴
故选D.
二、借助平面几何关系建立
不等关系求解
例2:(07湖南)设
分别是椭圆
(
)的左、右焦点,若在其右准线上存在
使线段
的中垂线过点
,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
分析 通过题设条件可得
,求离心率的取值范围需建立不等关系,如何建立?
解析:∵线段
的中垂线过点
, ∴
,又点P在右准线上,∴
即
∴
∴
,故选D.
点评 建立不等关系是解决问题的难点,而借助平面几何知识相对来说比较简便.
三、利用圆锥曲线相关性质建立
不等关系求解.
例3:(2008福建)双曲线
(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为
A.(1,3)
B.
C.(3,+
)
D.
分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系,题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢?
解析:∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|(|PF2|=|PF2|=
,|PF2|
即
∴
所以双曲线离心率的取值范围为
,故选B.
点评:本题建立不等关系是难点,如果记住一些双曲线重要结论(双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于
)则可建立不等关系使问题迎刃而解.
例4:(04重庆)已知双曲线
的左,右焦点分别为
,点P在双曲线的右支上,且
,则此双曲线的离心率e的最大值为:( )
A
B
C
D
∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1|(|PF2|=3|PF2|=
,|PF2|
即
∴
所以双曲线离心率的取值范围为
,故选B.
【练一练】已知
,
分别为
的左、右焦点,P为双曲线右支上任一点,若
的最小值为
,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A
B
C
D
解析
,欲使最小值为
,需右支上存在一点P,使
,而
即
所以
.
例5:已知椭圆
右顶为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且OP垂直于PA,求椭圆的离心率e的取值范围。
解:设P点坐标为(
),则有
消去
得
若利用求根
求
运算复杂,应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知
由
得
例6:椭圆
:
的两焦点为
,椭圆上存在点
使
. 求椭圆离心率
的取值范围;
解析 设
……①
将
代入①得
求得
.
点评:
中
,是椭圆中建立不等关系的重要依据,在求解参数范围问题中经常使用,应给予重视.
四、运用数形结合建立
不等关系求解
例7:(06福建)已知双曲线
的右焦点为F,若过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是
(A)
(B)
(C)
(D)
解析 欲使过点F且倾斜角为
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
,∴
≥
,即
即
∴
即
故选C.
五、运用函数思想求解离心率
例8:(08全国卷Ⅱ)设
,则双曲线
的离心率e的取值范围是
A.
B.
C.
D.
解析:由题意可知
∵
∴
∴
,故选B.
六、运用判别式建立不等关系求解离心率
例9:在椭圆
上有一点M,
是椭圆的两个焦点,若
,求椭圆的离心率.
解析: 由椭圆的定义,可得
又
,所以
是方程
的两根,由
, 可得
,即
所以
,所以椭圆离心率的取值范围是
例10:(04全国Ⅰ)设双曲线C:
相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围:
解析 由C与
相交于两个不同的点,故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ①
所以
解得
双曲线的离心率
EMBED Equation.DSMT4 ∴
所以双曲线的离心率取值范围是
总结:在求解圆锥曲线离心率取值范围时,一定要认真分析题设条件,合理建立不等关系,把握好圆锥曲线的相关性质,记住一些常见结论、不等关系,在做题时不断总结,择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.
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