离心率材料（1）椭圆离心率的解法

离心率材料（1） 椭圆离心率的解法 椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们没有方向性。型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。 1、 运用几何图形中线段的几何意义。 基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e， 则①e= EQ \f(｜PF｜,｜PD｜)②e= EQ \f(｜QF｜,｜BF｜)③e= EQ \f(｜AO｜,｜BO｜)④e= EQ \f(｜AF｜,｜BA｜)⑤e= EQ \f(｜FO｜,｜AO｜) 评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。 ∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜= EQ \f(a2 ,c)∴有③。 题目1：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ 思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜= EQ \r(,3)cc+ EQ \r(,3)c=2a ∴e= EQ \f(c , a )= EQ \r(,3)-1 变形1：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e= EQ \r(,3)-1 变形2: 椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= EQ \f(,) EQ \f(b2 , a) ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥AB ∴ EQ \f(｜PF1｜ , ｜F2 F1｜)= EQ \f(b,a ) 又 ∵b= EQ \r(,a2-c2 )∴a2=5c2 e=EQ \r(,5) EQ \f(,5) 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 题目2：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90，求e? 解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜= EQ \r(,a2+b2 ) a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=EQ \r(,5) EQ \f(-1+ ,2) e=EQ \r(,5) EQ \f(-1-,2) (舍去) 变形：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(a>b >0)，e=EQ \r(,5) EQ \f(-1+ ,2) , A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。 ：90° 引申：此类e=EQ \r(,5) EQ \f(-1,2) 的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。 总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。 题目3：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e? 解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m 在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得： ADVANCE \u 3 EQ \B\lc\{(\a\al(a2 –c2=m(2a-c), 2(a2-c2)=m(2a+c) ,)) 两式相除 EQ \f(：2a-c, 2a+c) =e= EQ \f(2,3) 题目4：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e? 分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。 解：由正弦定理： EQ \f(｜F1F2｜,sin F1PF2 ) = EQ \f(｜F1P｜,sin F1F2P ) = EQ \f(｜PF2｜,sin PF1F2 ) 根据和比性质： EQ \f(｜F1F2｜,sin F1PF2 )= EQ \f(｜F1P｜+｜PF2｜, sinF1F2P+sin PF1F2 ) 变形得： EQ \f( ｜F1F2｜ , ｜PF2｜+｜F1P｜ ) = EQ \f(sin F1PF2 ,sin F1F2P +sin PF1F2 )= = EQ \f(2c ,2a )=e ∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e= EQ \f( sin90°, sin75°+sin15° ) =EQ \r(,6) EQ \f(,3) 点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e= EQ \f(sin F1PF2 ,sin F1F2P +sin PF1F2 ) 变形1：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点， 且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。 解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α e= EQ \f(sin F1PF2 ,sin F1F2P +sin PF1F2 )= EQ \f( sin60° ,sinα+sin(120°-α) )= EQ \f(1 ,2sin(α+30°))≥ EQ \f(1,2) ∴ EQ \f(1,2)≤e<1 变形2：已知椭圆 EQ \f(x2,4)+ EQ \f(y2 , 4t2 ) =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若 EQ \f(1,3 )b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(OA))+ EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(OB))与 EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( a))=(3,-1)共线，求e? 法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2) EQ \B\lc\{(\a\al(b2x2+a2y2=a2b2 ,y=x-c,)) (a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2= EQ \f(2a2c,a2+b2) y1+y2= EQ \f(2a2c,a2+b2)-2c= EQ \f(-2b2c,a2+b2) EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(OA))+ EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(OB))=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则-（x1+x2）=3(y1+y2)即 a2=3b2 e=EQ \r(,6) EQ \f(,3 ) 法二：设AB的中点N，则2 EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(ON))= EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(OA))+ EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(OB)) EQ \f(x12,a2) EQ \B\lc\{(\a\al(+ EQ \f(y12 , b2 ) =1 ①,, EQ \f(x22,a2)+ EQ \f(y22 , b2 ) =1 ② ,)) ① -② 得： EQ \f(y1-y2,x1-x2 )=- EQ \f(b2,a2 ) EQ \f(x1 +x2 , y1+y2) ∴1=- EQ \f(b2,a2 )(-3) 即a2=3b2 e=EQ \r(,6) EQ \f(,3 ) 4、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。 题目6：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足 EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(MF))1· EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(MF))2 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？ 分析：∵ EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(MF))1· EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(MF))2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。 解：∴c2c2 ∴0b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？ 分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e 解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P( EQ \f(a2,c ),y0 ) M(EQ \f(a2,c ) EQ \f( -c, 2 ) , EQ \f(y0 ,2 )) 即( EQ \f( b2,2c ), EQ \f(y0 ,2 )) 则 EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(PF))1 =-( EQ \f(a2,c )+c, y0 ) EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(MF))2 =-( EQ \f( b2,2c )-c, EQ \f(y0 ,2 )) EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(PF))1· EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(MF))2 =0 ( EQ \f(a2,c )+c, y0 ) ·( EQ \f( b2,2c )-c, EQ \f(y0 ,2 ))=0 ( EQ \f(a2,c )+c)·( EQ \f( b2,2c )-c)+ EQ \f(y02 ,2 )=0 a2-3c2≤0 ∴EQ \r(,3) EQ \f(,3) ≤e<1 解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c ｜PF2｜≥ EQ \f(a2,c )-c 则2c≥ EQ \f(a2,c )-c 3c≥ EQ \f(a2,c ) 3c2≥a2 则EQ \r(,3) EQ \f(,3) ≤e<1 总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。 离心率为高考的频考点，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。 D B F OBBB A P Q B A F2 F1 OOOOOOOOOOOOOOOOOOO P F1 F2 F2F22 B A F2 F1 P O F B A O B(X2,Y2) A(X1,Y1) O F2 M F1 O M P F2 F1 O PAGE 6 _1195488415.unknown