线段

线段 知识纵横 平面几何(geometry)是研究平面图形(plane figure)的性质的一门学科,主要是研究平面图形的形状、大小及位置关系。 构成平面图形的基本元素是点和线，在线中，最简单、最常见的就是线段(linesegment)、射线(ray或half line)、直线(line)，它们的概念、性质及画图是后续学习研究由线段所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形等）的基础。 几何中的线段、射线、直线等概念是从现实的相关形象中抽象而来，它们没有了实物中那些诸如宽度、硬度、颜色之类的性质，但却为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形研究。 解决与线段相关的问题，常用到中点、代数化、枚举与分类讨论等相关概念与方法。 例题求解 【例1】平面内两两相交的6条直线,其交点个数最少为_______个,最多为____个. (第12届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 画图探求,从简单情形考虑,从特殊情形考虑. 解:1 15 提示:当平面内两两相交的6条直线相交于一点,此时交点个数最少为1个;为使平面内两两相交的直线的交点个数最多,可使其任意两线相交都产生一个新的交点,即任意两条直线相交都确定一个交点,且任意三条直线都不过同一点,于是可得交点数最多为 =15(个) 【例2】如图,已知B是线段AC上的一点,M是线段AB的中点,N是线段AC的中点,P为NA的中点,Q为MA的中点,则MN:PQ等于( ). A.1 B.2 C.3 D.4 (“五羊杯”邀请赛试题) 思路点拨 利用中点(middle point),设法把MN、PQ用含相同线段的代数式表示. 解:选B 提示:MN=AN-AM,PQ=PA-QA= (AN-AM) 【例3】如图,C是线段AB的中点,D是线段AC的中点,已知图中所有线段的长度之和为23,求线段AC的长度. 思路点拨 引入未知数,通过列方程求解. 解:3 提示:设AC=x,则AD= ,AB=2x,DC= ,DB= x,CB=x, 由题意得: x+x+2x+ x+ x+x=23 【例4】摄制组从A市到B市有一天的路程,计划上午到下午多走100千米到C市吃午饭,由于堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一,过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来信息,司机说,再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了,问A、B两市相距多少千米? (“华杯赛”试题) 思路点拨 条件中只有路程,而没有给出时间与速度,所以应当集中注意于各段路程之间的关系,画线段图分析,借助图形思考. 解:600千米 提示:设小镇为D,傍晚汽车在E休息, 如图,则AD= DC,EB= CE,AD+EB= DE=200 【例5】(1)如图a,已知A、B在直线L的两侧,在L上求一点P,使PA+PB最小; (2)如图b,已知A、B在直线L的同侧,在L上求一点P,使PA+PB最小; (3)如图c,有一正方体的盒子ABCD─A1B1C1D1,在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛,而在对角的顶点C1处有一只苍蝇.蜘蛛应沿着什么路径爬行,才能在最短的时间内捕捉到苍蝇?(假设苍蝇在C1处不动) 思路点拨 联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考察特殊点等方法，化曲为直. 解:(1)连AB,AB与L的交点即为所求的P点. (2)作A关于L的对称点A′,连A′B交L于P点,即为所求的点. (3)把盒面展开,使包含点A和点C1的两个盒面在同一个平面内,如图是其中的一种,把两点之间线段最短,只要连结AC1即可,设AC1与BB1交于点B′,则AB′+B′C,就是最短路径. 学力训练 一、基础夯实 1.如图,已知B、C是线段AD上的两点,M是AB的中点,N是CD的中点,若MN=a,BC=b,则线段AD=_________. (2002年重庆市竞赛题) 2.从哈尔滨开往A市的特快列车,途中要停靠两个站点,如果任意两站间的票价都不相同,那么有______种不同的票价. (2003年黑龙江省中考题) 3.如图,AB=a,BC=b,CD=d,EF=e,以A、B、C、D、E、F为端点的所有线段长度的和为________. (“数学新蕾”邀请赛试题) 4.在同一平面内有4点,过每2点画一条直线,则直线的条数是( ). A.1条 B.4条 C.6条 D.1条或4条或6条 5.如图,若C是线段AB的中点,D是线段AC上的任一点(端点除外),则( ). A.AD·DBAC·BC D.它们的大小关系不能确定 (2002年广州市中考题) 6.线段AB=1996厘米,P、Q是线段AB上的两个点,线段AQ=1200厘米,线段BP=1050厘米,则线段PQ=( )厘米. A.254 B.150 C.127 D.871 7.如图,线段AB=2BC,DA= AB,M是AD中点,N是AC中点,试比较MN和AB+NB的大小. 8.已知A、B、C三点在同一直线上,若线段AB=60,其中点为M;线段BC=20,其中点为N,求MN的长. 二、能力拓展 9.线段AB上有P、Q两点,AB=26,AP=14,PQ=11,那么BQ=_______. 10.将长为20厘米的一条线段围成一个六边形,则围成的六边形中最长边的取值范围是_________. 11.如图,C是线段AB上的一点P,D是线段CB的中点.已知图中所有线段的长度之和为23,线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数,则线段AC的长度为_______. (第11届“希望杯”邀请赛试题) 12.五位朋友a、b、c、d、e在公园聚会,见面时握手致意问候.已知:a握了4次,b握了1次,c握了3次,d握了2次.到目前为止,e握了( ). A.1 B.2 C.3 D.4 (2002年重庆市竞赛题) 13.平面内有n条直线(n≥2),这n条直线两两相交,最多可以得到a个交点,最少可以得到b个交点,则a+b的值是( ). A.n(n-1) B.n2-n+1 C. D. 14.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们之间有网线相联,连线标注的数字表示该网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,由单位时间内传递的最大信息量为( ). A.19 B.20 C.24 D.26 (2001年全国高考数学试题) 15.某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区,A区有30人,B区有15人,C区有10人.三个区在一条直线上,位置如图所示,公司的接送车打算在此间只设一个停靠点,为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少,那么停靠点的位置应在( ). A.A区 B.B区 C.C区 D.A、B两区之间 (第17届江苏省竞赛题) 16.(1)一条直线可以把平面分成两个部分(或区域),如图,两条直线可以把平面分成几个部分?三条直线可以把平面分成几个部分?试画图说明. (2)四条直线最多可以把平面分成几个部分?试画出示意图,并说明这四条直线的位置关系. (3)平面上有n条直线,每两条直线都恰好相交,且没有三条直线交于一点,处于这种位置的n条直线分一个平面所成的区域最多,记为an,试研究an与n之间的关系. (2000年山东省聊城市中考题) 17.如图,设A、B、C、D为4个居民小区,现要在四边形ABCD内建一个购物中心,试问应把购物中心建在何处,才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小?说明理由. 三、综合创新 18.一条河两岸有A、B两地,要设计一条道路,并在河上垂直于河岸架一座桥,用来连接A、B两地,问路线怎样走,桥应架在什么地方,才能使从A到B所走的路线最短? 19.在线段AB上,先在A点标注0,在B点标注2002,这称为第一次操作,然后在AB的中点C处标注 =1001,称为第二次操作;又分别在得到的线段AC、BC的中点D、E处标注对应线段两端所标注的数字和的一半,即 与 ,称为第三次操作,照此下去,那么经过11次操作之后,在线段AB上所有标注的数字的和是多少? (第13届“希望杯”邀请赛试题) 答案 1.2a+b 2.12 3.5a+8b+9c+8d+5e 4.D 5.C 6.A 提示:AQ+BC=2250>1996,所以A、P、Q、B四点位置如图所示: 7.MN>AB+NB 提示:MN=MA+AN= AB,AB+NB=AB+(CN-BC)= AB 8.MN=20或40 9.23或1 提示:分点Q在线段AP上与点Q在线段PB上两种情况讨论 10.设AB=x,则其余五条边长度的和为20-x,由 ,得 ≤x<10 11.3 提示:设AC=x,CB=y,则AD=x+ ,AB=x+y,CD= ,CB=y,DB= ,由题意得3x+ y=23. 12.C 提示:作出平面上5点,把握手用连接的线段表示. 13.D 提示:平面内n条直线两两相交,最少有一个交点,最多有 个交点. 14.A 提示:考察每条通道的最大信息量,有3+4+6+6=19. 15.A 提示:停靠点设在A、B、C三区，计算总路程分别为4500米、5000米、12000米,可排除选项B、C;设停靠点在A、B两区之间且距A区x米,则总路程为 30x+15(100-x)+10(300-x)=4500+5x>4500,又排除选项D. 16.(1)如图①,两条直线因其位置不同,可以分别把平面分成3个或4个区域;如图②,三条直线因其位置关系的不同,可以分别把平面分成4个、6个和7个区域. (2)如图③,四条直线最多可以把平面分成11个区域,此时这四条直线位置关系是两两相交,且无三线共点. (3)平面上n条直线两两相交,且没有三条直线交于一点,把平面分成an个区域,平面本身就是一个区域,当n=1时,a1=1+1=2;当n=2时,a2=1+1+2=4;当n=3时,a3=1+1+2+3=7;当n=4时,a4=1+1+2+3+4=11,… 由此可以归纳公式an=1+1+2+3+…+n=1+ = . 17.提示:应建在AC、BC连线的交点处. 18.记河的两岸为L,L′(如图),将直线L平移到L′的位置,则点A平移到A′,连结A′B 交L′于D,过D作DC⊥L于C,则桥架在CD处就可以了. 19.第一次操作的和是:0+2002=2002;第二次操作的和是:2002+1001=3003;第三次操作的和是:3003+2002=5005;第四次操作的和是:5005+4004=9009…每一次操作增加的数值是前一次操作增加数值的2倍,故经过11次操作后,数字的和为2002+1001+1001×2+1001×4+1001×8+…+1001×29=1026025. (作者不详） - 7 - _1177335164.unknown _1177335316.unknown _1177335434.unknown _1177335489.unknown _1177335524.unknown _1177335596.unknown _1177335623.unknown _1177335505.unknown _1177335476.unknown _1177335483.unknown _1177335451.unknown _1177335373.unknown _1177335396.unknown _1177335335.unknown _1177335228.unknown _1177335291.unknown _1177335212.unknown _1177334991.unknown _1177335024.unknown _1177335035.unknown _1177335008.unknown _1177334937.unknown _1177334946.unknown _1177334967.unknown _1177334895.unknown _1177334922.unknown