辅导资料：全等三角形问题中常见的辅助线的作法

全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以．这种作法，适合于线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 应用： 1、（09崇文二模）以 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt 和等腰Rt ， 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系． （1）如图① 当 为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰Rt 绕点A沿逆时针方向旋转 (0< <90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 二、截长补短 1、如图， 中，AB=2AC，AD平分 ，且AD=BD，求证：CD⊥AC 2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD 3、如图，已知在 内， ， ，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是 ， 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分 ， 求证： 5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC 应用： 三、平移变换 例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为 ，△EBC周长记为 .求证 ＞ . 例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD 2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB= ，AC= ，求AE、BE的长. 应用： 1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 五、旋转 例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数. 例2 D为等腰 斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 （1） 当 绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。 例3 如图， 是边长为3的等边三角形， 是等腰三角形，且 ，以D为顶点做一个 角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则 的周长为 ； 应用： 1、已知四边形 中， ， ， ， ， ， 绕 点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于 ． 当 绕 点旋转到 时（如图1），易证 ． 当 绕 点旋转到 时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 2、（西城09年一模）已知:PA= ,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧. (1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长; (2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小. 3、在等边 的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为 外一点，且 , ,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及 的周长Q与等边 的周长L的关系． 图1 图2 图3 （I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN= ，则Q= （用 、L示）． (第23题图) O P A M N E B C D F A C E F B D 图① 图② 图③ （图1） �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� （图2） �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� （图3） �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� �EMBED Equation.DSMT4��� - 2 - _1288703934.unknown _1316665719.unknown _1316665723.unknown _1316665725.unknown _1316665961.unknown _1316666006.unknown _1316665726.unknown _1316665724.unknown _1316665721.unknown _1316665722.unknown _1316665720.unknown _1308749500.unknown _1309617293.unknown _1309617347.unknown _1309617388.unknown _1309617444.unknown _1309617325.unknown _1308823791.unknown _1308823875.unknown _1308749510.unknown _1303125679.unknown _1308749474.unknown _1308749487.unknown _1303912466.unknown _1291319690.unknown _1291320849.unknown _1298992230.unknown _1298992294.unknown _1291320681.unknown _1291319471.unknown _1291319535.unknown _1288703935.unknown _1291319362.unknown _1251115190.unknown _1251115198.unknown _1251115202.unknown _1256907873.unknown _1256908099.unknown _1256908114.unknown _1256907971.unknown _1256907815.unknown _1251115200.unknown _1251115201.unknown _1251115199.unknown _1251115194.unknown _1251115196.unknown _1251115197.unknown _1251115195.unknown _1251115192.unknown _1251115193.unknown _1251115191.unknown _1251115147.unknown _1251115163.unknown _1251115186.unknown _1251115188.unknown _1251115189.unknown _1251115187.unknown _1251115171.unknown _1251115179.unknown _1251115184.unknown _1251115185.unknown _1251115181.unknown _1251115183.unknown _1251115175.unknown _1251115177.unknown _1251115173.unknown _1251115167.unknown _1251115169.unknown _1251115165.unknown _1251115155.unknown _1251115159.unknown _1251115161.unknown _1251115157.unknown _1251115151.unknown _1251115153.unknown _1251115149.unknown _1251115139.unknown _1251115143.unknown _1251115145.unknown _1251115141.unknown _1241682853.unknown _1251115137.unknown _1241682842.unknown