四年级 奥数 讲义 325学子 教案库 第3讲.竞赛班.教师版

第三讲 行程问题 1. 掌握行程问题中的基本数量关系； 2. 掌握一些特殊行程问题的解决方法。 行程问题是一类常见的重要，在历次数学竞赛中经常出现。行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系，即：距离 速度 时间，时间 距离 速度，速度 距离 时间。在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。在解答行程问题时，经常采取画图的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。 平均速度的基本关系式为： 平均速度 总路程 总时间； 总时间 总路程 平均速度； 总路程 平均速度 总时间。 【例1】 （ 年“希望杯”第二试）赵伯伯为锻炼身体，每天步行 小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。假设赵伯伯在平路上每小时行 千米，上山每小时行 千米，下山每小时行 千米，在每天锻炼中，他共行走多少米？ 【分析】 设赵伯伯每天上山的路程为 千米，那么下山走的路程也是 千米，上山时间为 小时，下山时间为 小时，上山、下山的平均速度为： （千米/时），由于赵伯伯在平路上的速度也是 千米/时，所以，在每天锻炼中，赵伯伯的平均速度为 千米/时，每天锻炼 小时，共行走了 （千米）= （米）。 [拓展] 老王开汽车从 到 为平地（见右图），车速是 千米/时；从 到 为上山路，车速是 千米/时；从 到 为下山路，车速是 千米/时。已知下山路是上山路的 倍，从 到 全程为 千米，老王开车从 到 共需要多少时间？ [分析] 设上山路为 千米，下山路为 千米，则上、下山的平均速度是： （千米/时），正好是平地的速度，所以行 、 总路程的平均速度就是 千米/时，与平地路程的长短无关。因此共需要 （小时）。 【例2】 甲、乙两地相距 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 米，后一半时间平均每分钟行 米。问他走后一半路程用了多少分钟？ 【分析】 全程的平均速度是 米/分，走完全程的时间为： 分钟，由于前一半时间平均速度大于后一半时间平均速度，所以前一半时间所走的路程超过了前一半路程，所以走前一半路程的平均速度是 米/分，时间是 分钟，后一半路程的时间是 分钟。 [巩固] 某司机开车从 城到 城。若按原定速度前进，则可准时到达。当路程走了一半时，司机发现前一半行程中，实际平均速度只达到原定速度的 ，如果司机想准时到达 城，那么在后一半的行程中，实际平均速度是原定速度的多少倍？ [分析] 设原定半程时间为 ，由于前一半路程所用时间为 ，后一半路程所用时间为 ，所以后一半程实际平均速度是原定速度的 倍。 【例3】 （ 年“希望杯”第一试）如右图所示，摩托车里程表显示的数字表示摩托车已行驶了 千米，经过两小时后，里程表上显示的数字从左到右与从右到左的读数相同，若摩托车的时速不超过 千米，则摩托车在这两个小时内的平均速度是__________千米/时。 【分析】 时速不超过 千米，则 小时后，显示的数字就不能够超过 。所以满足条件的只有 。则这两小时共走了 千米，所以时速为 （千米/时）。 【例4】 小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的 倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？ 【分析】 因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡路和下坡路各一半也相同，设距离是 份，时间是 份，平路速度也是 份，则下坡时间为： ，上坡时间为 ，上坡速度为： ，即上坡速度是平路的 倍。 【例5】 某汽车公司在公共汽车的起点站和终点站每隔 分钟同时发一辆公共汽车，每辆车驶完全程需 小时。则对每辆公共汽车，它从出站开始，途中能遇上多少辆本公司的其他公共汽车？ 【分析】 某辆公共汽车从起点站出站开始算起，分别在第 分钟，第 分钟、第 分钟、第 分钟、……第 分钟有车从终点站开出，这些车共 辆。而在此之前，路上已经有 辆车尚未到达起点站。这些车都会与这辆公共汽车在途中相遇，而其他的公共汽车则不会与这辆车在途中相遇。所以能遇上 辆本公司的其他公共汽车。 [巩固] 一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走 分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了 辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？ [分析] 骑车人一共看到 辆车，他出发时看到的是 分钟前发的车，此时第 辆车正从甲发出。骑车过程中，甲站发出第 到第 辆车，共 辆，有 个 分钟的间隔，所以骑车从乙站到甲站的时间是 （分）。 【例6】 一条街上一个骑自行车的人和一个步行的人同向而行，骑车人的速度是步行人的速度的 倍，每隔 分钟有一辆公共汽车超过步行的人，每隔 分钟有一辆公共汽车超过骑车的人，如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么这个间隔时间为__________。 【分析】 若把人在 分钟内走的路程作为 个单位，那么骑车人 分钟内走了 个单位，那么汽车在 分钟内比在 分钟内多走了 ，即汽车在 分钟内走了 个单位，所以汽车速度是人的速度的 倍，从而人走 分钟，汽车只要花 分钟， （分钟），这个 分钟就是汽车始发车的间隔时间。 [前铺] 小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔 分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？公共汽车的速度是小明步行速度的几倍？ [分析] 假设小明在路上向前行走了 （ 、 的最小公倍数）分钟后，立即回头再走 分钟，回到原地。这时在前 分钟他迎面遇到 （辆）车，后 分钟有 （辆）车追上他，那么在两个 分钟里他共遇到朝同一方向开来的 辆车，所以发车的时间间隔为： （分）。 公共汽车的发车时间以及速度都是不变的，所以车与车之间的间隔也是固定不变的。根据每隔 分钟就有辆公共汽车从后面超过他，我们可以得到： 间隔 （车速 步速）；每隔 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，我们可以得到：间隔 （车速 步速），所以 （车速 步速） （车速 步速），化简可得：车速 倍步速。 【例7】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟步行 米，每隔 分钟遇上一辆迎面而来的电车；乙每分钟步行 米，每隔 分钟 秒遇上一辆迎面而来的电车。电车总站每隔__________分钟开出一辆电车。 【分析】 电车 秒即 分钟行了 （米）。所以电车的速度是 （米/分）。电车速度是甲的速度的 倍，甲走 分钟的路电车需 分钟，所以每隔 分钟开出一辆电车。 【例8】 一只猎狗正在追赶前方 米处的兔子，已知狗一跳前进 米，兔子一跳前进 米，狗跳 次的时间兔子可以跳 次。问：兔子跑出多远将被猎狗追上？ 【分析】 在一个单位时间里，狗跑 （米），兔子跑 （米），所以兔子跑的距离为： （米）。 【例9】 狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬。一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑 步。如果狼跑 步的时间狗跑 步，狼跑 步的距离等于狗跑 步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，狗跑了多少步？狼跑了多少步？ 【分析】 由题目条件知，狼跑 步的时间狗跑 步，狼跑 步的距离等于狗跑 步的距离，也就是说，在相同的时间里，狼跑狗的 步，狗跑 步。所以，相遇时，狼跑了： （步），狗跑了： （步）。 [前铺] 猎狗前面 步远有一只野兔，猎狗追之。兔跑 步的时间狗跑 步，兔跑 步的距离等于狗跑 步的距离。问：兔跑多少步后被猎狗抓获？此时猎狗跑了多少步？ [分析] “猎狗前面 步……”指的是猎狗的 步。因为题目中出现“兔跑 步的时间……”和“兔跑 步的距离……”， 与 的最小公倍数是 ，所以可以统一在“兔跑 步”的情况下进行考虑。 兔跑 步的时间狗跑 步，兔跑 步的距离等于狗跑 步的距离，所以在兔跑 步的时间里，狗比兔多跑了 （狗步）的路程，所以，要追上 狗步，兔跑了 （步），此时猎狗跑了 （步）。 【例10】 猎狗追赶前方 米处的野兔。猎狗跑 步的时间野兔跑 步，猎狗跑 步的距离野兔要跑 步。猎狗至少跑出多少米才能追上野兔？ 【分析】 “猎狗跑 步的时间野兔跑 步，猎狗跑 步的距离野兔要跑 步”，将条件转化为：“猎狗跑 步的时间野兔跑 步，猎狗跑 步的距离野兔要跑 步”。我们也就可以这样认为：在一个单位时间内（猎狗跑 步的时间），猎狗跑了野兔的 步，野兔跑了 步，速度差为野兔的 步。所以猎狗追击的距离为： （米）。 【例11】 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走 米，乙每分钟走 米，丙每分钟走 米。在途中，甲和乙相遇后 分钟和丙相遇。这个花圃的周长是多少米？ 【分析】 由题干可知，甲先与乙相遇。在甲、乙相遇这段时间里，乙、丙所行的路程差正是甲、丙在 分钟内相向而行的路程之和： (米)。从出发到甲、乙相遇所用的时间为： (分)。所以，花圃的周长为： (米)。 [巩固] 小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走，小张速度是每小时 千米，小王速度是每小时 千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过 分钟，小李与小王相遇，那么绕湖一周的行程是__________千米。 [分析] 半小时小张比小往多行 千米，在这段路程上，小王与小李相遇用时 小时，所以小李速度为： 千米/时。绕湖一周的行程为： 千米。 【例12】 （ 年“希望杯”第一试） 、 两地相距 米，甲、乙、丙的速度分别是 米/分、 米/分、 米/分。如果甲、乙从 ，丙从 地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或__________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的 倍。 【分析】 由于乙的速度比甲的速度快，本题有两种情况： ⑴丙在甲、乙之间，此时甲、丙的距离为甲、乙距离的 ，而乙每分钟比甲多走 米，如果甲每分钟比原速度多走 米，那么此时丙与甲将恰好相遇，所以经过的时间为： （分）。 ⑵丙在甲的左侧，此时甲、丙的距离与甲、乙的距离相等，由于乙每分钟比甲多走 米，如果甲每分钟比原速度少走 米，那么此时丙与甲将恰好相遇，所以经过的时间为： （分）。 [拓展] 甲、乙、丙三人依次相距 米，甲、乙、丙每分钟依次走 米、 米、 米。如果甲、乙、丙同时出发，那么经过几分钟，甲第一次与乙、丙的距离相等？ [分析] 出发时三者的位置关系如下图： 甲与乙、丙的距离相等有两种情况：一种是乙追上丙时；另一种是甲位于乙、丙之间。 ⑴乙追上丙需： （分）。 ⑵设甲位于乙、丙之间且与乙、丙等距时如下图所示： 从图中可以看出，甲走的路程的 倍比乙丙走的路程之和多走了 米，所用时间为： （分钟）。 经比较，甲第一次与乙、丙的距离相等需经过 分钟。 【例13】 （ 年日本算术奥林匹克大赛初赛） 城每隔 分钟有直达班车开往 镇，速度为每小时 千米；小王骑车从 城去 镇，速度为每小时 千米。当小王出发 分钟时，正好有一趟班车（这是第一趟）追上并超过了他；当小王到达 镇时，第三趟班车恰好与他同时到达。 、 间路程为__________千米。 【分析】 （画图示意）由于班车速度是小王速度的 倍，所以当第一趟班车追上并超过小王的那一刻，由于小王已出发 分钟，所以第一趟班车已出发 分钟；再过 分钟，第三趟班车出发，此时小王已走了 分钟，从此刻开始第三趟班车与小王同向而行，这是一个追及问题。由于班车速度是小王速度的 倍，所以第三趟班车走完全程的时间内小王走了全程的 ，所以小王 分钟走了全程的 ， 、 间路程为： （千米）。 1. 有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为 米/秒、 米/秒和 米/秒，求他过桥的平均速度。 【分析】 假设上坡、走平路及下坡的路程均为 米，那么总时间为： （秒），过桥的平均速度为： （米/秒）。 2. 某人沿着电车道旁的便道以 千米/时的速度步行，每 分有一辆电车迎面开过，每 分有一辆电车从后面追过。如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？ 【分析】 设此人向前走 分再往回走 分。他共遇到同方向的车 （辆），两车间隔时间为 （分）。电车速度为： （千米/时）。 3. 野兔逃出 步后猎狗才开始追，野兔跑 步的路程猎狗只需跑 步，野兔跑 步的时间猎狗只能跑 步。问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔？ 【分析】 “野兔跑 步的路程猎狗只需跑 步，野兔跑 步的时间猎狗只能跑 步”，将条件转化为：“野兔跑 步的路程猎狗只需跑 步，野兔跑 步的时间猎狗只能跑 步”。在猎狗跑 步的时间内，猎狗比野兔多跑 （兔步）。猎狗追上野兔需跑： （步）。 4. 甲、乙、丙是一条路上的三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小强和小明同时分别从甲、丙两站出发相向而行，小强经过乙站 米时与小明相遇，然后两人又继续前进，小强走到丙站立即返回，经过乙站 米时又追上小明，问：甲、乙两站的距离是多少米？ 【分析】 结合右图，我们可以把上述运动分为两个阶段来考察： ①第一阶段——从出发到二人相遇： 小强走的路程 个甲、乙距离 米， 小明走的路程 个甲、乙距离 米。 ②第二阶段——从他们相遇到小强追上小明，小强走的路程 个甲、乙距离 米 米 个甲、乙距离 米，小明走的路程为： （米）。 从小强在两个阶段所走的路程可以看出：小强在第二阶段所走的路程是第一阶段的 倍，所以，小明第二阶段所走的路程也是第一阶段的 倍，即第一阶段应走 （米），从而可求出甲、乙之间的距离为 （米）。 游泳比赛是一个集竞技游泳、跳水、花样游泳和水球为一体的大型项目。在２００８年北京奥运会上，游泳比赛共设４６个小项，其中竞技游泳３４项、跳水８项、水球和花样游泳各２项，金牌之多仅次于田径比赛。     奥运会竞技游泳主要采用四种姿势比赛，即自由泳、仰泳、蛙泳和蝶泳。自由泳俗称“爬泳”，是竞技游泳中速度最快的泳姿，行进时两臂轮流由前向后滑行，动作像爬行。     仰泳俗称“背泳”，游进时，两腿交替上下打水，由大腿发力带动小腿，上踢下压，以提高身体位置，并起推进作用。     蛙泳模仿青蛙游水动作而取名，游进时人体俯卧水面，一次划臂配合一次蹬腿和呼吸，构成一个完整动作。     蝶泳身体俯卧于水面，两腿对称做屈伸的蹬水（或上下打水）动作，两臂同时由前向后下方划水，再提出水面顺身体两侧向前挥摆入水同时吸气。     竞技游泳所含３４个小项是：自由泳——男、女５０米、１００米、２００米、４００米，女子８００米、男子１５００米；仰泳——男、女１００米、２００米；蛙泳——男、女１００米、２００米；蝶泳——男、女１００米、２００米；个人混合泳——男、女２００米、４００米；自由泳接力——男、女４×１００、４×２００米；混合泳接力——男、女４×１００米；男、女１０公里马拉松游泳。 北京奥运会竞技游泳比赛在北京奥林匹克公园的国家游泳馆举行，该馆拥有国际标准的游泳池，长50米、宽25米、水深2米、泳道8条，每条宽2.5米；男、女10公里马拉松游泳比赛将在北京顺义的奥林匹克水上公园里举行。 小女孩索尼亚在农场附近的一所小学里上二。有一天她回家后很委屈地哭了，父亲就问原因。她抽噎着说：“班里一个同学说我又丑又笨，还说我走路的姿势特别难看。”父亲听后，只是微笑。 忽然他说：“你能摸得着房顶上的天花板。”还在哭泣的索尼亚听后觉得很惊奇，不知道父亲说的什么意思，就反问：“你说什么?” 父亲又说一遍：“你能摸得着房顶上的天花板。” 索尼亚忘记了哭泣，抬起头看着天花板。心想，“那么高，父亲蹦起来都够不着，我怎么摸得到呢?” 父亲笑着得意地说：“不信吧！那你也别信你那个同学的话，因为有些人说的并不是事实!” 父亲的话让索尼亚开始明白，不能太在意别人说什么，要自己拿主意！ 索尼亚长大后成了一名演员。有一次，她要去参加一个公益活动，但经纪人告诉她，雪下得太大，再说你也没有必要去参加这种对你的演艺事业没什么帮助的活动。经纪人的意思是，索尼亚应该参加一些大型的集会和活动，这样才能提升自己的名气。索尼亚坚持要去，因为她相信自己做的没错。 那次公益活动因为有了索尼亚的参加，举办得非常成功。而索尼亚也得到了各方面的赞许，她的名气和人气也因此骤升。 像拂去蛛丝一样轻轻掠过别人对自己的负面评价，自己替自己拿主意，自己决定自己的行为和态度，不受外物和流俗的干扰，索尼亚的成功得益于这种难能可贵的自信。 1、走自己的路，让别人说去吧。 2、勇于在批评和流俗中坚持自己的意见是自信的表现之一。 教学目标 经典精讲 平均速度 24944 沿途数车 猎狗追兔 多人行程 巩固精练 _1272954582.unknown _1272968084.unknown _1272969598.unknown _1272979669.unknown _1272983625.unknown _1272984058.unknown _1272986819.unknown _1272987062.unknown _1272987162.unknown _1272987192.unknown _1272987114.unknown _1272986839.unknown _1272986800.unknown _1272986809.unknown _1272984137.unknown _1272986720.unknown _1272983687.unknown _1272984041.unknown _1272983664.unknown _1272981322.unknown _1272983518.unknown _1272983544.unknown _1272983594.unknown _1272983524.unknown _1272981405.unknown _1272981457.unknown _1272981499.unknown _1272983240.unknown _1272981473.unknown _1272981447.unknown _1272981360.unknown _1272981373.unknown _1272981349.unknown _1272981239.unknown _1272981283.unknown _1272981309.unknown _1272981266.unknown _1272979809.unknown _1272981226.unknown 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