高中数学必修2第一章检测题

第一章综合题 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的(　　) A.eq \f(1,2)倍　　　　　　　 B．2倍 C.eq \f(\r(2),4)倍 D.eq \f(\r(2),2)倍 [答案]　C [解析]　设△ABC的边AB上的高为CD，以D为原点，DA为x轴建系，由斜二测画法规则作出直观图△A′B′C′，则A′B′＝AB，C′D′＝eq \f(1,2)CD. S△A′B′C′＝eq \f(1,2)A′B′·C′D′sin45° ＝eq \f(\r(2),4)(eq \f(1,2)AB·CD)＝eq \f(\r(2),4)S△ABC. 2．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是(　　) A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．球体 [答案]　C 3．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的eq \f(1,2)，则圆锥的体积(　　) A．缩小到原来的一半 B．扩大到原来的2倍 C．不变 D．缩小到原来的eq \f(1,6) [答案]　A [解析]　V＝eq \f(1,3)πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)r))2×2h＝eq \f(1,6)πr2h，故选A. 4．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是(　　) A.eq \r(77) cm B．7eq \r(2) cm C．5eq \r(5) cm D．10eq \r(2) cm [答案]　C [解析]　两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况，分别计算三种情况的体对角线为：eq \r(77)；eq \r(98)；eq \r(125)，所以最长的为eq \r(125)＝5eq \r(5). 5．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面为正三角形的圆锥)的体积之比为(　　) A．2∶3∶5 B．2∶3∶4 C．3∶5∶8 D．4∶6∶9 [答案]　D [解析]　作出轴截面如图． 设球O的半径为R，则外切圆柱的底面半径为R，高为2R，∴体积V圆柱＝πR2·2R＝2πR3. 设球O的外切等边圆锥底面半径为r，则母线长为2r，∴高h＝eq \r(3)r，∵tan30°＝eq \f(R,r)，∴r＝eq \r(3)R，∴V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(\r(3),3)πr3＝3πR3，V球＝eq \f(4,3)πR3，∴V球∶V圆柱V圆锥＝4∶6∶9. 6．表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为36π的球相切，则这个多面体的体积为(　　) A.eq \f(1,3)Q　　　B．Q　　　C.eq \f(4,3)Q　　　D．2Q [答案]　B [解析]　将球心O与多面体的每一个顶点相连，得到以多面体的每一个面为底面，高为球半径R的棱锥，所有棱锥体积的和就是多面体的体积， ∵4πR2＝36π，∴R＝3，∴V＝eq \f(1,3)Q·3＝Q. 7．(金华十校质检)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是(　　) A.eq \f(\r(3)π,3) B.eq \f(\r(3),6)π C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3) [答案]　B [解析]　由正视图与侧视图知该几何体为锥体，结合俯视图知，该几何体是沿过轴线的截面切开的半个圆锥，其母线长为2，底半径为1，∴高为eq \r(3)，体积V＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×π×12×\r(3)))×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3)π,6). 8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3.分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1－DFD1，V2＝VEBE1A1－FCF1D1，V3＝VB1E1B－C1F1C.若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为(　　) A．4eq \r(10) B．8eq \r(3) C．4eq \r(13) D．16 [答案]　C [解析]　由V1∶V2∶V3＝1∶4∶1可知 S△A1AE∶S▱A1EBE1∶S△E1BB1＝1∶4∶1，则AE∶EB＝1∶2.那么AE＝2.在Rt△A1AE中，可求得A1E＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13).S矩形A1EFD1＝EF·A1E＝4×eq \r(13)＝4eq \r(13). 9．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是(　　) A．1∶8∶27 B．1∶1∶1 C．1∶7∶19 D．1∶2∶3 [答案]　C [解析]　如图所示是圆锥的轴截面，两个平行于圆锥底面的平面将圆锥分成了两个圆台和一个圆锥，设它们的高为h，小锥体的底面半径以及圆台的底面半径依次为r1、r2、r(从上到下)，被分成三部分的体积依次为V1、V2、V3，大圆锥的体积为V， eq \f(V1,V)＝eq \f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h,\f(1,3)πr2·3h)＝eq \f(1,3)·eq \f(r\o\al(2,1),r2) ＝eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,3h)))2＝eq \f(1,27)，同理：eq \f(V1＋V2,V)＝eq \f(8,27). ∴eq \f(V2,V)＝eq \f(8,27)－eq \f(V1,V)＝eq \f(7,27)，eq \f(V3,V)＝1－eq \f(V1＋V2,V)＝eq \f(19,27). ∴V1∶V2∶V3＝1∶7∶19. 10．把表面积相等的球与正方体的体积依次记为V球与V正方体，球的直径为d，正方体棱长为a，则有(　　) A．d>a，V球>V正方体 B．d>a，V球V正方体 D．da2，∴d>a， 又d＝eq \r(\f(6,π))a，∴eq \f(V球,V正方体)＝eq \f(\f(4,3)π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)))3,a3) ＝eq \r(\f(6,π))>1，∴V球>V正方体． 11．如下图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是(　　) A.eq \f(1,3)πr2(a＋b) B.eq \f(1,2)πr2(a＋b) C．πr2(a＋b) D．2r2(a＋b) [答案]　B [解析]　这样两个完全相同的几何体拼在一起组成一个圆柱高为a＋b，∴其体积为eq \f(1,2)πr2(a＋b)． 12．△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同一侧，它们在α内的正投影分别为A′、B′、C′，当△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，CC′＝4cm，BB′＝5cm时，△A′B′C′的面积为(　　) A．2eq \r(3)cm2 B.eq \r(3)cm2 C.eq \f(\r(3),2)cm2 D.eq \f(\r(3),4)cm2 [答案]　C [解析]　如图，设A′B′＝x，则AB2＝x2＋(BB′－AA′)2＝x2＋4，∵△A′B′C′为正三角形， ∴同理可得AC2＝x2＋1，BC2＝x2＋1， 又△ACB为直角三角形，且AB为斜边， ∴AB2＝AC2＋BC2，即x2＋4＝2x2＋2，解得x＝eq \r(2)， ∴S△A′B′C′＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)x·x＝eq \f(\r(3),4)x2＝eq \f(\r(3),2)(cm2)． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________． [答案]　eq \f(14\r(2),3)π [解析]　圆台高h＝eq \r(32－(2－1)2)＝2eq \r(2)， ∴体积V＝eq \f(π,3)(r2＋R2＋Rr)h＝eq \f(14\r(2),3)π. 14．(09～10学年曲师大附中高一期末)一个底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱，其三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为________． [答案]　36eq \r(3) [解析]　由三视图知，该三棱柱的高为4，底面正三角形一边上的高为3eq \r(3)，故其底面边长为6，∴体积V＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×3\r(3)))×4＝36eq \r(3). 15．如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图，A、B、C、D为其上四个点，以A、B、C、D为顶点的三棱锥的体积为________． [答案]　eq \f(1,6) [解析]　将展开图还原为正方体如图，正方体棱长a＝1，故以A、B、C、D为顶点的三棱锥体积 V＝VC－ABD＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a2))·a ＝eq \f(1,6)a3＝eq \f(1,6). 16．棱台的体积为7cm3，高为3cm，它的一个底面面积为1cm2，则棱台的中截面面积为________． [答案]　eq \f(9,4)cm2 [解析]　由V＝eq \f(1,3)·h(S＋S′＋eq \r(SS′))及h＝3，V＝7，S′＝1得：S＋1＋eq \r(S)＝7，∴eq \r(S)＝2(eq \r(S)＝－3不合题意) ∴S中＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(S′)＋\r(S),2)))2＝eq \f(9,4). 三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)将图中被遮挡部分按要求改成虚线，使图形具有立体感． (1)图(1)中AB被平面α遮挡 (2)图(2)中AB不被平面α遮挡 　 (3)正方体ABCD—A1B1C1D1中，CD被遮挡 [解析]　 18．(本小题满分12分)一个几何体的正视图与侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，尺寸如图．求该几何体外接球的体积和表面积． [解析]　由三视图可知，该几何体是两底面半径分别为1和2，高为1的圆台，如图是圆台及其外接球的轴截面图，圆台的两底面圆心在球心O的同侧，设OO1＝h，则h2＋22＝R2＝(h＋1)2＋12，∴R2＝5，∴S球＝4πR2＝20π，V球＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(20\r(5),3)π. 当圆台的两底面圆心在球心O异侧时，应有22＋h2＝R2＝12＋(1－h)2无解，综上知，球面积为20π，球体积为eq \f(20\r(5),3)π. 19．(本小题满分12分)正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14cm3，求棱台的高． [解析]　如图，设正四棱台AC′的上底面边长为2a，则斜高EE′、下底面边长分别为5a、8a. 高OO′＝eq \r((5a)2－(4a－a)2)＝4a. 又eq \f(1,3)×4a×(64a2＋4a2＋eq \r(4a2×64a2))＝14. ∴a＝eq \f(1,2)，高为2cm. 20．(本小题满分12分)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱． (1)画出圆锥及其内接圆柱的轴截面； (2)求圆柱的侧面积； (3)x为何值时，圆柱的侧面积最大？ [解析]　(1)画出圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示． (2)设所求的圆柱的底面半径为r，它的侧面积S＝2πrx. ∵eq \f(r,R)＝eq \f(H－x,H)，∴r＝R－eq \f(R,H)·x. ∴S＝2πRx－eq \f(2πR,H)·x2. (3)因为S的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值．这时圆柱的高是 x＝－eq \f(2πR,－2·\f(2πR,H))＝eq \f(H,2). 当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大． 21．(本小题满分12分)如图，BD是正方形ABCD的对角线，eq \x\to(BD)的圆心是A，半径为AB，正方形ABCD以AB为轴旋转，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比． [解析]　把图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分分别绕直线AB旋转所得旋转体体积分别记为VⅠ、VⅡ、VⅢ，并设正方体的边长为a，因此， VⅠ＝eq \f(1,3)πa2·a＝eq \f(1,3)πa3， VⅡ＝eq \f(1,2)·eq \f(4,3)πa3－V1＝eq \f(π,3)a3， VⅢ＝πa2·a－VⅠ－VⅡ＝eq \f(π,3)a3， ∴VⅠ∶VⅡ∶VⅢ＝1∶1∶1. 22．(本小题满分14分)已知三棱台ABC－A1B1C1中，S△ABC＝25，S△A1B1C1＝9，高h＝6. (1)求三棱锥A1－ABC的体积VA1－ABC. (2)求三棱锥B－A1B1C1的体积VB－A1B1C1. (3)求三棱锥A1－BCC1的体积VA1－BCC1. [解析]　(1)VA1－ABC＝eq \f(1,3)·S△ABC·h＝eq \f(1,3)×25×6＝50. (2)VB－A1B1C1＝eq \f(1,3)·SA1B1C1·h＝eq \f(1,3)×9×6＝18. (3)设三棱台体积为V， ∴V＝VA1－ABC＋VB－A1B1C1＋VA1－BCC1， ∴VA1－BCC1＝V－VA1－ABC－VB－A1B1C1 ＝eq \f(1,3) eq \r(S△ABC·S△A1B1C1)·h＝eq \f(1,3) eq \r(25·9)·6＝30.