高等数学课件-22-泰勒公式

null第三节第三节二、几个初等函数的麦克劳林 一、泰勒公式的建立机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 — 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒 ( Taylor )公式 第三章 泰勒 (1685 – 1731)泰勒 (1685 – 1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 《正的和反的增量方法》(1715) 《线性透视论》(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .他是有限差分理论的奠基人 .麦克劳林 (1698 – 1746)麦克劳林 (1698 – 1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数 .一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立特点:以直代曲在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?x 的一次多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 求 n 次近似多项式1. 求 n 次近似多项式要求:故机动 目录 上页 下页 返回 结束 令则2. 余项估计2. 余项估计令(称为余项) ,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 null机动 目录 上页 下页 返回 结束 泰勒中值定理 :泰勒中值定理 :公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .阶的导数 ,时, 有①其中②则当泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .注意到③④* 可以证明: ④ 式成立机动 目录 上页 下页 返回 结束 特例:特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .则有则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 null其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 欧拉公式 类似可得其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 欧拉公式 null其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 null已知其中类似可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用 误差M 为在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过已知解:令 x = 1 , 得由于欲使由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此的麦克劳林公式为机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过总误差为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 用近似公式例2. 用近似公式计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解:近似公式的误差令解得即当时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 利用泰勒公式求极限2. 利用泰勒公式求极限例3. 求解:由于用洛必塔法则不方便 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用泰勒公式证明不等式3. 利用泰勒公式证明不等式例4. 证明证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 ~ P144 )2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 ~ P144 )3. 泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 目录 上页 下页 返回 结束 泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近机动 目录 上页 下页 返回 结束 泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习 练习 计算解:原式第四节 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P145 1 ;2； 4 ; 5 ; 7 ; 10；补充题 1.由题设对证:补充题 1.有且机动 目录 上页 下页 返回 结束 null下式减上式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 证明 e 为无理数 . 2. 证明 e 为无理数 . 两边同乘 n != 整数 +假设 e 为有理数( p , q 为正整数) ,等式左边为整数;矛盾 !证:故 e 为无理数 .等式右边不可能为整数.机动 目录 上页 下页 返回 结束