高等数学课件-21-洛必达法则

null第二节三、其他未定式 二、 型未定式一、 型未定式第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三章 洛必达(1661 – 1704)洛必达(1661 – 1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达出的摆线难题 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降线 ”问题 ,在他去世后的1720 年出版了他锥曲线的书 .法则 ”.他在15岁时就解决了帕斯卡提机动 目录 上页 下页 返回 结束 的关于圆的关于null由函数之商给出的“未定型”极限导数之商的极限本节研究:洛必达法则洛必达 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、存在 (或为 )定理 1.型未定式(洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证:证:无妨假设在指出的邻域内任取故定理条件: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 存在 (或为 )推论1.推论1.定理 1 中换为之一,推论 2.若理1条件, 则条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.洛必达法则定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求例1. 求解:原式注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求例2. 求解:原式 思考: 如何求 ( n 为正整数) ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、型未定式存在 (或为∞)定理 2.(洛必达法则)机动 目录 上页 下页 返回 结束 null情形的证明从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注时, 结论仍然成立. 说明: 定理中换为之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.定理2 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求例3. 求解:原式例4. 求解: (1) n 为正整数的情形.原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求例4. 求(2) n 不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数 k , 使当 x > 1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:说明:而用洛必达法则 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题 . 例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 若若例如,极限不存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式:三、其他未定式:解决方法:通分取倒数取对数例5. 求解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求解: 原式例6. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 通分取倒数取对数例7. 求例7. 求解: 利用 例5例5 目录 上页 下页 返回 结束 通分取倒数取对数例8. 求例8. 求解:注意到～原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 求例9. 求分析: 为用洛必达法则 , 必须改求法1 用洛必达法则但对本题用此法计算很繁 ! 法2原式例3 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习说明 目录 上页 下页 返回 结束 原式分析:1）求下列极限 :2）求则2）求解: 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 3）分析:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 3）null解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 null解:原式 =第三节 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结洛必达法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P138 1 (5)-(7)，(9)- (13)， (15),(16). 2, 4.第三节 目录 上页 下页 返回 结束