MATLAB在解决工程力学静不定问题中的应用

-256- 中国科技信息2006年第17期 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Sep.2006基础及前沿研究 MATLAB是当今最优秀的科技应用 软件之一，它以强大的科学计算与可视 化功能、简单易用、开放式可扩展环 境，特别是所附带的30多种面向不同领 域的工具箱支持，使得它在许多科学领 域中成为计算机辅助设计和分析、算法 研究和应用开发的基本工具和首选平台。 工程力学中常遇到静不定问题，尤 其是力个数与独立平衡方程数目相差大， 即多次静不定问题，用传统的方法运算 量很大，不易求解，而用MATLAB可方 便求解。本文结合作者的教学心得，以 常见拉压静不定问题为例，谈谈 MATLAB在解决该类问题中的应用。 实例分析一 由N根杆组成的桁架结构如图1所 示，受力P的作用，各杆截面面积分别 为Ai，材料弹性模量为E，求各杆的轴 MATLAB在解决 工程力学静不定问题中的应用 刘炜 湖南铁路科技职业技术学院机电工程系 412000 力Ni及节点C的位移。 先列出具有普遍意义的方程，设各 杆均受拉力，A点因各杆变形而引起的x 方向位移△x，y方向位移△y，由几何 关系，得变形方程： △Li= =△xcosai+△ysinai I=1,2⋯,n 即 △xcosai-△ysinai=0， 其中，Ki= 为杆i的刚度系数。 再添加两个力平衡方程： 共有n+2个方程，其中包含n个未知 力和两个待求位移△x和△y，方程组可 求解。因为这又是一个线性方程组，可 写成D*X = B的形式，所以可用 MATLAB的矩阵除法X=D\B解出。 实例分析二 试求图2中各杆的轴力。已知杆1和杆 2的材料与横截面均相同，其抗拉刚度为 E1A1，杆3的抗拉刚度为EA，夹角为a， 悬挂重物的重力为G。 这是一个比较简单的一次静不定问 题，用传统列静力平衡方程和补充方程 的方法，求解步骤为： 图1 图2 图3 -257- 1）列平衡方程。在重力G的作用 下，三杆皆两端铰接且皆伸长，故可设三 杆均受拉伸，节点A的受力图如图4所示。 列平衡方程则有 FN1sina-FN2sina=0 FN3+FN1cosa+FN2cosa-G=0 2)变形的几何关系。由图看到，由 于结构左右对称，杆1、2的抗拉刚度相 同，所以节点A只能垂直下移。设变形 后各杆汇交于A’点，则AA’=△l3； 由A点作A’B垂线AE，则有EA’= △l1。在小变形条件下，△l1=△l2=△ l3cosa 3)物理关系。由虎克定律，应有 △l1= ，△l3= 4)补充方程。将物理关系代入几何方 程，得到解该超静不定问题的补充方程 即为 FN1=FN2= 5）求解各杆轴力。联立求解补充方 程和两个平衡方程，可得 FN1=FN2= FN3= 实例分析三 设3根杆组成的支架如图5所示，挂一 重物P=3000N。设L=3m，各杆的截面面 积分别为A1=150×10-6m2，A2=200× 10-6m2，A3=300×10-6，材料的弹性模 量E=200×109N/m2，求各杆受力的大 小及A点位移。 此时应由5个方程组成，如下所示。 N1cosa1+N3cosa3=P； -N1sina1-N2-N3sina3=0； N1/k1-△xcosa1-△ysina1=0； N2/k2-△y=0； N3/k3-△xcosa3-△ysina3=0； 设X=[N1；N2；N3；△x；△y]， 把上述5个线性方程组列成D*X=B的矩阵 形式，从而可由MATLAB的X=A\B来 求解。 MATLAB程序实现 作者简介 刘炜（1 9 7 2 -），男，本科学历，中南 大学机电工程工程硕士（在读）。现在湖 南铁路科技职业技术学院机电工程系工作。 p=3000; E=200e9; L=3; A1=150e-6; A2=200e-6; A3=300e-6; a1=pi/3; a2=pi/2; a3=3*pi/4; L1=L/sin(a1); L2=L/sin(a2); L3=L/sin(a3); K1=E*A1/L1; K2=E*A2/L2; K3=E*A3/L3; D=[cos(a1),0,cos(a3),0,0;-sin(a1),-1,- sin(a3),0,0;1/K1,0,0,-cos(a1),-sin(a1);0,1/ K2,0,0,-1;0,0,1/K3,-cos(a3),-sin(a3)]; B=[p;0;0;0;0]; format long,X=D\B 执行此程序，用format long显示 结果为： X = 1.0e+003 * 1.78654851481544 0.55952934366876 -2.97936011737454 图4 图5