概率论与数理统计第四版答案习题答案

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DCBA 3 . 以 CBA ,, 分?表示某城市居民??日?、晚?和体育?。?用 CBA ,, 表示以下事件： （ 1 ）只??日?； （ 2 ）只?日?和晚?； （ 3 ）只?一种?； （ 4 ）正好?两种?； （ 5 ）至少??一种?； （ 6 ）不??任何?； （ 7 ）至多??一种?； （ 8 ）三种??都??； （ 9 ）三种??不全??。 解解解解：（：（：（：（ 1 ）））） CBA ；；；； （（（（ 2 ）））） CAB ；；；； （（（（ 3 ）））） CBACBACBA ++ ；；；； （（（（ 4 ）））） BCACBACAB ++ ; （（（（ 5 ）））） CBA ++ ；；；； （（（（ 6 ）））） CBA ；；；； （（（（ 7 ）））） CBACBACBACBA +++ 或或或或 CBCABA ++ （（（（ 8 ）））） ABC ；；；； （（（（ 9 ）））） CBA ++ 4 . 甲、乙、丙三人各射?一次，事件 321 ,, AAA分?表示甲、乙、丙射中。??明下列事件所表示的?果： 2 A , 32 AA + , 21 AA , 21 AA + , 321 AAA , 313221 AAAAAA ++ . 解：甲未?中；乙和丙至少一人?中；甲和乙至多有一人?中或甲和乙至少有一人未?中；甲和乙都未?中；甲和乙?中而丙未?中；甲、乙、丙三人至少有两人?中。 5 . 设事件 CBA ,, ?足 Φ ≠ ABC ，?把下列事件表示?一些互不相容的事件的和： CBA ++ ， CAB + ， ACB ? . 解解解解：：：：如?： 2 BCACBCABABBCACBACABACBCCABCABCBACBABCAABCCABCBACBACBA +=+=++=?+=+++++++=++ ;; 6 . 若事件 CBA ,, ?足 CBCA + = + ，?? BA = 是否成立？?例?明。 解解解解：：：：不一定成立。例如： { } 5,4,3 = A ，，，， { } 3 = B ，，，， { } 5,4 = C ，，，， 那么， CBCA + = + ，，，，但 BA ≠ 。。。。 7 . ?于事件 CBA ,, ，?? CBACBA + ? = ?? )()( 是否成立？?例?明。 解解解解：：：：不一定成立。 例如： { } 5,4,3 = A ，，，， { } 6,5,4 = B ，，，， { } 7,6 = C ，，，， 那么 { } 3)( =?? CBA ，，，，但是 { } 7,6,3)( =+? CBA 。。。。 8 . 设 31)( = AP ， 21)( = BP ，?就以下三种情况分?求 )(ABP ： （ 1 ） Φ = AB ， （ 2 ） BA ? ， （ 3 ） 81)( = ABP . 解解解解：：：： （（（（ 1 ）））） 2 1)()()()( =?=?= ABPBPABBPABP ；；；； （（（（ 2 ）））） 6 1)()()()( =?=?= APBPABPABP ；；；； （（（（ 3 ）））） 8 3 8 1 2 1)()()()( =?=?=?= ABPBPABBPABP 。。。。 9 . 已知 41)()()( === CPBPAP ， 161)()( == BCPACP ， 0)( = ABP 求事件 CBA ,, 全不发生的概率。 CBA CBA CBA ABC BCA CAB CBA ? A B C CBA 3 解解解解：：：： ( ) )(1)(CBAPCBAPCBAP ++?=++= = [ ] )()()()()()()(1 ABCPBCPACPABPCPBPAP +???++? 83016116104141411 = ?????? +???++?= 10 . 每个路口有?、?、黄三色指示灯，假设各色灯的??是等可能的。一个人?车经?三个路口，?求下列事件的概率： = A “三个都是?灯” = “全?”； = B “全?”； = C “全黄”； = D “无?”； = E “无?”； = F “三次?色相同”； = G “?色全不相同”； = H “?色不全相同”。 解解解解：：：： 27 1 333 111)()()( =×× ×× === CPBPAP ；；；； 27 8 333 222)()( =×× ×× == EPDP ；；；； 9 1 27 1 27 1 27 1)( =++= FP ；；；； 9 2 333 !3)( =××= GP ；；；； 9 8 9 11)(1)( =?=?= FPHP . 11 . 设一批?品共 100 件，其中 98 件正品， 2 件次品，从中任意抽取 3 件（分三种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3 次），?求： （ 1 ） 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率； （ 2 ） 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。 解解解解：：：： 一次拿 3 件： （（（（ 1 ）））） 0588.0 310012298 == CCCP ；；；； （（（（ 2 ）））） 0594.0 31001982229812 =+= CCCCCP ；；；； 每次拿一件，取后放回，拿 3 次： （（（（ 1 ）））） 0576.03 100 982 32 =××= P ；；；； （（（（ 2 ）））） 0588.0 100 981 33 =?= P ；；；； 每次拿一件，取后不放回，拿 3 次： （（（（ 1 ）））） 0588.03 9899100 97982 =××× ×× = P ；；；； （（（（ 2 ）））） 0594.0 9899100 9697981 =×× ×× ?= P 12 . 从 9,,2,1,0 ? 中任意?出 3 个不同的?字，?求下列事件的概率： { } 50 1 与三个?字中不含 = A ， { } 50 2 或三个?字中不含 = A 。 4 解解解解：：：： 157)( 310381 == CCAP ；；；； 15142)( 31038392 =?= CCCAP 或 15141)( 310182 =?= CCAP 13 . 从 9,,2,1,0 ? 中任意?出 4 个不同的?字，?算它?能?成一个 4 位偶?的概率。 解解解解：：：： 904145 4102839 =?= PPPP 14 . 一个宿舍中住有 6 位同学，?算下列事件的概率： （ 1 ） 6 人中至少有 1 人生日在 10 月份； （ 2 ） 6 人中恰有 4 人生日在 10 月份； （ 3 ） 6 人中恰有 4 人生日在同一月份； 解解解解：：：： （（（（ 1 ）））） 41.0 12 111 66 =?= ? P ；；；； （（（（ 2 ）））） 00061.0 12 11 6246 =×= ? CP ；；；； （（（（ 3 ）））） 0073.0 12 11 6246112 == ? CCP 15 . 从一副扑克牌（ 52 ?）任取 3 ?（不重复），?算取出的 3 ?牌中至少有 2 ?花色相同的概率。 解解解解：：：： 602.0 3521392131431314 =+= ? CCCCCCP 或或或或 602.01 35211311311334 =?= ? CCCCCP 5 ???????? 1.2 解答解答解答解答 1 . 假设一批?品中一、二、三等品各占 60% ， 30% 、 10% ，从中任取一件，?果不是三等品，求取到的是一等品的概率。 解解解解：：：： 令 = i A “取到的是 i 等品”， 3,2,1 = i 329.06.0)()()()()( 3133131 ==== APAPAPAAPAAP 。。。。 2 . 设 10 件?品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件?品中有 1 件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。 解解解解：：：： 令 = A “两件中至少有一件不合格”， = B “两件都不合格” 511)(1)()()()|( 2102621024 =?=?== CCCCAPBPAPABPABP 3 . ?了防止意外，在??同?装有两种?警系统 I 和 II 。两种?警系统??使用?，系统 I 和 II 有效的概率分? 0.92 和 0.93 ，在系统 I 失灵的条件下，系统 II 仍有效的概率? 0.85 ，求 （ 1 ） 两种?警系统 I 和 II 都有效的概率； （ 2 ） 系统 II 失灵而系统 I 有效的概率； （ 3 ） 在系统 II 失灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。 解解解解：：：：令 = A “系统（Ⅰ）有效” ， = B “系统（Ⅱ）有效” ? 85.0)|(,93.0)(,92.0)( === ABPBPAP （ 1 ） )()()()(BAPBPBABPABP ?=?= 862.085.0)92.01(93.0)|()()( =×??=?= ABPAPBP （ 2 ） 058.0862.092.0)()()()( =?=?=?= ABPAPABAPABP （ 3 ） 8286.093.01058.0)()()|( =?== ? BPBAPBAP 4 . 设 1)(0 << AP ，?明事件 A 与 B ?立的充要条件是 )|()|(ABPABP = ????：：：： ? ：：：： A ∵ 与 B ?立， A ∴ 与 B 也?立。 )()|(),()|(BPABPBPABP ==∴ )|()|(ABPABP =∴ ? ：：：： 1)(01)(0 <<∴<< APAP ∵ 又 )()()|(,)()()|(APBAPABPAPABPABP == ∵ 6 而由?设 )()()()()|()|(APBAPAPABPABPABP =∴= 即 )]()()[()()](1[ ABPBPAPABPAP ? = ? )()()(BPAPABP = ∴ ，故 A 与 B ?立。 5 . 设事件 A 与 B 相互?立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都是 41 ，求 )(AP 和 )(BP . 解解解解：：：： 4 1)()( == BAPBAP ∵ ，，，，又 ∵ A 与 B ?立 ∴ 4 1)()](1[)()()( =?== BPAPBPAPBAP 4 1)](1)[()()()( =?== BPAPBPAPBAP 4 1)()(),()( 2 =?=∴ APAPBPAP 即 2 1)()( == BPAP 。。。。 6 . ?明 若 )(AP >0 ， )(BP >0 ，?有 （ 1 ） ? A 与 B ?立?， A 与 B 相容； （ 2 ） ? A 与 B 不相容?， A 与 B 不?立。 ?明?明?明?明：：：： 0)(,0)( >> BPAP （ 1 ）因? A 与 B ?立，所以 0)()()( > = BPAPABP ， A 与 B 相容。 （ 2 ）因? 0)( = ABP ，而 0)()( > BPAP ，，，， )()()(BPAPABP ≠ ∴ ， A 与 B 不?立。 7 . 已知事件 CBA ,, 相互?立，求? BA ∪ 与 C 也?立。 ?明?明?明?明：：：：因? A 、 B 、 C 相互?立， ∴ )(])[(BCACPCBAP ∪∩∪ = )()()()]()()([)()()()()()()()()()(CPBAPCPABPBPAPCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACP ∪ =?+=?+= ? + = BA ∪ ∴ 与 C ?立。 8 . 甲、乙、丙三机床?立工作，在同一段?间?它?不需要工人照?的概率分?? 0.7 ， 0.8 和 0.9 ，求在?段?间?，最多只有一台机床需要工人照?的概率。 解解解解：：：： 令 321 ,, AAA 分?表示甲、乙、丙三机床不需要工人照?， 那么 9.0)(,8.0)(,7.0)( 321 === APAPAP 令 B 表示最多有一台机床需要工人照?， 那么 )()( 321321321321 AAAAAAAAAAAAPBP +++= 7 902.01.08.07.08.02.07.09.08.03.09.08.07.0)()()()( 321321321321 =××+××+××+××=+++= AAAPAAAPAAAPAAAP 9 . 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率? )10( << pp ，（??元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互?立的，?算下面各系统的可靠性。 解解解解：：：：令 = A “系统（Ⅰ）正常工作” = B “系统（Ⅱ）正常工作” = i A “第 i 个元件正常工作”， ni 2,,2,1 ? = ni AAAPAP 221 ,,,,)( ? = 相互?立。 那么 [ ] )()()( 22121 nnnn AAAAAAPAP ?? ++ += ] [ [ ] )2(2)()()()()()( 22121122122121 nnnnniinniiniinnnnn PPPPAPAPAPAAAPAAAPAAAP ?=?=?+= ? + = ??? =+==++ ??? )]())([()( 22211 nnnn AAAAAAPBP +××++= ++ ? nnniniiniininiini PPPPAPAPAPAPAAP)2(]2[)]()()()([)( 1211 ?=?=?+=+= ??? ==++=+ 10 . 10 ??券中含有 4 ?中?的?券，每人?? 1 ?，求 （ 1 ） 前三人中恰有一人中?的概率； （ 2 ） 第二人中?的概率。 解解解解：：：：令 = i A “第 i 个人中?”， 3,2,1 = i (1) )( 321321321 AAAAAAAAAP ++ 注：利用第 7 ?的方法可以? 明 )( ini AA + + 与 )( jnj AA + + ji ≠ ??立。 系统 I 1 2 n n +1 n +2 2 n 系统 II 1 n +1 2 n +2 n 2 n 8 )()()( 321321321 AAAPAAAPAAAP ++= )|()|()()|()|()()|()|()( 213121213121213121 AAAPAAPAPAAAPAAPAPAAAPAAPAP ++= 2 1 8 5 9 4 10 6 8 4 9 5 10 6 8 5 9 6 10 4 =××+××+××= 或 21 3102614 == CCCP （ 2 ） )|()()|()()( 1211212 AAPAPAAPAPAP += 5 2 9 4 10 6 9 3 10 4 =×+×= 11 . 在肝癌??中，有一种甲胎蛋白法，用?种方法能够?查出 95% 的真实患者，但也有可能? 10% 的人??。根据以往的??，每 10 000 人中有 4 人患有肝癌，?求： （ 1 ）某人经此??法??患有肝癌的概率； （ 2 ）已知某人经此??法??患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。 解解解解：：：： 令 = B “被??者患有肝癌”， = A “用???法??被??者患有肝癌” 那么， 0004.0)(,10.0)|(,95.0)|( === BPBAPBAP （ 1 ） )|()()|()()(BAPBPBAPBPAP += 10034.01.09996.095.00004.0 = ×+× = （ 2 ） )|()()|()()|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP += 0038.0 1 . 09996 . 095 . 00004 . 0 95.00004.0 =×+× × = ? 12 . 一大批?品的优?品率? 30% ，每次任取 1 件，??抽取 5 次，?算下列事件的概率： （ 1 ）取到的 5 件?品中恰有 2 件是优?品； （ 2 ） 在取到的 5 件?品中已发?有 1 件是优?品，? 5 件中恰有 2 件是优?品。 解解解解：：：：令 = i B “ 5 件中有 i 件优?品”， 5,4,3,2,1,0 = i （ 1 ） 3087.0)7.0()3.0()( 32252 == ? CBP （ 2 ） )()()|()|( 00202512 BPBBPBBPBBP ii == = ∪ 371.0)7.0(13087.0)(1)( 502 =?=?= ? BPBP 9 13 . 每箱?品有 10 件，其次品?从 0 到 2 是等可能的。?箱???，从中任取 1 件，如果??是次品，????箱?品不合格而拒收。假设由于??有?， 1 件正品被??是次品的概率是 2% ， 1 件次品被?判是正品的概率是 5% ，??算： （ 1 ）抽取的 1 件?品?正品的概率； （ 2 ）?箱?品通??收的概率。 解解解解：：：：令 = A “抽取一件?品?正品” = i A “箱中有 i 件次品”， 2,1,0 = i = B “?箱?品通??收” （ 1 ） 9.0101031)|()()( 2020 =?×== ?? == iiii iAAPAPAP （ 2 ） )|()()|()()(ABPAPABPAPBP += 887.005.01.098.09.0 = ×+× = 14 . 假设一厂家生?的仪器，以概率 0.70 可以直接出厂，以概率 0.30 需?一步??，经??后以概率 0.80 可以出厂，并以概率 0.20 定?不合格品不能出厂。??厂新生?了 )2( ? nn 台仪器（假设各台仪器的生??程相互?立），求： （ 1 ）全部能出厂的概率； （ 2 ）其中恰有 2 件不能出厂的概率； （ 3 ）其中至少有 2 件不能出厂的概率。 解解解解：：：：令 = A “仪器需?一步??” ； = B “仪器能出厂” = A “仪器能直接出厂” ； = AB “仪器经??后能出厂” ?然 ABAB + = ， 那么 8.0)|(,3.0)( == ABPAP 24.08.03.0)|())( = × == ABPPAABP 所以 94.024.07.0)()()( =+=+= ABPAPBP 令 = i B “ n 件中恰有 i 件仪器能出厂”， ni ,,1,0 ? = （ 1 ） nn BP )94.0()( = （ 2 ） 2222222 )06.0()94.0()06.0()94.0()( ???? == nnnnnn CCBP （ 3 ） nnnnnnkk CBPBPBP )94.0()94.0(06.01)()(1)( 11120 ??=??= ???= ? 15 . ?行一系列?立??，每次??成功的概率均? p ，?求以下事件 的概率： （ 1 ）直到第 r 次才成功； （ 2 ）第 r 次成功之前恰失? k 次； （ 3 ）在 n 次中取得 )1( nrr ?? 次成功； 10 （ 4 ）直到第 n 次才取得 )1( nrr ?? 次成功。 解解解解：：：： （ 1 ） 1 )1( ? ?= r ppP （ 2 ） krrkr ppCP )1( 11 ?= ??+ （ 3 ） rnrrn ppCP ? ?= )1( （ 4 ） rnrrn ppCP ??? ?= )1( 11 16 . ?飞机?行 3 次?立射?，第一次射?命中率? 0.4 ，第二次? 0.5 ，第三次? 0.7 . ?中飞机一次而飞机被?落的概率? 0.2 ，?中飞机二次而飞机被?落的概率? 0.6 ，若被?中三次，?飞机必被?落。求射?三次飞机未被?落的概率。 解解解解：：：：令 = i A “恰有 i 次?中飞机”， 3,2,1,0 = i = B “飞机被?落” ?然： 09.0)7.01)(5.01)(4.01()( 0 =???= AP 36.07.0)5.01()4.01()7.01(5.0)4.01()7.01()5.01(4.0)( 1 =×?×?+?××?+?×?×= AP 41.07.05.0)4.01(7.0)5.01(4.0)7.01(5.04.0)( 2 =××?+×?×+?××= AP 14.07.05.04.0)( 3 = ×× = AP 而 0)|( 0 = ABP ，，，， 2.0)|( 1 = ABP ，，，， 6.0)|( 2 = ABP ，，，， 1)|( 3 = ABP 所以 458.0)|()()( 30 == ? = iii ABPAPBP ；；；； 542.0458.01)(1)( =?=?= BPBP 11 ???????? 1.3 解答解答解答解答 1. 设 X ?随机变量，且 k kXP 2 1)( == ( ? ,2,1 = k ), ? （ 1 ） 判?上面的式子是否? X 的概率分布； （ 2 ） 若是，?求 ） ?偶?XP ( 和 )5( ?XP . 解解解解：：：：令 ? ,2,1, 2 1)( ==== kpkXP kk （ 1 ）?然 10 ?? k p ，，，，且 1121 212111 =?== ?? ∞=∞= kkkk p 所以 ? ,2,1, 2 1)( === kkXP k ?一概率分布。 （ 2 ） XP ( ?偶? 31121) 41411212 =?=== ?? ∞=∞= kkkk p 161121)5( 212155 5 =?===? ?? ∞=∞= kkkk pXP 2.设随机变量 X 的概率分布? λ λ ? == ekCkXP k !)( ( ? ,2,1 = k ), 且 0 > λ ，求常? C . 解解解解：：：： 1! 1 = ?∞= ? λ λ ekc kk ∵ ，，，，而 1! 0 = ?∞= ? λ λ ek kk 1!01 0 = ?????? ?∴ ? λ λ ec ，，，，即 1 )1( ?? ?= λ ec 3. 设一次??成功的概率? )10( << pp ，不??行重复??，直到首次成功?止。用随机变量 X 表示??的次?，求 X 的概率分布。 解解解解：：：： ? ,2,1,)1()( 1 =?== ? kppkXP k 4. 设自动生??在?整以后出??品的概率? p =0.1 ，?生??程中出??品?立即?行?整， X 代表在两次?整之间生?的合格品?，?求 （ 1 ） X 的概率分布； （ 2 ） )5( ?XP 。 解解解解：：：： （ 1 ） ? ,2,1,0,1.0)9.0()1()( =×=?== kppkXP kk （ 2 ） 555 )9.0(1.0)9.0()()5( =×===? ?? ∞=∞= kkk kXPXP 5. 一?考卷上有 5 道???，每道?列出 4 个可能，其中有 1 个答案是正确的。求某学生靠猜?能答?至少 4 道?的概率是多少？ 12 解解解解：：：：因?学生靠猜?答?每道?的概率? 4 1 = p ，所以?是一个 5 = n , 4 1 = p 的?立重复??。 64 1) 4 3() 4 1( 4 3) 4 1()4( 0555445 =+×=?CCXP 6. ?了保?设备正常工作，需要配备适??量的?修人?。根据经?每台设备发生故障的概率? 0.01 ，各台设备工作情况相互?立。 （ 1 ）若由 1 人???修 20 台设备，求设备发生故障后不能及??修的概率； （ 2 ）设有设备 100 台， 1 台发生故障由 1 人处理，?至少需配备多少?修人?，才能保?设备发生故障而不能及??修的概率不超? 0.01 ？ 解解解解：：：： （ 1 ） 0175.0)99.0(01.020)99.0(1 1920 ?××?? （按 Poisson ( 泊松 ) 分布近似） （ 2 ） λ == × == 101.0100,100 npn （按 Poisson ( 泊松 ) 分布近似） 01.0!1)99.0()01.0()1( 100111001100100 ?×?=+? ?? +=?+=? NkkNkkkk keCNXP 查表得 4 = N 7. 设随机变量 X 服从参?? λ 的 Poisson( 泊松 ) 分布，且 21)0( == XP ，求 （ 1 ） λ ； （ 2 ） )1( > XP . 解解解解：：：： 2ln, 2 1 !0 )0( 0 =∴=== ? λλ λ eXP ∵ )]1()0([1)1(1)1( = + = ? = ? ? = > XPXPXPXP )2ln1( 2 1]2ln 2 1 2 1[1 ?=+?= 8. 设?籍上每页的印刷??的个? X 服从 Poisson( 泊松 ) 分布。经统?发?在某本?上，有一个印刷??与有两个印刷??的页?相同，求任意?? 4 页，每页上都?有印刷??的概率。 解解解解：：：： )2()1( === XPXP ∵ ，，，，即 2, !2!1 21 == ?? λλλ λλ ee 2 0 ? ==∴ eXP ）（ 842 )( ?? ==∴ eeP 9. 在长度?的?间间隔?，某急救中心收到?急呼救的次?服从参??的 Poisson 分布，而与?间间隔的起点无?（?间以小??），求 （ 1 ）某一天从中午 12 ?至下午 3 ??有收到?急呼救的概率； （ 2 ）某一天从中午 12 ?至下午 5 ?收到 1 次?急呼救的概率； 9. 在长度? t 的?间间隔?，某急救中心收到?急呼救的次? X 服从参?? 2 t 的 Poisson( 泊松 ) 分布，而与?间间隔的起点无?（?间以小??） . 求 （ 1 ）某一天从中午 12 ?至下午 3 ??有收到?急呼救的概率； （ 2 ）某一天从中午 12 ?至下午 5 ?收到 1 次?急呼救的概率； 13 解解解解：：：： （ 1 ） 23 )0( 2 3,3 ? ==== eXPt λ （ 2 ） 25 1)0(1)1( 2 5,5 ? ?==?=?==eXPXPt λ 10. 已知 X 的概率分布?： X - 2 - 1 0 1 2 3 P 2 a 10 1 3 a a a 2 a ?求（ 1 ） a ； （ 2 ） 1 2 ? = XY 的概率分布。 解解解解：：：： （ 1 ） 123 10 12 =+++++ aaaaa ∵ 10 1 =∴ a 。。。。 （ 2 ） Y 1 ? 0 3 8 P 10 3 5 1 10 3 5 1 11. 设??型随机变量 X 的概率密度曲?如? 1.3.8 所示 . ?求 : （ 1 ） t 的值； （ 2 ） X 的概率密度； （ 3 ） )22( ? < ? XP . 解解解解：：：： （ 1 ） 135.0 2 15.0)( 2 1 =××+×? t ∵ 1 ? = ∴ t f ( x ) ????1.3.1.3.1.3.1.3.8888 x t o 1 2 3 0.5 14 （ 2 ） ????????? ?+???+= 其它 ， 0)3,0[,2161)0,1[,2121)( xxxxxf （ 3 ） 1211)2161()2121()22 0120 =+?++=? XP . 解解解解：：：：令 1)( = ∫ +∞∞? dxxf ，即 1sin 0 = ∫ dxx a 1cos 0 =?∴ a x ，，，，即 2 ,0cos π == aa 23|cossin)6( 2626 =?==> ∫ ππππ π xxdxXP 13. 乘以什么常??使 xx e +? 2 变成概率密度函? ? 解解解解：：：：令 1 2 = ∫ +∞∞?+? dxce xx 即 1 41)21( 2 = ∫ +∞∞??? dxeec x 即 1 41 = π ce 41 1 ? =∴ ec π 14. 随机变量 ),(~ 2 σ? NX ，其概率密度函?? 644 2 6 1)( +?? = xx exf π ( +∞<< ∞ ? x ) ?求 2 , σ? ；若已知 ∫∫ ∞?+∞ = CC dxxfdxxf )()( ，求 C . 解解解解：：：： 222 )3(2)2(644 32161)( ??+?? == xxx eexf ππ ∵ 2 = ∴ ? , 3 2 = σ 15 若 ∫∫ ∞?+∞ = cc dxxfdxxf )()( ，由正?分布的??性 可知 2 == ? c . 15. 设??型随机变量 X 的概率密度? ??? ??= 其他 ,010,2)( xxxf 以 Y 表示? X 的三次?立重复??中“ 21 ?X ”出?的次?，?求概率 )2( = YP . 解解解解：：：： 412)21( 210 ==? ∫ xdxXP 64 9) 4 3() 4 1()2( 223 === CYP 。。。。 16. 设随机变量 X 服从 [1,5] 上的均?分布，?求 )( 21 xXxP << . 如果 （ 1 ） 51 21 <<< xx ； （ 2 ） 21 51 xx <<< . 解解解解：：：： X 的概率密度? ????? ??= 其他 ,051,41)( xxf （ 1 ） ∫ ?==<< 2 1221 )1(4141)( x xdxxXxP （ 2 ） ∫ ?==<< 5121 1 )5(4141)( x xdxxXxP 17. 设?客排?等待服务的?间 X （以分?）服从 51 = λ 的指?分布。某?客等待服务，若超? 10 分钟，他就离?。他一个月要去等待服务 5 次，以 Y表示一个月?他未等到服务而离?的次?，?求 Y 的概率分布和 )1( ?YP . 解解解解：：：： 21051 ]1[1)10(1)10( ?×? =??=表格