正交矩阵的正交分解(householder分解)

第 21 卷 　第 2 期 　　　　　　　　　　　　　　　　高 师 理 科 学 刊 　　　　　　　　　　　　　　　Vol. 21 　No. 2 　　文章编号 :1007 - 9831 (2001) 02 - 0019 - 04 正交矩阵的正交分解 曲　茹 ,王淑华 (齐齐哈尔实验中学 ,黑龙江 齐齐哈尔 161006) 摘要 :探讨了一类特殊正交矩阵 —镜象矩阵的若干性质及任意 n 阶正交矩阵都可分解为有限个 镜象矩阵的乘积的可能性、唯一性、因子个数. 关键词 :正交矩阵 ;镜象矩阵 中图分类号 :O151121 　　　文献标识码 :A 　　收稿日期 :2001 - 02 - 26 　　作者简介 :曲茹 (1965 —) ,女 ,黑龙江齐齐哈尔人 ,齐齐哈尔市实验中学一级教师. 　　在矩阵分解理论中 ,矩阵的乘积分解在理论与应用上尤为重要. 任意 n 阶正交矩阵 (可逆) 可写成若 干个初等矩阵的乘积是一种乘积分解 ,本文旨在讨论任意 n阶正交矩阵都可写成有限个镜象矩阵的乘积 , 即正交矩阵的正交因子分解. 　　在[1 ] 中 ,我们认识了 n 维欧氏空间的正文变换关于正交基的矩阵 ———正交矩阵的一一对应关 系及相应性质. 在 §813习题 7中有结论 : n 维欧氏空间的每一正交变换都可表成若干个镜面反射的乘积 , 我们将用矩阵语言给出平行定理 ———任一 n 阶正交矩阵都可写成有限个镜象矩阵的乘积 ,并深入讨论因 子个数与阶数 n 及所给正交矩阵的行列式的关系及镜象矩阵的性质. 本文所用述语及符号同[1 ]. 　　定义 1 　正交变换略 (见[1 ]P321 定义或定理 81311) 1 　　定义 2 　一个 n 阶实矩阵 U 叫做一个正交矩阵 ,如果 　U U′= U′U = I 　(见[1 ]P317) 1 　　定义 3 　设 V 是一个 n 维欧氏空间 ,α ∈ V 是一个非零向量 ,定义 τ(ξ) = ξ - 2〈ξ,α〉〈α,α〉α　　　Πξ∈ V 则τ是 V 的一个正交变换 ,且τ2 = L ( L 为单位变换) 称τ是由向量α决定的一个镜面反射. 　　定义4 　令上述 V = R n ,设 u = ( u1 , u2 , ⋯, un)′∈R n 且满足 u′u = 1 ,称 n阶方阵 H = I n - 2 uu′　 为实镜象矩阵 (见[2 ]P56) 1 　　引理 1 　设 U 为正交矩阵 ,则 U 的行列式为 ±1 (见[1 ] P320 ,习题 10 (1) ) 1 　　若 | U | = 1 ,称 U 为第一类正交矩阵 ;若 | U | = - 1 ,称 U 为第二类正交矩阵 1 　　引理 2 　设 V 为 n 维欧氏空间 ,则 　　1) 对于 V 中任意两个不同的单位向量α,β存在一个镜面反射τ,使τ(α) = β. 　　2) V 的每一正交变换σ都可以表成若干个镜面反射的乘积. (见[1 ]P329 习题 7) 1 　　定理 1 　设 H 为 n 阶镜象矩阵 ,则 1) H 为正交矩阵 ;2) H 为对称矩阵 ;3) H 为对合矩阵 ;4) H 的行列 式为 - 1 ;5) n 维欧氏空间的任一镜面反射关于任意标准正交基的矩阵必为镜象矩阵 ,反之任一镜象阵可 唯一确定一个镜面反射 1 　　证 　　由定义 4 ,1) 、2) 、3) 显然成立 1 　　4) 令 u = ( u1 , u2 , ⋯, un)′, ∑ i = 1 u 2 i = 1 2001 年 　5 月 　　　　　　　　　Journal of Science of Teachers′College and University 　　　　　　　　　　May 　2001 Administrator 线条 Administrator 线条 Administrator 线条 　　| H | = | I n - 2 uu′| = 1 - 2 u21 　 - 2 u1 u2 　⋯　 - 2 u1 un - 2 u2 u1 　1 - 2 u22 　⋯　 - 2 u2 un 　⋯　　　⋯　　　⋯　　　⋯ - 2 u nu1 　 - 2 un u2 　⋯　1 - 2 u2n = 1 　　2 u1 　2 u2 　 ⋯　 　2 un u1 　　1 　　　0 　 　 ⋯　　0 u2 　　0 　　　1 　 　 ⋯　　0 ⋯ 　　⋯　　⋯　　 ⋯　　⋯ un 　 　0 　 　0 　 　⋯　　1 　　 = 1 - ρn i = 1 2 u2i 　2 u1 　⋯　2 un 　0 　　　　1 　　⋯　　1 　⋯　　 　⋯　　⋯　　⋯ 　0 　　　　0 　　⋯　　1 = 1 - ρn i = 1 2 u2i = 1 - 2 ρn i = 1 u 2 i = - 1 , ( ρn i = 1 u 2 i = 1) 　　5) 设 V 是一个 n 维欧氏空间 ,由定义3 ,若取γ1 = α| α| ,并将其扩充成 V 的一个标准正交基{γ1 ,γ2 , ⋯γn} ,则易证镜面反射τ关于此基的矩阵为 H = - 1 　　　 　　1 　　 　　　ω 　　　　1 　　由定义 4 ,令 H = In - 2 uu′,再令 u = ( x 1 ⋯x n)′ 　　易求得 u = (1 ,0 , ⋯,0)′,故 H 为由单位向量 u 决定的镜象阵 ,再设τ关于任意标准正交基{α1 , ⋯, αn} 的矩阵为 A , U 为由{α1 , ⋯,αn} 到{γ1 , ⋯,γn} 的过渡矩阵 , 有 U - 1 A U = H , 有 A = U HU - 1 = U HU′( 3 ) ,其中 H、U 皆为正交矩阵 ,显然 A 为正交矩阵 ,又 A′= ( U HU′)′= A , A 为对称阵 ,且 | A | = | U | | H | | U′| = | H | = - 1 ,还可证 A 2 = I ,即 1) 、2) 、3) 、4) 被满足 ,又由 ( 3 ) 式 , A = U HU - 1 = U ( In22 uu′) U - 1 = U I nU - 1 - 2 ( U u)′( u′U - 1) = I n - 2 uu′,故 A 为镜象矩阵. 　　反之 ,设 H = ( hij) 为任一镜象矩阵 ,由正交矩阵性质 , H 每一列 (行) 向量均为单位向量 ,有 | hij | ≤1 ;再令 uu′= 12 ( In - H) 即 　　 x 2 1 　 x 1 x 2 　⋯　x 1 x n x 1 x 2 　x 22 　 ⋯　x 2 x n ⋯　　⋯　　⋯　　⋯ x n x 1 　x n x 2 　⋯　x 2n = 1 2 1 - h11 　 - h12 　 　⋯ 　 - h1 n - h21 　1 - h22 　⋯　 - h2 n ⋯　　　　⋯　　⋯　　⋯ - hn1 　 - hn2 　　⋯　1 - hnn 　　由矩阵相等 ,有 x 2i = 12 (1 - hij) ( (1 - hij) > 0) 又 x iy i = - 1 2 hij . 可解出两个互为相反的单位向量 ±u = ( x 1 ⋯x n)′,由 ±u 可确定同一镜面反射τ:τ(ξ) = ξ - 2〈ξ, u〉u ,τ1 (ξ) = ξ - 2〈ξ1 , - u〉( - u) = ξ - 2 < ξ, u > u ,于是τ = τ1 . 　　以上 n 维欧氏空间的镜面反射与镜象矩阵一一对应 ,由上证可知 ,若 H = I n - 2 uu′为镜象矩 阵 ,则有 1) 、2) 、3) 、4) 、5) 同时成立 ,其中 1) 、2) 、3) 任两条可推出另一条成立 ,反之 ,一个 n 阶实矩阵 H 如 同时满足 1) 、2) 、3) 、4) 、5) (或 1) 、2) 、4) 、5) ) 才可说 H 为镜象矩阵. 　　定理 2 　任一 n 阶正交矩阵都可以写成有限个镜象矩阵的乘积. 　　证 　 　　设 A = (α1 ,α2 ⋯αn) 是任意 n 阶正交矩阵但 A ≠ I1α1 ,α2 ⋯αn 为 A 的 n 个列向量 ,由 A 为正交矩 阵 , {α1 ⋯αn} 为 R n 的一个标准正交基 ,即 (αi ,αj) = 1 　i = j 0 　i ≠ j ,取 α1 ≠0 ,令β1 = (| α1 | ,0 ⋯0)′= (1 , 0 , ⋯,0)′,显然 | β1 | = | α1 | ,α1 ≠β1 . 　　令 U = α1 - β1| α1 - β1 | ,存在镜象阵 H1 = I n - 2 uu′ 　　有 H1α1 = ( I n - 2 uu′)α1 = α1 - 2 u ( u′α1) = α1 - 2 u〈 uα1〉 = α1 - 2 α1 - β1 | α1 - β1 | 2 (〈α1α1〉-〈β1α1〉) 02　　　　　　　　　　　　　　　　　高 师 理 科 学 刊 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第 21 卷 Administrator 线条 = α1 - α1 - β1 1 -〈α1 ,β1〉(1 -〈α1 ,β1〉) = β1 　　H1 A = ( H1α1 H1α2 ⋯H1αn) = (β1 , Hα2 ⋯Hαn) 　　H1 A = | α1 | 　3 0 　　A 1 = 1 　3 0 　A 1 　　由 H1 A 为正交矩阵 ,故 H1 A 的第一个行向量 3 中均为零元素 ,从而 H1 A = 1 　 00 　A 1 　　又 ( H1 A ) ( H1 A )′= 1 　 0 0 　A 1 1 　 0 0 　A 1′ = 1 　　0 0 　A A′1 = 1 　　0 0 　I n - 1 ,得 A 1 A′1 = I n - 1 ,故 A 1 为 n - 1 阶正交矩阵. 　　对 A 1 再施行上述方法 ,存在 n - 1 阶镜象矩阵 H2′,使 H2′A 1 = 1 　 0 0 　A 2 , A 2 为 n - 2 阶正交阵 , 　　令 H2 = 1 　 0 0 　 H′2 ,有 H2 H1 A = 1 　　 　1 　 　　A 2 如此继续下去 ,有限步终止 ,最后得 Hs Hs - 1 ⋯H2 H1 A = I n (1) 　　A - 1 = Hs ⋯H1 , A = H1 H2 ⋯Hs ,即 A 写成了有限个镜象矩阵的乘积. 其中 1 ≤ s ≤ n . 　　推论 　任一 n 阶镜象矩阵 H 不能再分 ,或 H 为“素元”这是镜象矩阵的又一性质. 　　对非单位的正交矩阵分解的因子个数有 　　定理 3 　1) 任意 n 阶 ( n 为偶数) 行列式为 1 的正交矩阵分解为镜象矩阵的个数一定为小于或等于 n 的偶数. 　　任意 n 阶 ( n 为偶数) 行列式为 - 1 的正交矩阵分解为镜象矩阵的个数只能为小于 n 的奇数. 　　2) 任意 n 阶 ( n 为奇数) 行列式为 1 的正交矩阵可分解为镜象矩阵的个数只能为小于 n 的偶数. 　　任意 n 阶 ( n 为奇数) 行列式为 - 1 的正交矩阵可分解为镜象阵的个数一定为小于或等于 n 的奇数. 　　证 　 　　1) 设 A 为 n 阶正交阵 , n 为偶数 ,且 | A | = 1 ,由定理 2 , 　　A = H1 H2 ⋯Hs , 　　(1) 1 ≤ s ≤ n , Hi ( i = 1 ,2 ⋯, s) 为 n 阶镜象阵 ,由定理 1、4) 每 | Hi | = - 1 　　因 | A | = 1 , A 非镜象阵 ,一定可分解 ,故 S > 1 . 　　若 S 为奇数 ,则 | A | = | H1 | | H2 | ⋯| HS | = - 1 与 | A | = 1 矛盾 ,故 S 为小于或等于 n 的偶数 , 若 A 为 n 阶正交阵 , n 为偶数 ,但 | A | = - 1 ,由上 , A = H1 H2 ⋯Hs 　　若 S 为偶数 ,则 | A | = 1 与 | A | = - 1 矛盾 ,故 S 只能为小于 n 的奇数. 　　2) 设 A 为 n 阶正交矩阵 , n 为奇数 , | A | = 1 . 　　A 有分解 , A = H1 H2 ⋯Hs ,由 1) 易证 ,1 < s < n ,且 s 只能为小于 n 的偶数. 　　n 为奇数 , | A | = - 1 ,1 ≤ s ≤ n , s 为小于或等于 n 的奇数. 　　无论 1) ,2) 哪种情况 , S 小于 n 或等于 n 由给定矩阵唯一确定. 　　例 1 　设 A = 2 5 　　 1 5 - 1 5 　 2 5 为二阶正交阵 ,且 | A | = 1 由定理 2 方法有 　　A = H1 H2 = 2 5 　　 - 1 5 - 1 5 　 - 2 5 1 　 　 - 1 H1 , H2 为镜象阵 ,由定理 3 ,1 ) , n = 2 , | A | = 1 ,因子个数为 小于、等于 2 的偶数 ,只有 S = 2 ,故任意二阶行列式为 1 的正交阵可唯一写成两个镜阵的乘积. 12第 2 期 　　　　　　　　　　　 　 　　　　　曲茹等 :正交矩阵的正交分解 　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 Administrator 线条 Administrator 线条 Administrator 线条 　　又 n = 2 , | A | = - 1 因子个数为小于 2 的奇数 ,故 S 只能为 1 ,即任意二阶行列式为 - 1 的正交阵 皆为镜象阵 ,如 H1 , H2 . 　　例 2 设 A = 2 3 　　 2 3 　 1 3 - 2 3 　 1 3 　 2 3 1 3 　 - 2 3 　 2 3 为三阶正交阵 ,且 | A | = 1 ,由 定理 3 ,2) n = 3 , | A | = 1 , A 的因子 个数为小于 3 的偶数只有 2 ,即任意三阶行列式为 + 1 的正交矩阵都可唯一写成两个镜象阵的乘积. 　　设 B = - 1 3 　 - 2 5 　 2 3 5 - 2 3 　 1 5 　 4 3 5 2 3 　 　0 　　 5 3 5 为正交阵 ,且 | B | = - 1 ,由定理 1 ,知 B 非镜象 ,可分解 ,由 由定理 3 ,2) n = 3 , | B | = - 1 , B 分解因与个数 S 应为小于或等于 3 的奇数 ,即 S = 1 或 3 . 　　即任意三阶行列式为 - 1 的非镜象矩阵都可唯一写成三个镜象阵的乘积 ,任意三阶镜象阵不可再分. 　　例 1 ,例 2 ,说明任意二阶及三阶正交矩阵的正交因子分解的可能性、唯一性、因子个数已研究清楚. 参考文献 : 〔1〕张禾瑞、郝炳新. 高等代数[ M ]第 3 版 1 北京 :高等教育出版社 ,19841 〔2〕白述伟. 高等代数选择[ M ]1 哈尔滨 :黑龙江教育出版社 ,19961 〔3〕屠伯埙. 线性代数 ———方法导引[ M ] . 上海 :复旦大学出版社. The qrthogonal resolution of orthogonal matrix QU Ru ,WAN G Shu - hua (Qiqihar Shiyan High School ,Qiqihar 161006 ,China) Abstract : Probes into some qualities of special orthogonal matrix - mirror image matix ,and explains the possi2 bility of resoluting random n - step orthogonal matrix into the product of finite mirror image matrinex ,and its number of factors. Key 　words :orthogonal matrix ;mirror image matrix 22　　　　　　　　　　　　　　　　　高 师 理 科 学 刊 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第 21 卷