第三章函数逼近1

null数值分析数值分析第三章 函数逼近与曲线拟合null 当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及到在区间[a,b]上用简单函数逼近已知复杂函数的问，这就是函数逼近问题。插值法就是函数逼近问题的一种null但是① m 很大；② yi 本身是测量值，不准确，即 yi  f (xi)这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi)  yi 总体上尽可能小。使误差在某种度量意义下最小null太复杂Wait a second! You only gave me a critical point, but it’s not necessarily a minimum point !null实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表 是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数 是记录:null纤维强度随拉伸 倍数增加而增加并且24个点大致分 布在一条直线附近必须找到一种度量来衡量什么曲线最接近所有数据点(1)null最小二乘法的基本概念一般使用在回归分析中称为残差称为平方误差null在回归分析中称为残差平方和从而确定(1)中的待定系数注意(1)式是一条直线因此将问题一般化null仍然定义平方误差null我们选取的度量标准是---------(2)---------(3)nullnull法方程组由可知因此可假设因此求最小二乘解转化为二次函数null由多元函数取极值的必要条件得即null---------(4)即null引入记号则由内积的概念可知---------(5)---------(6)显然内积满足交换律null方程组(4)便可化为---------(7)将其表示成矩阵形式-----(8)null并且其系数矩阵为对称阵所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解null即是的最小值所以因此null作为一种简单的情况,基函数之间的内积为平方误差null例1. 回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组根据内积公式，可得null法方程组为解得平方误差为null拟合曲线与散点 的关系如右图:null例2.求拟合下列数据的最小二乘解x=.24 .65 .95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99 y=.23 -.26 -1.10 -.45 .27 .10 -.29 .24.56 1解:从数据的散点图可以看出因此假设拟合函数与基函数分别为null通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为Go!null用Gauss列主元消去法,得拟合的平方误差为图象如图null例3.在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的 数据如下，试建立y关于t的经验公式x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00, 10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:null例：(xi , yi) , i = 1, 2, …, mBut hey, the system of equations for a and b is nonlinear !Take it easy! We just have to linearize it …null( a > 0, b > 0 )null① 离散型 /*discrete type */加权最小二乘法null各点的重要性可能是不一样的重度:即权重或者密度，统称为权系数 定义加权 平方误差为-----(9)null解： 0(x) = 1， 1(x) = x， 2(x) = x2It is soooo simple! What can possibly go wrong?null Hilbert阵！若能取函数族={ 0(x), 1(x), … , n(x), … }，使得任意一对i(x)和j(x)两两（带权）正交，则 B 就化为对角阵！ 这时直接可算出ak =Well, no free lunch anyway… 正交多项式的构造：将正交函数族中的k 取为k 阶多项式，为简单起见，可取k 的首项系数为 1 。有递推 关系式：null解：通过正交多项式 0(x), 1(x), 2(x) 求解注：手算时也可用待定系数法确定函数族。nullnull用正交多项式作最小二乘拟合*即正交多项式如何选取呢-----(14)null使得null由可知因此null而因此null可知最后可得正交多项式选取的方法:-----(15)由null使得由正交多项式的性质,法方程组null-----(16)-----(17)可化为即得即为利用正交多项式的最小二乘解null平方误差为null例4.是用最小二乘法求拟合这组数据的多项式解:从散点图可知数据和二次多项式拟合较好因此选用二次多项式作 这组数据的拟合函数null设拟合函数取null