高考数学2009年高考试题——数学(天津卷)(理)

知识改变命运，学习成就未来 高考数学2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工农医类） 参考公式： 。如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。 。棱柱的体积公式V=sh。其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 1、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 INCLUDEPICTURE "http://192.168.15.6/UpFile/UpAttachment/2009-1/2009189344.jpg" \* MERGEFORMAT （1） i是虚数单位， = （A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i （2）设变量x，y满足约束条件： .则目标函数z=2x+3y的最小值为 （A）6 （B）7 （C）8 （D）23 （3）命题“存在 R， EMBED Equation.DSMT4 0”的否定是 （A）不存在 R, >0 （B）存在 R, EMBED Equation.DSMT4 0 （C）对任意的 R, EMBED Equation.DSMT4 0 （D）对任意的 R, >0 （4）设函数 则 A在区间 内均有零点。 B在区间 内均无零点。 C在区间 内有零点，在区间 内无零点。 D在区间 内无零点，在区间 内有零点。 （5）阅读右图的程序框图，则输出的S= A 26 B 35 C 40 D 57 (6）设 若 的最小值为 A 8 B 4 C 1 D （7）已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数 的图象，只要将 的图象 A 向左平移 个单位长度 B 向右平移 个单位长度 C 向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度 （8）已知函数 若 则实数 的取值范围是 A B C D （9）．设抛物线 =2x的焦点为F，过点M（ ，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C， =2，则 BCF与 ACF的成面积之比 = （A） （B） （C） （D） （10）.0＜b＜1+a,若关于x 的不等式 ＞ 的解集中的整数恰有3个，则 （A）-1＜a＜0 （B）0＜a＜1 （C）1＜a＜3 （D）3＜a＜6 二．填空题：（6小题，每题4分，共24分） （11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调 查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取 一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生， B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。 （12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 ，则 a=_______ (13) 设直线 的参数方程为 （t为参数），直线 的方程为y=3x+4则 与 的距离为_______ (14)若圆 与圆 （a>0）的公共弦的长为 ， 则a=___________ (15)在四边形ABCD中， = =（1，1）， ，则四边形ABCD的面积是 （16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答） 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） 在⊿ABC中，BC= ，AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值： (II) 求sin 的值 （18）（本小题满分12分） 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求： （I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； （II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。 （19）（本小题满分12分） 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，AB AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小； (II) 证明平面AMD 平面CDE； （III）求二面角A-CD-E的余弦值。 （20）（本小题满分12分） 已知函数 其中 （1） 当 时，求曲线 处的切线的斜率； （2） 当 时，求函数 的单调区间与极值。 （21）（本小题满分14分） 以知椭圆 的两个焦点分别为 ，过点 的直线与椭圆相交与 两点，且 。 （1） 求椭圆的离心率； （2） 求直线AB的斜率； （3） 设点C与点A关于坐标原点对称，直线 上有一点 在 EMBED Equation.DSMT4 的外接圆上，求 的值 （22）（本小题满分14分） (I) 已知等差数列{ }的公差为d（d 0），等比数列{ }的公比为q（q>1）。设 = + …..+ , = - +…..+(-1 ,n EMBED Equation.DSMT4 (II) 若 = = 1，d=2，q=3，求 的值； (III) 若 =1，证明（1-q） -（1+q） = ，n EMBED Equation.DSMT4 ； (Ⅲ) 若正数n满足2 n q，设 的两个不同的排列， ， 证明 。 2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）参考解答 1． 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。 （1）D （2）B （3）D （4）D （5） C （6）B （7）A （8）C （9）A （10）C 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。 （11） 40 （12） （13） （14） 1 （15） （16）324 三．解答题 （17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。 （Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理， 于是AB= （Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA= 于是 sinA= 从而sin2A=2sinAcosA= ,cos2A=cos2A-sin2A= 所以 sin(2A- )=sin2Acos -cos2Asin = (18)本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。 （Ⅰ）解：由于从10件产品中任取3件的结果为 ，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为 ，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P X的数学期望EX= （Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而 P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= , 所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = (19)本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分. 方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FE AP，所以FA EP，同理AB PC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= ，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60° （II）证明：因为 （III） 由（I）可得， 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系， 点 为坐标原点。设 依题意得 EMBED Equation.3 （I） 所以异面直线 与 所成的角的大小为 . （II）证明： ， （III） 又由题设，平面 的一个法向量为 （20）本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。 （I）解： （II） 以下分两种情况讨论。 （1） ＞ ，则 ＜ .当 变化时， 的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ （2） ＜ ，则 ＞ ，当 变化时， 的变化情况如下表： + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ （21）本小题主要考查椭圆的方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分 （I） 解：由 // 且 ，得 ，从而 整理，得 ，故离心率 （II） 解：由（I）得 ，所以椭圆的方程可写为 设直线AB的方程为 ，即 . 由已知设 ，则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得 . 依题意， 而 ① ② 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 ③ 联立①③解得 EMBED Equation.DSMT4 ， 将 代入②中，解得 . (III)解法一：由（II）可知 当 时，得 ，由已知得 . 线段 的垂直平分线l的方程为 直线l与x轴 的交点 是 外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 . 直线 的方程为 ，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ， 由 解得 故 当 时，同理可得 . 解法二：由（II）可知 当 时，得 ,由已知得 由椭圆的对称性可知B， ，C三点共线，因为点H（m，n）在 的外接圆上， 且 ，所以四边形 为等腰梯形. 由直线 的方程为 ,知点H的坐标为 . 因为 ，所以 ，解得m=c（舍），或 . 则 ，所以 . 当 时同理可得 （22）本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合和解决问题的能力的能力，满分14分。 （Ⅰ）解：由题设，可得 所以， （Ⅱ）证明：由题设可得 则 ① ② 1 式减去②式，得 1 式加上②式，得 ③ 2 式两边同乘q，得 所以， (Ⅲ)证明： 因为 所以 （1） 若 ，取i=n （2） 若 ，取i满足 且 由（1）,(2)及题设知， 且 1 当 时，得 即 ， …， 又 所以 因此 2 当 同理可得 ，因此 综上， 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com 第 1 页 共 11 页 _1306241102.unknown _1306245205.unknown _1306245845.unknown _1306247983.unknown _1306248149.unknown _1306248167.unknown _1306248207.unknown _1306248326.unknown _1306248325.unknown _1306248177.unknown _1306248155.unknown _1306248056.unknown _1306248084.unknown _1306248112.unknown _1306248095.unknown _1306248058.unknown _1306248019.unknown _1306248029.unknown _1306248054.unknown _1306247999.unknown _1306248008.unknown _1306247991.unknown _1306247723.unknown _1306247955.unknown _1306247969.unknown _1306247823.unknown _1306245895.unknown _1306246152.unknown _1306246158.unknown _1306246257.unknown _1306245984.unknown _1306245854.unknown _1306245634.unknown _1306245691.unknown _1306245786.unknown _1306245808.unknown _1306245744.unknown _1306245667.unknown _1306245680.unknown _1306245651.unknown _1306245408.unknown _1306245503.unknown _1306245607.unknown _1306245614.unknown _1306245538.unknown _1306245579.unknown _1306245414.unknown _1306245455.unknown _1306245362.unknown _1306245382.unknown _1306245399.unknown _1306245365.unknown _1306245235.unknown _1306245360.unknown _1306245361.unknown _1306245270.unknown _1306245219.unknown _1306245228.unknown _1306245218.unknown _1306243524.unknown _1306244812.unknown _1306244984.unknown _1306245058.unknown _1306245081.unknown _1306245118.unknown _1306245152.unknown _1306245117.unknown _1306245070.unknown _1306245024.unknown _1306245044.unknown _1306245027.unknown _1306245015.unknown 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