集合系

18 § 1.3 集 类 教学目的 本节继前面两节之后,从另一侧面继续介绍与一般集相关的基 础知识. 本节给出几种在测度论中常见集类. 介绍了本节集类的知识后,将可 以有效简化测度论若干定理的证明. 本节要点 本节介绍了在测度论常见的几种集类,如环,代数和σ -代数等. 本节介绍的集类较多, 应注意理清各个集类之间的相互关系. 与σ -代数相 关的概念及其应用是本节的重点. 集类 设 X为一固定的非空集. 以 X的一些子集为元素的集称为 X上的集类. 集类一般 用花体字母如A ,B ,C 等示. 例如, 由直线 1R 上开区间的全体所成的集就是 1R 上的一 个集类. 本节若无特别申明, 均设所考虑的集类都是 X上的集类. 在测度论中经常要用到具有某些运算封闭性的集类. 对集类要求不同的运算封闭性就 得到不同的集类. 本节介绍常见的几种集类, 主要包括半环, 环, 代数和σ -代数. 这几种集 类对运算封闭性的要求一个比一个强. I 半环与环 定义 1 设C 是一集类, 若C 满足条件 (1) ∈∅ C (2) 若 .,, CC ∈∩∈ BABA 则 (3) 若 ,, C∈BA 则存在C 中有限个互不相交的集 ,,,1 nCC " 使得 . 1 ∪n i iCBA = =− 则C 称为半环. 例 1 设 }:],{( +∞<≤<−∞= babaC 是直线上左开右闭有界区间的全体. 则C 是一 个半环. 定义 2 设R 是一个非空集类. 若R 对并运算和差运算封闭, 则称R 为环. 定理 3设R 是一个非空集类. 则 (1) 若R 对不相交并和差运算封闭, 则R 是环. (2) 若R 是一个环. 则 ∈∅ R 并且R 对交运算封闭 证明 由于 ),( BAABA −∪=∪ 故集的并可以通过差运算和不相交并运算得到. 因 19 此若R 对不相交并和差运算封闭, 则R 对并运算也封闭, 因而R 是一个环. 设R 是一个 环. 由于R 非空, 故存在 ∈A .R 于是 ∈−=∅ AA .R 由于 )),()(()( ABBABABA −∪−−∪=∩ 即交运算可以通过并运算和差运算得到, 因此R 对交运算封闭.■ 例 2 设R },:{ 的有限子集是XAA= 则R 是一个环. 定理 4 设C 是一个半环. 令 R }.1,,,:{ 1 1 ≥= = kCCC k k i i 并且互不相交属于C"∪ (1) 则R 是一个环. 并且R 是包含C 的最小的环. 证明 显然 .RC ⊂ 由定理 3, 为证R 是一个环, 只需证明R 对不相交并和差运算封闭 即可. 显然R 对不相交并算封闭. 往证R 对差运算封闭. 设 1 n ii A A==∪ 和 1n jjB B==∪ 是R 中任意两个集. 则 .)()()( 1 111 ∪∪∪∪ n i m j ji n i i n i i BABABA = === ∩=∩=∩ 由于C 对交运算, 利用上述等式知道R 对交运算封闭. 我们有 .)( 1 111 ∪∩∪∪ n i m j ji m j j n i i BABABA = === −=−=− (2) 由于C 是半环, 故 ji BA − 可以表示为C 中的有限个集的不相交并, 因此由R 的定义知道 ∈− ji BA R . 上 面 已 证 R 对 交 运 算 封 闭 , 因 此 1( ) m i jj A B= − ∈∩ R . 由 于 { }1( ) : 1, ,m i jj A B i n= − = "∩ 中的集互不相交并且R 对不相交并运算封闭 , 由(2)知道 ∈− BA R . 即R 对差运算封闭. 所以R 是一个包含C 的环. 显然,若R ′是任意包含C 的 环,则 ⊂R .R ′ 即R 是包含C 的最小的环(图 3—1是当C 是例 1中的半环的情形). ■ 1A 2A 1B 11 BA − � � � � � � ���� ���� � � � � ���� 2B 22 BA − �� ���� 21 AAA ∪= 21 BBB ∪= 20 图 3—1 我们称由(1)定义的环R 为由C 生成的环, 记为 ).(CR 由定理 4知道, )(CR 是包含C 的最小的环. 例 3 设 }.1),(],(],(:],({ 1 ≥≠∅=∩= = kjibababa jjii k i ii∪R 由例 1和定理 4知道R 是一个环. II 代数与σ -代数 定义 5 设A是一个非空集类. 若A对并运算和余运算封闭, 则称为一个代数. 容易知道, 集类A是一个代数当且仅当A 是一个包含全空间 X 的环. 结合环的运算 封闭性知道, 若A是一个代数, 则 A∈∅ X, 并且A对有限并、有限交、差和余运算封闭. 定义 6若F 是一个非空集类, 满足 (1) 若 ., FF ∈∈ cAA 则 (2) 若 .,,2,1, 1 FF ∈=∈ ∞ = ∪" n nn AnA 则 则称F 为一个σ -代数(或σ -域).. 例 4 设F = },,{ ∅X 则F 是 X 上的σ -代数. 这是 X 上的最小的σ -代数. 例 5 设 )(XP 是由 X 的全体子集所成的集类. 则 )(XP 是一个σ -代数. 这是 X 上的 最大的σ -代数. 例 6 设 X 是一个无限集. 令A .:{ AA= 或者 CA 是有限集}. 则A是 X 上的一个代 数. 由于A对可数并运算不封闭, 因此A不是一个σ -代数. 若令F AA :{= 或者 CA 至 多是可数集} 则F 是 X 上的一个σ -代数. 以上结论的验证留作习题. 定理 7设F 是一个σ -代数. 则 (1) ., FF ∈∈∅ X (2) F 对有限或可数并、有限或可数交、余和差运算封闭. 证明 由于 ,11 """ nnn AAAAA ∪∪∪=∪∪ 即有限并可以表示成可数并. 由于F 对可数并运算封闭, 因此F 对有限并运算封闭. 因此 F 是代数，由代数的性质知道 F∈∅,X 并且F 对有限交运算和差运算封闭。 由 De 21 Morgan公式得到 ,)( 11 C n C n n n AA ∪∩ ∞ = ∞ = = 由于F 对可数并和余运算的封闭性知道F 对可数交 运算封闭.■ 以上定义的四种集类的关系是, 每个σ -代数都是代数, 每个代数都是环, 每个环都是 半环. 思考题: 1.分别举例说明半环不必是环, 环不必是代数, 代数不必是σ -代数. 2. 举例说明σ -代数对任意多个集的并运算不一定封闭. 由集类生成的σ -代数 在定理 4中我们已经知道, 给定一个非空集类 ,C 存在一个包含 C 的最小的环 )(CR . 关于σ -代数和代数有类似的结果. 定理 8设C 是一个非空集类.则必存在唯一的一个σ -代数F ,满足 (1) F ⊃ C . (2) 对任何包含C 的 代数−σ ,F ′ 必有F ′ ⊃ F . 证明 由 X的全体子集所成的集类 )(XP 是一个 代数−σ . 因此至少存在一个包含C 的σ -代数. 令 F =∩ }.:{ 代数的是包含 −′′ σCFF 则 F 是 一 个 包 含 C 的 σ - 代 数 . 事 实 上 , 显 然 F 非 空 并 且 F ⊃ C . 设 .,2,1, "=∈ nAn F 往证 . 1 F∈ ∞ = ∪ n nA 设 F ′ 是任意一个包含 C 的 σ -代数 . 则 ∈nA ,F ′ .,2,1 "=n 由于F ′是σ -代数, 因此 . 1 F ′∈ ∞ = ∪ n nA 这表明 . 1 F∈ ∞ = ∪ n nA 因此F 对可数并运算封闭. 类似可以证明F 对余运算封闭. 因此F 是一个包含C 的 代数−σ .由 F 的定义知道, 对任何包含C 的 代数−σ ,F ′ 必有F ′ ⊃ F . 因此存在性得证.唯一性 是显然的.■ 由定理 8, 对任意一个非空集类C , 存在唯一的一个包含C 的最小的 代数−σ . 这个 σ -代数称为由C 生成的σ -代数, 记为 ).(Cσ 类似可定义由C 生成的代数, 记为 ).(CA 例 7 设C 是由 X 的单点子集的全体所成的集类. 则 )(Cσ AA :{= 或 cA 是有限集或可数集}. (3) 证明 将(3)的右边所定义的集类记为F . 显然F ⊃ C . 不难验证F 是一个σ -代数 (具体验证过程留作习题). 另一方面, 设F ′是任意一个包含C 的σ -代数. 若 A是至多可数 集, 则 A可以表示成单点集的有限并或可数并. 既然F ′包含C 并且对有限并和可数并运 22 算封闭, 因此 ∈A .F ′ 若 cA 是至多可数集, 则 ∈cA .F ′ 由于F ′对余运算封闭, 因此 ∈= ccAA )( .F ′ 这表明F ′ ⊃ F . 综上所证, F 是包含C 的最小的σ -σ -代数. 因此 =)(Cσ .F ■ 例 8 设 C = },:{ 的有限子集是XAA 1C = }.:{ 的有限子集是或 XAAA c 则 )(Cσ = ).( 1Cσ 证明 由于 1CC ⊂ ⊂ )( 1Cσ , 并且 )(Cσ 是包含 C 的最小 σ -代数 ,因此 )(Cσ ⊂ )( 1Cσ . 往证相反的包含关系. 设 A∈ 1C . 则 A 或者 cA 是有限集. 若 A 是有限集, 则 A∈C ⊂ ).(Cσ 若 cA 是有限集, 则 cA ∈C ⊂ ).(Cσ 由于 )(Cσ 对余运算封闭, 因此 A= ∈ccA )( ).(Cσ 这表明 1C ⊂ ).(Cσ 因此 )( 1Cσ ⊂ ).(Cσ 这就证明了 )(Cσ = ).( 1Cσ ■ 设C 是一个非空集类. 若F 是一个σ -代数并且C ⊂ ,F 则必有 )(Cσ ⊂ .F 这是因 为 )(Cσ 是包含的C 的最小的σ -代数. 由此得到测度论中常用的一种证明方法如下: 设我 们要证明由集类C 生成的 代数−σ )(Cσ 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F = P}.:{ 具有性质AA 然后证明(i).C ⊂ .F (ii).F 是一个σ -代数. 于是由 )(Cσ 的最小性知道 )(Cσ ⊂ .F 即 )(Cσ 中所有的集都具有性质 P. 在上述证明方法中, 具有性质 P 的集可以通俗的称为“好集”, 上述证明方法可以称为 “好集原理”. 以下部分不作为课堂讲授内容, 必要时仅介绍其主要结果, 不讲证明. π 类与λ类 定义 9 设C 是一个非空集类. (1) 称C 为π 类, 若C 对有限交运算封闭. (2) 称C 为λ类, 若C 满足 )i( . ∈X C . )ii( .若 ∈BA, C 并且 ,BA ⊃ 则 ∈− BA C (对包含差运算封闭). )iii( .若 ⊂}{ nA F 并且 ,↑nA 则 C∈ ∞ = ∪ 1n nA (对单调增加的集列的并运算封闭). 设C 是一个非空集类. 类似于 −σ 代数的情形, 存在一个包含C 的最小λ类, 称之为 由C 生成的λ类, 记为 ).(Cλ 定理 10 集类F 是 −σ 代数当且仅当F 既是π 类又是λ类. 证明 必要性是显然的. 往证充分性. 因为F 既是π 类又是λ类, 因此F 对余运算和 有限交运算封闭. 于是由 De Morgan 公式推出F 对有限并运算封闭. 设 }{ nA 是F 中的一 23 列 集 . 令 .1, 1 ≥= = nAB n i in ∪ 则 ⊂}{ nB F 并 且 .↑nB 由 于 F 是 λ 类 , 因 此 ∈= ∞ = ∞ = ∪∪ 11 n n n n BA .F 故F 对可数并运算封闭. 所以F 是一个 −σ 代数.■ 定理 11 设C 是一个π 类. 则 =)(Cλ ).(Cσ 推论 12 若C 是一个π 类, F 是一个λ类并且 ⊂C ,F 则 ⊂)(Cσ .F 证明 由定理 11 知道 =)(Cσ ).(Cλ 即 )(Cσ 是包含C 的最小λ类. 而F 是一个包含 C 的λ类, 因此 ⊂)(Cσ .F ■ 由推论 12 我们得到在测度论中另一个常用的证明方法. 设C 是一个π 类, 若我们要证 明 )(Cσ 中所有的集都具有某种性质 P. 令 F = AA :{ 具有性质 P}. 然后证明(i) C ⊂ .F (ii) F 是一个λ类. 于是由推论 12 知 )(Cσ ⊂ .F 即 )(Cσ 中所有 的集都具有性质 P. 小 结 本节介绍的环, 代数和σ -代数等是测度论中常见的几种集类. 它们的运算封闭 性一个比一个强. σ -代数是最重要的一种集类. 任何一个非空集类C 可以生成一个σ -代 数, 即 )(Cσ , 它是包含C 的最小σ -代数. 利用 )(Cσ 的性质, 得到测度论中常用的一种证 明方法即所谓“好集原理”, 常常可以简化一些定理的证明. 习 题 习题一, 第 18题—第 28题.