大一高数期末试题

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分). （1） =_____________. （2）曲线上与直线平行的切线方程为_________. （3）已知，且, 则___________ . （4）曲线的斜渐近线方程为 _________   （5）微分方程的通解为_________ 二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分). （1）下列积分结果正确的是（ D ） (A) (B) (C) (D) （2）数在内有定义，其导数的图形如图1-1所示，则（ D ）. (A)都是极值点. (B) 都是拐点. (C) 是极值点.，是拐点. (D) 是拐点，是极值点. 图1-1 （3）函数满足的一个微分方程是（ D ）. （A） （B） （C） （D） （4）设在处可导，则为（ A ）. (A) . (B) . (C) 0. (D)不存在 . 　　 （5）下列等式中正确的结果是 （ A ）. (A) (B) (C) (D)   三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.   1．求极限.   解 =-------1分 =-------2分 = -------1分 = -------2分   2.方程确定为的函数，求与. 解 ----------------------------（3分） ---------------------（6分）   3. 4. 计算不定积分 .   4.计算定积分. 解 --------- --------------- （3分） ----------------------------------------- ---------------------（6分） （或令） 四、解答题（本题共4小题，共29分）. 1．（本题6分）解微分方程. 2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．   解：建立坐标系如图   3. （本题8分）设在上有连续的导数，，且， 试求. 4. （本题8分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D. (1) (3)    求D的面积A; (2) (4)    求D绕直线旋转一周所得旋转体的体积V. 解：(1) 设切点的横坐标为，则曲线在点处的切线方程是 ----1分 由该切线过原点知 ，从而所以该切线的方程为 ----1分 平面图形D的面积 ----2分 （2） 切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为 ----2分 曲线与x轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为 ， ----1分 因此所求旋转体的体积为 ----1分 五、证明题（本题共1小题，共7分）. 1.证明对于任意的实数，. 解法一： 解法二：设则------------------------1分 因为------------------------—————— 1分 当时，单调增加，------------------------2分 当时，单调增加，------------------------2分 所以对于任意的实数，即。------------------------1分 解法三：由微分中值定理得， ，其中位于0到x之间。------------------------2分 当时，，。------------------------2分 当时，，。------------------------2分 所以对于任意的实数，。------------------------1分 x� � y� � PAGE 1