第三节

14 ⬅˄1.7˅᳝ dx qx 4Ɏɂ�r3 ൜ dy qy 4Ɏɂ�r3 ൜ dz qz 4Ɏɂ�r3 Ң㗠᳝ ­ ® °°° °° ¯ dx x ൜ dy y dy y ൜ dz z 㾷Пेᕫ � � � � � � � � � � � � ­ ® °°° °° ¯ y൜C1x z൜C 2 y ˄C1ˈC 2Ўӏᛣᐌ᭄˅ 䖭ህᰃ⬉എᔎᑺ E ⱘⶶ䞣㒓ᮍ⿟DŽ ݊೒ᔶᰃϔᮣҢതᷛॳ⚍ߎথⱘᇘ㒓ˈ೼⬉ᄺЁ⿄Ў⬉࡯㒓ˈ བ೒˄2ൖ 3˅DŽ д乬�� 1. 䇈ߎϟ᭄߫䞣എ᠔೼ⱘぎ䯈ऎඳˈᑊ∖ߎ݊ㄝؐ䴶˖ ( 1 ) u൜ 1 AxൕByൕCzൕD � ( 2 ) u൜ arcsin z x2ൕ y2 2. ∖ⶶ䞣എ A൜ x iൕ y jൕ 2z k 䖛⚍ M ( 1 , 2 , 3 )ⱘⶶ䞣ᮍ⿟DŽ 3. ∖⌕ԧ䗳ᑺЎ v൜ xy2iൕ x2y jൕ zy2k ⱘ⌕㒓ᮍ⿟DŽ ㄀Ѡ㡖��᭄䞣എⱘᮍ৥ᇐ᭄੠ẃᑺ ���ᮍ৥ᇐ᭄ ೼᭄䞣എЁˈ᭄䞣 u൜ u ( M )ⱘߚᏗ⢊މˈ⬅ࠡ㡖ⶹ䘧ˈৃҹ㮝ࡽѢㄝؐ䴶˄㒓˅ᴹ䖯 㸠њ㾷DŽԚᰃ䖭া㛑њ㾷ࠄ᭄䞣 u ೼എЁⱘᘏⱘߚᏗᚙމˈᰃϔ⾡ᭈԧᗻⱘњ㾷DŽ㗠ⷨお ᭄䞣എⱘ঺ϔϾ䞡㽕ᮍ䴶ˈህᰃ䖬㽕ᇍᅗ԰ሔ䚼ᗻⱘњ㾷ˈे䖬㽕㗗ᆳ᭄䞣 u ೼എЁ৘Ͼ ⚍໘ⱘ䚏ඳݙ⊓↣ϔᮍ৥ⱘব࣪ᚙމDŽЎℸˈ៥Ӏᓩ䖯ᮍ৥ᇐ᭄ⱘὖᗉDŽ � � ˄�˅�ᮍ৥ᇐ᭄ⱘᅮН˖䆒 M 0Ў᭄䞣എ u൜ u ( M )Ёⱘϔ⚍ˈҢ⚍ M 0ߎথᓩϔᴵᇘ 㒓 lˈ೼ l Ϟ⚍ M 0ⱘ䚏䖥পϔࡼ⚍ Mˈ䆄M 0M ൜ɏ�ˈ བ೒˄2ൖ 4˅DŽ㢹ᔧ M՜M 0ᯊˈ↨ᓣ οu ɏ ൜ u ( M )ൖ u ( M 0 ) M 0M ��������������������������������� ( 2.1 ) ⱘᵕ䰤ᄬ೼ˈ߭⿄ᅗЎߑ᭄ u ( M )೼⚍ M 0໘⊓ l ᮍ৥ⱘ y z x O ೒ 2ൖ 4 ɏ M M0 l 15 ᮍ৥ᇐ᭄ˈ䆄԰ μu μl M 0 ˈे μu μl M 0 ൜ lim M՜M 0 u ( M )ൖ u ( M 0 ) M 0M ������������������������������������������������������������ ( 2.1 ) ⬅ℸᅮНৃⶹˈᮍ৥ᇐ᭄ᰃߑ᭄ u ( M )೼ϔϾ⚍໘⊓ᶤҹᮍ৥ᇍ䎱⾏ⱘব࣪⥛ˈᬙᔧ μu μl >0ᯊˈߑ᭄ u⊓ l ᮍ৥ህᰃ๲ࡴⱘ˗ᔧ μu μl <0ᯊˈߑ᭄ u⊓ l ᮍ৥ህᰃޣᇥⱘDŽ �˄�˅�ᮍ৥ᇐ᭄ⱘ䅵ㅫ݀ᓣ��೼Ⳉ㾦തᷛ㋏Ёˈ䆒ߑ᭄ u൜ u ( x , y , z )೼⚍ M 0 ( x0 , y 0 , z0 )໘ৃᖂ˗cos Ƚ�ˈcos Ⱦ�ˈcos ɀ�Ў l ᮍ৥Ϟⱘᮍ৥ԭᓺ˗߭ߑ᭄ u೼⚍ M 0໘⊓ l ᮍ৥ ⱘᮍ৥ᇐ᭄ᖙᄬ೼ˈϨ⬅བϟ݀ᓣ㒭ߎ μu μl ൜ μu μx cosȽൕ μu μy cos Ⱦൕ μu μz cos ɀ��������������������������������������������������������� ( 2.2 ) ݊Ё μu μx , μu μy , μu μz ᰃ೼⚍ M 0໘ⱘأᇐ᭄DŽ 䆕˖བ೒˄2ൖ 4˅ˈ೼ᇘ㒓 l Ϟ⚍ M 0ⱘ䚏䖥পϔࡼ⚍ M ( x0 ൕοx , y0 ൕοy , z0 ൕοz ) . ಴ u೼⚍ M 0 ໘ৃᖂˈᬙ᳝ οu൜ u ( M )ൖ u ( M 0 )൜ μu μx οxൕ μu μy οyൕ μu μz οzൕɘɏ ˄݊Ё ɘ�೼ɏ�՜0ᯊ䍟Ѣ䳊˅ᇚϞᓣϸッ䰸ҹ ɏ�ˈᕫ � � � � � � � � � � � � � � � � � οu ɏ ൜ μu μx οx ɏ ൕ μu μy οy ɏ ൕ μu μz οz ɏ ൕɘ े � οu ɏ ൜ μu μx cos Ƚൕ μu μy cos Ⱦൕ μu μz cos ɀൕɘ Ҹ ɏ�՜0পᵕ䰤ˈ⊼ᛣࠄℸᯊ᳝�ɘ�՜0.Ң㗠ህᕫࠄ݀ᓣ˄2.2˅DŽ ՟���∖ߑ᭄ u൜ x2ൕ y2ൕ z2 ೼⚍ M ( 1, 0, 1 )໘⊓ l൜ iൕ 2jൕ 2kᮍ৥ⱘᮍ৥ᇐ᭄DŽ �㾷˖ μu μx ൜ x x2ൕ y2ൕ z2 , μu μy ൜ y x2ൕ y2ൕ z2 , μu μz ൜ z x2ൕ y2ൕ z2 ೼⚍ M ( 1, 0, 1 )໘᳝ μu μx ൜ 1 2 ˈ μu μy ൜ 0ˈ μu μz ൜ 1 2 㗠 l ⱘᮍ৥ԭᓺЎ cos Ƚ൜ 1 3 , cos Ⱦ൜ 2 3 , cos ɀ൜ 2 3 ⬅݀ᓣ˄2.2˅ህᕫࠄ μu μl ൜ 1 2 څ 1 3 ൕ 0څ 2 3 ൕ 1 2 څ 2 3 ൜ 1 2 Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 附注 16 � � � �ᅮ⧚���㢹೼㾘ᅮњℷ৥ⱘ᳆㒓 C Ϟপᅮϔ⚍ M 1԰Ў䅵ㅫᓻ䭓 sⱘ䍋⚍ˈᑊᇚ C Пℷ ৥প԰ s๲໻ⱘᮍ৥˗M 0Ў C Ϟⱘϔ⚍ˈ೼ M 0໘⊓ C Пℷ ৥԰ϔϢ C Ⳍߛⱘᇘ㒓 lˈབ೒˄2ൖ 5˅DŽ߭ᔧߑ᭄ u೼⚍ M 0໘ৃᖂᯊˈ೼ M 0໘᳝ϟᓣ៤ゟ μu μl ൜ du ds ����������������������������������������������������������� ( 2.3 ) 䆕˖೼᳆㒓 C Ϟ⚍ M 0䚏䖥঺পϔ⚍ Mˈ䆄԰ ɏ൜M 0M Ǥ�಴Ўߑ᭄ uৃᖂˈᬙ᳝ � � � � οu οs ൜ μu μx څ� οx οs ൕ μu μy څ οy οs ൕ μu μz څ οz οs ൕɘ ɏ οs ݊Ё˖ᔧ M՜M 0ᯊˈ᳝ɘ�՜0ˈ ɏ οs ՜1. ձℸˈҸ M՜M 0೼Ϟᓣϸッপᵕ䰤ˈህᕫࠄ � � � � � � � � � � du ds ൜ μu μx څ dx ds ൕ μu μy څ dy ds ൕ μu μz څ dz ds ⊼ᛣࠄ dx ds , dy ds , dz ds ᰃ᳆㒓 C ⱘℷᮍ৥ߛ㒓 l ⱘᮍ৥ԭᓺˈ㢹ᇚ݊ݭ៤ cos Ƚ�, cos Ⱦ�, cos ɀ��߭ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � du ds ൜ μu μx cos Ƚൕ μu μy cos Ⱦൕ μu μz cos ɀ Ϣ˄2.3˅ᓣ↨䕗ˈेⶹ᳝ μu μl ൜ du ds � � � � �ϔ㠀гᡞߑ᭄ u೼⚍ M 0໘ᇍᓻ䭓 sⱘᇐ᭄ du ds ൜ lim οs՜0 οu οs ⿄Ўߑ᭄ u೼⚍ M 0໘⊓᳆㒓 C˄ℷ৥˅ⱘᮍ৥ᇐ᭄DŽϞ䗄ᅮ⧚㸼ᯢ˖ᅗϢߑ᭄ u೼⚍ M 0 ໘⊓ߛ㒓ᮍ৥˄ᣛ৥ C ⱘℷ৥ϔջ˅ⱘᮍ৥ᇐ᭄ⳌㄝDŽ ℸ໪ˈ೼ᑇ䴶എ u൜ u ( x , y )Ёˈᮍ৥ᇐ᭄ⱘ݀ᓣЎ μu μl ൜ μu μx cosȽൕ μu μy cos Ⱦ����������������������������������������������������� ( 2.4 ) ���ẃᑺ ᮍ৥ᇐ᭄㒭៥Ӏ㾷އњߑ᭄ u ( M )೼㒭ᅮ⚍໘⊓ᶤϾᮍ৥ⱘব࣪⥛䯂乬DŽ✊㗠ҢഎЁ ⱘ㒭ᅮ⚍ߎথˈ᳝᮴か໮Ͼᮍ৥ˈߑ᭄ u ( M )⊓݊ЁⱘાϾᮍ৥݊ব࣪⥛᳔໻ਸ਼˛᳔໻ⱘ ব࣪⥛জᰃ໮ᇥਸ਼˛䖭ᰃ೼ᅲ䰙䯂乬Ёᐌᐌ䳔㽕᥶䅼ⱘ䯂乬ˈЎњ㾷އ䖭Ͼ䯂乬ˈ៥Ӏᴹ ߚᵤᮍ৥ᇐ᭄ⱘ݀ᓣ μu μl ൜ μu μx cos Ƚൕ μu μy cos Ⱦൕ μu μz cos ɀ ݊Ё cosȽˈcos Ⱦˈcos ɀ Ў l ᮍ৥ⱘᮍ৥ԭᓺˈгህᰃ䖭Ͼᮍ৥Ϟⱘऩԡⶶ䞣 lι ൜ cos Ƚ�i ೒ 2ൖ5 M0 M M1 C l Administrator 高亮 Administrator 高亮 17 ൕ cos Ⱦ� jൕ cos ɀ�k ⱘതᷛDŽ㢹ᡞϞᓣেッⱘ݊ԭϝϾ᭄ μu μx , μu μy , μu μz г㾚ЎϔϾⶶ䞣 G ⱘ തᷛˈेপ G൜ μu μx iൕ μu μy jൕ μu μz k ( 2.5 ) ৃҹⳟߎˈG ೼㒭ᅮⱘ⚍໘Ўϔ೎ᅮⶶ䞣˗⬅ᅗˈ߭˄2.2˅ᓣৃҹݭ៤ � � � � � � � � μu μl ൜Gڅl ι ൜ G cos (G , l ι ) ( 2.6 ) ℸᓣ㸼ᯢ G ೼ l ᮍ৥ϞⱘᡩᕅℷདㄝѢߑ᭄ u೼䆹ᮍ৥Ϟⱘᮍ৥ᇐ᭄DŽձℸˈᔧᮍ৥ l Ϣ G ⱘᮍ৥ϔ㟈ᯊˈे cos (G , l ι )൜ 1ᯊˈᮍ৥ᇐ᭄পᕫ᳔໻ؐˈ݊ؐЎ μu μl ൜ G ⬅ℸৃ㾕ˈⶶ䞣 G ⱘᮍ৥ህᰃߑ᭄ u ( M )ব࣪⥛᳔໻ⱘᮍ৥ˈ݊῵гℷདᰃ䖭Ͼ᳔໻ব࣪ ⥛ⱘ᭄ؐDŽ៥Ӏিخߑ᭄ u ( M )೼㒭ᅮ໘ⱘẃᑺDŽϔ㠀ˈ៥Ӏ᳝བϟⱘᅮНDŽ � � � �ẃᑺⱘᅮН˖㢹೼᭄䞣എ u ( M )Ёⱘϔ⚍ M ໘ˈᄬ೼䖭ḋⱘⶶ䞣 Gˈ݊ᮍ৥Ў ߑ᭄ u ( M )೼ M ⚍໘ব࣪⥛᳔໻ⱘᮍ৥ˈ݊῵гℷདᰃ䖭Ͼ᳔໻ব࣪⥛ⱘ᭄ؐDŽ߭⿄ⶶ 䞣 G Ўߑ᭄ u ( M )೼⚍ M ໘ⱘẃᑺˈ䆄԰ grad uˈे grad u൜G ẃᑺⱘ䖭ϾᅮНᰃϢതᷛ㋏᮴݇ⱘˈᅗᰃ⬅᭄䞣എЁ᭄䞣 u ( M )ⱘߚᏗ᠔އᅮⱘDŽࠡ 䴶ˈ៥Ӏ㮝ࡽᮍ৥ᇐ᭄ⱘ݀ᓣᡒߎњᅗ೼Ⳉ㾦തᷛ㋏Ёⱘ㸼⼎ᓣЎ grad u൜ μu μx iൕ μu μy � jൕ μu μz k ( 2.7 ) ��� � � �ẃᑺⱘᗻ䋼˖Ң˄2.7˅ᓣˈ៥Ӏৃҹᕫࠄẃᑺⱘϟ䴶ϸϾ䞡㽕ᗻ䋼ˈখⳟ೒ ˄2ൖ 6˅DŽ 1˅ᮍ৥ᇐ᭄ㄝѢẃᑺ೼䆹ᮍ৥Ϟⱘᡩᕅˈे᳝ μu μl ൜ grad lu ℸᗻ䋼Ꮖ೼ࠡ䴶䅼䆎䖛ˈ㾕˄2.6˅ᓣDŽ 2˅᭄䞣എЁ↣ϔ⚍ M ໘ⱘẃᑺˈൖⳈѢ䖛 䆹⚍ⱘㄝؐ䴶ˈϨᣛ৥ߑ᭄ u ( M )๲໻ⱘᮍ৥DŽ ಴ЎˈҢ˄2.7˅ᓣৃҹⳟߎˈ೼⚍ M ໘ grad u ⱘതᷛ μu μx ˈ μu μy ˈ μu μz ℷདᰃ䖛 M ⚍ⱘㄝؐ䴶 u ( x , y , z )൜ cⱘ⊩㒓ᮍ৥᭄ˈᬙⶹẃᑺे ᰃ݊⊩ⶶ䞣ˈ಴ℸᅗൖⳈϢℸㄝؐ䴶DŽজ಴ߑ᭄ u ( M ) ⊓ẃᑺᮍ৥ⱘᮍ৥ᇐ᭄ μu μl ൜ grad u ൠ 0ˈ䇈ᯢߑ᭄ u ( M )⊓ẃᑺᮍ৥ᰃ๲໻ⱘˈгህᰃẃᑺᣛ৥ߑ᭄ u ( M )๲໻ⱘᮍ ৥DŽ ಴ẃᑺ݋᳝Ϟ䗄ᗻ䋼ˈϡ㿔㗠ஏˈᅗᰃ᭄䞣എЁⱘϔϾ䞡㽕ὖᗉDŽབᵰ៥Ӏᡞ᭄䞣എ Ё↣ϔ⚍ⱘẃᑺϢഎЁП⚍ϔϔᇍᑨ䍋ᴹˈህᕫࠄϔϾⶶ䞣എˈ⿄Ў⬅ℸ᭄䞣എѻ⫳ⱘẃ ᑺഎDŽ M l u൜ c grad u ೒ 2ൖ6 μu μl Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 附注 梯度为矢量 18 ˄�˅�જ㉇ᇨ乓˄Hamilton˅ㅫᄤ��Ўњᮍ֓ˈ៥ӀᓩܹϔϾⶶᗻᖂߚㅫᄤ � � � � � � � � � � � � ׏ء i μ μx ൕ j μ μy ൕ k μ μz ( 2.8 ) িخજ㉇ᇨ乓ㅫᄤDŽ䆄ো� ׏�ᰃϔϾᖂߚ䖤ㅫヺোˈԚৠᯊজ㽕ᔧ԰ⶶ䞣ⳟᕙDŽ݊䖤ㅫ㾘߭ ᰃ˖ � � � � � � �׏u൜ § ¨¨ ¨ © · ¸¸ ¸ ¹ i μ μx ൕ j μ μy ൕ k μ μz u൜ μu μx iൕ μu μy jൕ μu μz k ( 2.9 ) � � � � � � � � � � � � � ׏څA൜ § ¨¨ ¨ © · ¸¸ ¸ ¹ i μ μx ൕ j μ μy ൕ k μ μz څ ( AxiൕAy jൕAzk ) ൜ μAx μx ൕ μAy μy ൕ μAz μz ������������������������������������������������������������������������� ( 2.10 ) ׏൘A൜ i j k μ μx μ μy μ μz Ax Ay Az � � � � � � � � � � � � � � � � � ൜ § ¨¨ ¨ © · ¸¸ ¸ ¹ μAz μy ൖ μAy μz iൕ § ¨¨ ¨ © · ¸¸ ¸ ¹ μAx μz ൖ μAz μx jൕ § ¨¨ ¨ © · ¸¸ ¸ ¹ μAy μx ൖ μAx μy k ( 2.11 ) Ң˄2.9˅ᓣৃҹⳟߎˈ⫼ㅫᄤ ׏ৃᇚẃᑺㅔ䆄Ў � � � � � � � � � grad u൜׏u ( 2.12 ) ՟ �� � ∖᭄䞣എ u൜ xy 2 ൕ yz 3೼⚍ M˄ 2ˈ ൖ 1ˈ 1˅ ໘ⱘẃᑺˈ ҹঞ೼ⶶ䞣 l൜ 2iൕ 2jൖ k ᮍ৥ⱘᮍ৥㋏᭄DŽ 㾷˖grad u M ൜ [ y2iൕ ( 2xyൕ z3 ) jൕ 3yz2k ] u൜ iൖ 3jൖ 3k জ೼ l ᮍ৥ⱘऩԡⶶ䞣Ў lι ൜ l l ൜ 2 3 iൕ 2 3 jൖ 1 3 k Ѣᰃ᳝ μu μl M ൜ gradl u M ൜ [ grad uڅlι ] M ൜ 1൘ 2 3 ൕ (ൖ 3 )൘ 2 3 ൕ (ൖ 3 )൘ § ¨¨ ¨ © · ¸¸ ¸ ¹ ൖ 1 3 ൜ൖ 1 3 � � � �՟ ���˄ẃᑺ೼Ӵ⛁ᄺЁⱘᑨ⫼˅䆒᳝ϔ⏽ᑺഎ u ( M )ˈ⬅ѢഎЁ৘⚍ⱘ⏽ᑺϡሑⳌ ৠˈ಴ℸህ᳝⛁ⱘ⌕ࡼˈ⬅⏽ᑺ䕗催ⱘ⚍⌕৥⏽ᑺ䕗Ԣⱘ⚍DŽḍ᥂⛁Ӵᇐ⧚䆎Ёⱘᆠ䞠ઔ ˄Fourier )ᅮᕟ˖೼എЁПӏϔ⚍໘ˈ⊓ӏϔᮍ৥ⱘ⛁⌕ᔎᑺ˄े೼䆹⚍໘Ѣऩԡᯊ䯈ݙൖ Ⳉ⌕䖛ऩԡ䴶⿃ⱘ⛁䞣˅Ϣ䆹ᮍ৥Ϟⱘ⏽ᑺব࣪⥛៤ℷ↨DŽᣝℸᅮᕟˈ⊓ l ᮍ৥ⱘ⛁⌕ᔎ ᑺЎ ൖ k μu μl ݊Ё↨՟㋏᭄ k >0ˈ⿄Ўݙᇐ⛁㋏᭄ˈ݊ࠡ䴶ⱘ䋳োˈ㸼⼎⛁⌕ⱘᮍ৥Ϣ⏽ᑺ๲໻ⱘᮍ৥ ⳌডDŽ Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 高亮 Administrator 高亮 19 � � ⬅Ѣ μu μl ㄝѢẃᑺⶶ䞣 grad u ೼ l ᮍ৥ⱘᡩᕅˈᬙⶹൖ k μu μl ህㄝѢⶶ䞣ൖ k grad u೼ l ᮍ৥ⱘᡩᕅDŽ㢹䆄 � � � � � � � � � � � � q൜ൖ k grad u ᳝߭ ൖ k μu μl ൜ q cos ( q , l ) ⬅ℸৃ㾕ˈᔧ l ⱘᮍ৥Ϣ qⱘᮍ৥ϔ㟈ᯊˈcos ( q , l )൜ 1ˈℸᯊ⛁⌕ᔎᑺൖ k μu μl পᕫ᳔໻ ؐ q DŽ䖭䇈ᯢ೼എЁПӏϔ⚍໘ˈⶶ䞣 qⱘᮍ৥㸼䖒њ⛁⌕ᔎᑺ᳔໻ⱘᮍ৥ˈ݊῵гℷད 㸼⼎᳔໻⛁⌕ᔎᑺⱘ᭄ؐDŽ಴ℸ⿄ qЎ⛁⌕ⶶ䞣ˈᅗᰃӴ⛁ᄺЁⱘϔϾ䞡㽕ὖᗉDŽ � � ˄4˅ ẃᑺ䖤ㅫⱘϔѯ෎ᴀ݀ᓣ˖ 1˅grad c൜ 0 ˄cЎᐌ᭄˅ 2˅grad ( cu )൜ c grad u ˄cЎᐌ᭄˅ 3˅grad ( uൗ v )൜ grad vൗ grad u 4 ) grad ( u v )൜ u grad vൕ v grad u 5 ) grad §¨¨ ¨ © · ¸¸ ¸ ¹ u v ൜ 1 v2 ( v grad uൖ u grad v ) 6 ) grad f ( u )൜ f ' ( u ) grad u ՟ �� 䆒᳝ԡѢതᷛॳ⚍ⱘ⚍⬉㥋 qˈ⬅⬉ᄺⶹ䘧ˈ೼਼݊ೈぎ䯈ⱘӏϔ⚍ M ( x , y , z )໘᠔ѻ⫳ⱘ⬉ԡЎ � � � � � � � � � � � � � � � v൜ q 4Ɏɂ�r ݊Ё ɂ�Ўҟ⬉ᐌ᭄ˈr൜ xiൕ yjൕ zkˈr൜ r Ǥ�䆩∖⬉ԡ vⱘẃᑺDŽ 㾷˖ḍ᥂ẃᑺⱘ䖤ㅫⱘ෎ᴀ݀ᓣ 6˅ grad v൜ grad q 4Ɏɂ�r ൜ൖ q 4Ɏɂ�r2 grad r ⬅Ѣ grad r൜ § ¨¨ ¨ © · ¸¸ ¸ ¹ i μ μx ൕ j μ μy ൕ k μ μz x2ൕ y2ൕ z2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ൜ 2xiൕ2yjൕ2zk 2 x2ൕ y2ൕ z2 ൜ r r ᠔ҹ� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � grad v൜ൖ q 4Ɏɂ�r3 r ⬅ℸˈḍ᥂ᴀゴ˄1.8˅ᓣ᳝ E൜ൖ grad v ݊Ё E Ў೼⚍ M ໘ⱘ⬉എᔎᑺDŽℸℸᓣ㸼ᯢњ⬉എᔎᑺϢ೼ৠϔ⚍໘ⱘ⬉ԡẃᑺП䯈ⱘ ݇㋏DŽ д乬��� 1.⬏ߎᑇ䴶എ u൜ 1 2 ( x2ൕ y2 )Ё u൜ 0ˈ 1 2 1ˈˈ 3 2 ˈ2ⱘㄝؐ㒓˄প 0.01㉇Ўऩԡ˅ˈᑊ⬏ Administrator 高亮