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复变函数考试样题

2012-01-03 3页 doc 27KB 42阅读

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复变函数考试样题 成绩 西安交通大学考试题 课 程 复变函数(样题) 系 别 考 试 日 期 年 月 日 专业班号 姓 名 学 号 期中 期末 一、判断题下列概念或命题是否正确[1~10](每小题2分,共20分) 1. 在(\{0}上,函数| z |和arg z都是连续函数. ...
复变函数考试样题
成绩 西安交通大学考试 课 程 复变函数(样题) 系 别 考 试 日 期 年 月 日 专业班号 姓 名 学 号 期中 期末 一、判断题下列概念或命题是否正确[1~10](每小题2分,共20分) 1. 在(\{0}上,函数| z |和arg z都是连续函数. 2. 函数sin z,cosz都是(上的无界函数. 3. 区域D上的函数f(z)是解析的充要条件是f(z)在D上是可微的. 4. 函数f(z)在点z0解析的充要条件是f(z)在z0可导. 5. 若f(z)在区域D内解析,则f(z)沿D内的任何周线的积分为零. 6. 若f(z) = u + i v在区域D内解析,则ux是D内的调和函数. 7. 若f(z)在区域D内解析且恒不为零,则ln( f(z))也在D内解析. 8. 若f(z)在有界区域D内解析且有无穷多个零点,则f(z)在D内恒为零. 9. 无穷远点是f(z)的极点的充要条件为原点是f(1/z)的极点. 10. 若(n ( 0 cn z n的收敛半径为正数,则收敛圆周上必有点z0使(n ( 0 cn z0n发散. 二、简答题[11~18,要求写出简要步骤](每小题5分,共40分) 11. 计算( 1 + i )2 i,并指出其主值. 12. 求极限lim z ( 0 ( z – z cos z )/( z – sin z ). 13. 在割去原点及负实轴的z平面上,f(z)是多值函数z 1/3的一个单值解析分 支,f( i ) = ( i.求f( ( i ). 共 2 页 第 1 页 14. 计算(| z – 1 | = 2 ( z 2 + e z )/( z 3 – 2 z 2 + z ) dz. 15. 设f(z) = ( y 2 – x 2) + i v(x, y)是整函数,f(0) = i,求f(z). 16. 求函数f(z) = z/sinz的奇点,并指出奇点类型. 17. 求幂级数(n ( 0 (n2 + 1)/n! · z n的收敛半径,并在收敛圆内求和函数. 18. 求(| z – 1 | = 1 z 1/4 dz.其中z 1/4取1 1/4 = ( i的那一支. 三、解答题[19~23,要求写出详细步骤](每小题8分,共40分) 19. 求函数f(z) = 1/(2 – z )(i + z )在三个不同的圆环域上的Laurent展式.这三个圆环域分别是:0 < | z | < 1,1 < | z | < 2,以及2 < | z | < +(. 20. 下面给出的命题P是否正确?若正确,证明之;若不正确,举出反例. 命题P:设函数f(z)在区域D内连续.若对D内的任一周线C都有(C f(z) dz = 0,则f(z)在区域D内解析. 21. 设f(z)在D = { z(( | 0 < | z ( a | < R }内解析且有界.证明:lim z ( a f(z)存在. 22. 设f(z)是整函数且不恒为常数,且lim z ( ( f(z)/z2 = 0.证明:f(z)是单叶的. 23. 设f(z) = | z |2/z ( z((\{0} ),K = { z(( | 1 ( | z | ( 2 }. (1) 证明:f(z)在区域(\{0}内处处不解析. (2) 问:是否存在多项式序列{pn(z)},使得{pn(z)}在K上一致收敛于f(z)? (3) 证明您对于问题(2)的结论. 【注意】 (1) 样题的难度和数量与期末试题的难度和数量相同. (2) 样题中所涉及内容仅截至到我们目前所学内容,期末考试的内容则包括本学期我们所学的全部内容. (3) 应有90%以上的学生能够在100分钟内完成样题中90%或更多的分值. 共 2 页 第 2 页
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