封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题
2007年第11期 致学教学 11—33
封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题
366100福建省大田第一中学 田富德
文⋯讨论了封闭二次曲线(圆、椭圆)的内
接三角形的面积最大问题.本文将类比讨论封
闭二次曲线(圆、椭圆)的内接四边形的面积最
大问题.
1.圆内接四边形的面积最大值
如图1,四边形ABCJ[)是圆《二)的内接四边
形,圆《二)的半径为R.设AB = a,BC = b,
D = c,DA = d, A = Ol, C = .
图 1
由于四边形ABCD是圆《二)的内接四边形,...
2007年第11期 致学教学 11—33
封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题
366100福建省大田第一中学 田富德
文⋯讨论了封闭二次曲线(圆、椭圆)的内
接三角形的面积最大问题.本文将类比讨论封
闭二次曲线(圆、椭圆)的内接四边形的面积最
大问题.
1.圆内接四边形的面积最大值
如图1,四边形ABCJ[)是圆《二)的内接四边
形,圆《二)的半径为R.设AB = a,BC = b,
D = c,DA = d, A = Ol, C = .
图 1
由于四边形ABCD是圆《二)的内接四边形,
有 + =丌.
s四边形AB D= J-ndsm~ +吉6csinfl
= -~(ad+bc)sin ,
由于sin ≤1,故有
s四边形AB D≤言(nd+be),
≤ )2+(字)2]j
当且仅当Ol= = ,n=b=c=d时,以
上两个等号成立.易知等号成立时四边形为正
方形,于是有a= b=C= d= R,从而
边形AB D⋯ = n2= 2R2
.
于是我们有如下:
定理1 圆内接最大面积的四边形的面积与
圆的面积之比为二.
2.椭圆内接四边形的面积最大值
类似文⋯我们分三种情况考虑.
设椭圆方程为 + =1(n>b>0),
先考虑两种特殊位置的椭圆内接四边形.如图
2,BD//x轴,显然图2中的四边形 BCD是以
BD为对角线内接于椭圆诸多四边形中面积最
大的那一个.
s四边形ABGD=~ ≤言 ×.IAOIIBDI X 2a
2b=2ab,当且仅当BD与X轴重合时等号成立.
此时四边形ABCD为菱形.
A
‘
\\/D \/
===;;,
C
B
c A
JD
图 2 图 3
如图3,BD//y轴,显然四边形ABCD是以
BD为对角线内接于椭圆诸多四边形中面积最
大的那一个.
s四边形ABGD=~IAOIIBDI≤言×2a×
2b=2ab,当且仅当BD与 轴重合时等号成立.
此时四边形AB J[)为菱形. ’
接下来我们考虑,当椭圆内接四边形ABCD
的一对角线BD既不平行X轴又不平行Y轴时,
四边形ABCD的最大面积是多少?合情猜想应
该仍然是2ab.
如图4,BJ[)是椭圆中任一既不平行X轴又不
平行 轴的弦,设其所在直线方程为 =妇+m.
联立方程 y
u 。
= kx
u。
+ m ,
l,
c
B
/
D =
/
图4
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ii一3五 数学鼓学 2007年第11期
线性
的应用
225002江苏省扬州市田家炳实验中学 袁 桐 225267江苏省江都双沟中学 石玉明
二元线性规划内容,已经在中学教材中出现
了近十年,我们把解决问题的方法称之为“线性
规划方 ’.它的基本思路是①画出满足约束条
件的点的范围,也称为“域’’;②研究目标函数的
图形,选择使“目标”取最值的位置;③求出最值
点、最值.此类问题的演变,一种是研究“域’的
变化,一种是运用变量代换,使目标函数明朗化,
易于操作.本文举几例说明如下.
例1 已知 +Y ≤4,求( 一1) 一1)的
最值.
:为了省事,把条件看作是圆 + =
4及圆内部分,目标函数是Z=@一1) 一1),
操作起来并不方便.
如果设 +Y=乱,xy= ,那么
Z=( 一1)( 一1)=-(x+Y)+xy+1=
一 乱+ + 1.
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
消去 后整理得(6 +a2k ) +2a mkx+ 于是有 n =b +a2k。.
n (m2一b2)=0.
设B(xl,y1)、D(x2, 2),则
2a2mk
1十 2 一—b2+—a2k2’
n fm2—6 1
:=:
。
lXl—X2l=~/(xl+ 2)2—4XlX2
/4a4m2k2—4a (m 一b2)(6。+a2k ) V——— —一
2ab~/5
62+ a2k2 ’
.
。
. IBDI=~/(xl— 2) +(Yl—Y2)
= 、,,1十 2·lXl—X2l
2abx/(1+k2)(6 +a2k 一m )
— — — — —
a2k—2— — 一 ‘ 62+ ‘
以BD为一对角线的四边形ABCD可以看
成由AABD与△CBD组成.显然AABD面积
最大时,其顶点 必是平行于BD的椭圆切线的
切点;ACBD面积最大时,其顶点 也必是平行
于BD的椭圆切线的切点.平行于BD的椭圆切
线可设为Y= +n,联立椭圆方程整理得
(b2+a2k ) +2a nkx+a2 n 一b )=0,
由判别式△=0得
4a4n —4a (6 +a2k )(n 一b )=0,
即4a2b2(b2+a2k2一n2)=0,
得平行于BD的椭圆两切线方程分别为Y=
+x/b2+a2k2和Y=kx—Jb2+a2k2.
设平行于BD的椭圆两切线的距离为d,则
由平行线间距离公式有d:—2~/
_7
b2
亍=
+ a2k2
. 分别
过 、 作BD的垂线,垂足分别为E、F,
. 四边 = SAABD+ SACBDY~ABCD DAABD DACBD 四边 十
= ~IAEIIBDI+去ICFIIBDI=~dlBDI
1 2~/b2+a2k2 2ab~/(1+k2)(b2+a2k2-m2)
‘
k一2 ‘——— b —a2 —一 2 、,/1 + + 2
, /b2+a2k2一m D
V—
厂———__=
= 2abel 一 li b ≤2ab·
当且仅当m=0时,即BD为椭圆直径时,上式
等号成立,此时四边形ABCD为平行四边形.
综上于是我们有如下:
定理2 椭圆内接最大面积的四边形的面积
与椭圆的面积之比为二.
结合定理1及定理2有如下:
定理3 封闭二次曲线内接最大面积的四边
形的面积与封闭二次曲线的面积之比为=.
参考文献
【1】陶楚国.二次曲线内接最大三角形探析.
数学通讯.2007.10.
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