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封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题

2012-01-09 2页 pdf 70KB 52阅读

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封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题 2007年第11期 致学教学 11—33 封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题 366100福建省大田第一中学 田富德 文⋯讨论了封闭二次曲线(圆、椭圆)的内 接三角形的面积最大问题.本文将类比讨论封 闭二次曲线(圆、椭圆)的内接四边形的面积最 大问题. 1.圆内接四边形的面积最大值 如图1,四边形ABCJ[)是圆《二)的内接四边 形,圆《二)的半径为R.设AB = a,BC = b, D = c,DA = d, A = Ol, C = . 图 1 由于四边形ABCD是圆《二)的内接四边形,...
封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题
2007年第11期 致学教学 11—33 封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题 366100福建省大田第一中学 田富德 文⋯讨论了封闭二次曲线(圆、椭圆)的内 接三角形的面积最大问题.本文将类比讨论封 闭二次曲线(圆、椭圆)的内接四边形的面积最 大问题. 1.圆内接四边形的面积最大值 如图1,四边形ABCJ[)是圆《二)的内接四边 形,圆《二)的半径为R.设AB = a,BC = b, D = c,DA = d, A = Ol, C = . 图 1 由于四边形ABCD是圆《二)的内接四边形, 有 + =丌. s四边形AB D= J-ndsm~ +吉6csinfl = -~(ad+bc)sin , 由于sin ≤1,故有 s四边形AB D≤言(nd+be), ≤ )2+(字)2]j 当且仅当Ol= = ,n=b=c=d时,以 上两个等号成立.易知等号成立时四边形为正 方形,于是有a= b=C= d= R,从而 边形AB D⋯ = n2= 2R2 . 于是我们有如下: 定理1 圆内接最大面积的四边形的面积与 圆的面积之比为二. 2.椭圆内接四边形的面积最大值 类似文⋯我们分三种情况考虑. 设椭圆方程为 + =1(n>b>0), 先考虑两种特殊位置的椭圆内接四边形.如图 2,BD//x轴,显然图2中的四边形 BCD是以 BD为对角线内接于椭圆诸多四边形中面积最 大的那一个. s四边形ABGD=~ ≤言 ×.IAOIIBDI X 2a 2b=2ab,当且仅当BD与X轴重合时等号成立. 此时四边形ABCD为菱形. A ‘ \\/D \/ ===;;, C B c A JD 图 2 图 3 如图3,BD//y轴,显然四边形ABCD是以 BD为对角线内接于椭圆诸多四边形中面积最 大的那一个. s四边形ABGD=~IAOIIBDI≤言×2a× 2b=2ab,当且仅当BD与 轴重合时等号成立. 此时四边形AB J[)为菱形. ’ 接下来我们考虑,当椭圆内接四边形ABCD 的一对角线BD既不平行X轴又不平行Y轴时, 四边形ABCD的最大面积是多少?合情猜想应 该仍然是2ab. 如图4,BJ[)是椭圆中任一既不平行X轴又不 平行 轴的弦,设其所在直线方程为 =妇+m. 联立方程 y u 。 = kx u。 + m , l, c B / D = / 图4 维普资讯 http://www.cqvip.com ii一3五 数学鼓学 2007年第11期 线性的应用 225002江苏省扬州市田家炳实验中学 袁 桐 225267江苏省江都双沟中学 石玉明 二元线性规划内容,已经在中学教材中出现 了近十年,我们把解决问题的方法称之为“线性 规划方 ’.它的基本思路是①画出满足约束条 件的点的范围,也称为“域’’;②研究目标函数的 图形,选择使“目标”取最值的位置;③求出最值 点、最值.此类问题的演变,一种是研究“域’的 变化,一种是运用变量代换,使目标函数明朗化, 易于操作.本文举几例说明如下. 例1 已知 +Y ≤4,求( 一1) 一1)的 最值. :为了省事,把条件看作是圆 + = 4及圆内部分,目标函数是Z=@一1) 一1), 操作起来并不方便. 如果设 +Y=乱,xy= ,那么 Z=( 一1)( 一1)=-(x+Y)+xy+1= 一 乱+ + 1. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 消去 后整理得(6 +a2k ) +2a mkx+ 于是有 n =b +a2k。. n (m2一b2)=0. 设B(xl,y1)、D(x2, 2),则 2a2mk 1十 2 一—b2+—a2k2’ n fm2—6 1 :=: 。 lXl—X2l=~/(xl+ 2)2—4XlX2 /4a4m2k2—4a (m 一b2)(6。+a2k ) V——— —一 2ab~/5 62+ a2k2 ’ . 。 . IBDI=~/(xl— 2) +(Yl—Y2) = 、,,1十 2·lXl—X2l 2abx/(1+k2)(6 +a2k 一m ) — — — — — a2k—2— — 一 ‘ 62+ ‘ 以BD为一对角线的四边形ABCD可以看 成由AABD与△CBD组成.显然AABD面积 最大时,其顶点 必是平行于BD的椭圆切线的 切点;ACBD面积最大时,其顶点 也必是平行 于BD的椭圆切线的切点.平行于BD的椭圆切 线可设为Y= +n,联立椭圆方程整理得 (b2+a2k ) +2a nkx+a2 n 一b )=0, 由判别式△=0得 4a4n —4a (6 +a2k )(n 一b )=0, 即4a2b2(b2+a2k2一n2)=0, 得平行于BD的椭圆两切线方程分别为Y= +x/b2+a2k2和Y=kx—Jb2+a2k2. 设平行于BD的椭圆两切线的距离为d,则 由平行线间距离公式有d:—2~/ _7 b2 亍= + a2k2 . 分别 过 、 作BD的垂线,垂足分别为E、F, . 四边 = SAABD+ SACBDY~ABCD DAABD DACBD 四边 十 = ~IAEIIBDI+去ICFIIBDI=~dlBDI 1 2~/b2+a2k2 2ab~/(1+k2)(b2+a2k2-m2) ‘ k一2 ‘——— b —a2 —一 2 、,/1 + + 2 , /b2+a2k2一m D V— 厂———__= = 2abel 一 li b ≤2ab· 当且仅当m=0时,即BD为椭圆直径时,上式 等号成立,此时四边形ABCD为平行四边形. 综上于是我们有如下: 定理2 椭圆内接最大面积的四边形的面积 与椭圆的面积之比为二. 结合定理1及定理2有如下: 定理3 封闭二次曲线内接最大面积的四边 形的面积与封闭二次曲线的面积之比为=. 参考文献 【1】陶楚国.二次曲线内接最大三角形探析. 数学通讯.2007.10. 维普资讯 http://www.cqvip.com
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