北京市宣武区2005年高三数学试卷（理 科）

北京市宣武区2004—2005学年度第二学期第二次质量检测 高 三数学（理 科） 2005.5 一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列 中， ，则 的值是（ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 无法确定 3. 若命题甲：“ ”；命题乙：“ABCD是平行四边形”，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 两个同学做同一道题，他们做对的概率分别为0.8和0.9，则该题至少被一个同学做对的概率为（ ） A. 0.98 B. 0.72 C. 0.83 D. 0.7 5. 函数 的图象的一部分大致如下图所示，则 的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 函数 的极值点是（ ） A. B. C. 或 或0 D. 7. 某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元（可以是现金，也可以是奖励券或二者合计），就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券；满300元，就送60元奖励券；……。当日花钱最多的一位顾客共花出现金70040元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠（ ） A. 17600元 B. 17540元 C. 17500元 D. 17480元 8. 如图，正方体 中，点P在侧面 及其边界上运动，并且总保持 ，则动点P的轨迹是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 中点与 中点连成的线段 D. BC中点与 中点连成的线段 二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把填在题中横线上。 9. 若函数 的反函数是 ，则 _________________，原点O_________ 的图象上（填“在”或“不在”）。 10. 下图中曲线是函数 的图象的一部分，则 _________， _________， _________。 11. 已知随机变量 的分布列为： 0 1 P 且 ，则 的数学期望 ___________；随机变量 的数学期望 ___________。 12. 已知复数 ，则 的实部最大值为___________，虚部最大值为___________。 13. 如果直线 与圆 相交于M、N两点，且点M、N关于直线 对称，则 的值为___________；不等式组 示的平面区域的面积为___________。 14. 已知抛物线 在点P和Q处的切线斜率分别为1或 ，则 ___________。 三. 解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分12分） 已知 ，记函数 ，且 的最小正周期为 。 （1）求ω的值； （2）求 的单调区间。 16. （本题满分14分） 已知直三棱柱 中，∠ACB＝90°，CB＝1， ，M是侧棱 的中点。 （1）求证：AM⊥ ； （2）求证：平面ABM⊥平面 ； （3）求点C到平面ABM的距离。 17. （本题满分13分） 已知定义在R上的函数 满足： ，当x＜0时， 。 （1）求证： 为奇函数； （2）求证： 为R上的增函数； （3）解关于x的不等式： 。（其中 且a为常数） 18. （本题满分13分） 某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A种商品金额（万元） 1 2 3 4 5 6 获纯利润（万元） 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额（万元） 1 2 3 4 5 6 获纯利润（万元） 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算。请你帮助制定一个资金投入，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两个有效数字）。 19. （本题满分14分） 已知点 满足： ，且已知 （1）求过点 的直线 的方程； （2）判断点 与直线 的位置关系，并证明你的结论； （3）求点 的极限位置。 20. （本题满分14分） 已知直线 与曲线 交于两点A、B。 （1）设 ，当 时，求点P的轨迹方程； （2）是否存在常数a，对任意 ，都有 ？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。 （3）是否存在常数m，对任意 ，都有 为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。 【试题答案】 一. 选择题：每小题5分，共40分。 1. B 2. B 3. B 4. A 5. D 6. D 7. C 8. A 二. 填空题：每小题5分，共30分。 9. 1，在（第1空2分，第2空3分） 10. 2，2， （第1空1分，第2、3空各2分） 11. （第1空2分，第2空3分） 12. （第1空2分，第2空3分） 13. （第1空2分，第2空3分） 14. 三. 解答题：共80分。 15. （1） ………………2分 ………………6分 （2）令 故 的单调减区间为 ………………9分 令 故 的单调增区间为 ………………12分 16. 解法一：（1）在 与 中 ，且 ∴BC⊥平面 是 在平面 内的射影 又 平面 ………………5分 （2）由（1）知： ，且 ∴AM⊥平面 又 平面ABM ∴平面ABM⊥平面 ………………9分 （3）设点C到平面ABM的距离为h 易知 即点C到平面ABM的距离为 ………………14分 解法二：（1）如图建立空间直角坐标系O—xyz，则 ，即 ………………5分 （2）由 ∴ ⊥平面 ，即 是平面 的一个法向量 设 为平面ABM的一个法向量，则 ，即 令 ，则 ∴平面ABM⊥平面 ………………9分 （3）由（2）知： 为平面ABM的一个法向量 又 点C到平面ABM的距离为： ………………14分 17. （1）由 ，令 ，得： ，即 再令 ，即 ，得： 是奇函数………………4分 （2）设 ，且 ，则 由已知得： 即 在R上是增函数………………8分 （3） 同理， 故原不等式化为： 即 当 ，即 时，不等式解集为 当 ，即 时，不等式解集为 当 ，即 时，不等式解集为 ………………13分 18. 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图： 据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系。 ………………4分 把 代入<1>式，得： 解得： 故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用 表示，再把 代入<2>式，得： ，故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用 表示。 ………………8分 设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为 万元，可获纯利润 当 时 故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元。 ………………13分 19. （1）由 ，得： 显然直线 的方程为 ………………3分 （2）由 ，得： ∴点 ，猜想点 在直线 上，以下用数学归纳法证明： 当n＝2时，点 假设当 时，点 ，即 当 时， ∴点 综上，点 ………………8分 （3）由 ，得： ∴数列 是以 为首项，公差为1的等差数列 即点 的极限位置为点P（0，1）………………14分 20. （1）设 ，则 由 消去y，得： 依题意有 解得： 且 ，即 或 且 ∴点P的坐标为： 消去m，得： ，即 由 ，得 ，解得 或 ∴点P的轨迹方程为 （ 或 ）………………5分 （2）假设存在这样的常数a 由 消去y得： 解得： 当 时， ，且方程<2>判别式 ∴对任意 ，A、B两点总存在，故当 时，对任意 ，都有 ………………10分 （3）假设这样的常数m存在，对任意的 ，使 为一常数M。 即 即 化简，得： ∵a为任意正实数 ，即 ，矛盾。 故这样的常数m不存在。………………14分 PAGE 8 当前第 页共14页 _1177749384.unknown _1177752073.unknown _1177753113.unknown _1177754871.unknown _1177754991.unknown _1177755079.unknown _1177755109.unknown _1177755127.unknown _1177755150.unknown _1177755160.unknown _1177755137.unknown _1177755117.unknown _1177755100.unknown _1177755039.unknown _1177755072.unknown _1177755076.unknown _1177755063.unknown _1177755026.unknown _1177755029.unknown _1177755020.unknown _1177754906.unknown _1177754947.unknown _1177754962.unknown _1177754921.unknown _1177754891.unknown _1177754892.unknown _1177754878.unknown _1177753192.unknown _1177754845.unknown _1177754856.unknown _1177754868.unknown 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