8．指数方程和对数方程

中国特级教师高考复习指导〈复习版〉 8．指数方程和对数方程 一．基础知识自测题： 1．(1) 方程3x－1＝1的解是 x＝1 . (2) 方程log2(x＋2)＝3的解是 x＝6 . 2．(1) 方程 的解是 x＝0或x＝2 . (2) 方程lg(x2＋x)＝lg(x＋1)的解是 x＝1 . 3．(1) 方程4x＋4＝5·2x的解是x＝0或x＝2 . (2) 方程(lgx)2＋lgx3＋2＝0的解是 . 4．(1) 方程3x＝2x的解是 x＝0 . (2) 方程log3x＝log2x的解是 x＝1 . 5．(1) 方程3x－( )x＝ 的解是 x＝2 . (2) 方程 的解是 x＝2或x＝16 . 6．(1) 方程4x＋6x＝2·9x的解是 x＝0 . (2) 方程2lg(x－2y)＝lgx＋lgy, 则 ＝ 4或1 . 二．基本： 1．掌握指数方程的基本类型，学会解方程的重要方法 2．指数方程的基本类型： (1) af(x)＝b型： f (x)＝log ab; (2) af (x)＝ag(x)型： f (x)＝g(x); (3) af (x)＝bg(x)型： f (x)lga＝g(x)lgb (4) f (ax)＝0型：用换元法解，设ax＝t, f (t)＝0. 3．对数方程的基本类型： (1) log af (x)＝b型： f (x)＝ab且f (x)>0; (2) log af (x)＝log ag(x) 型： f (x)＝g(x)且f (x)>0; (3) f (log ax)＝0型： 用换元法解，设log ax＝t, f (t)＝0; (4) log f(x)g(x)＝k型： [f (x)]k＝g(x). 4．注意对数方程的增根与减根，对数方程一定要验根。 例一．解方程：2x＋2－3·2－x＋4＝0 解：4·2x－3· ＋4＝0, ∴ 4·22x＋4·2x－3＝0, 解得2x＝ 或2x＝－ (舍去)，∴x＝－1. 例二．解方程： ＋ ＝10. 解：设 ＝t, 则t＋ ＝10, t2－10t＋1＝0, 解得t＝5±2 ∴ ＝5±2 , x＝±2. 例三．解方程： ＝－1. 解：两边平方得logx ·(log 5x)2＝1, (log 5x)2＋ (log 5x)2(log 5x)－1＝0, 解得log5x＝＝－2或log5x＝＝1, x＝ 或x＝5(增根，舍去). 例四．若方程(lgax)(lgax2)＝4的所有的解都大于1， 求a的取值范围。 解：原方程化为(lga＋lgx)(lga＋2lgx)＝4, ∴ 2lg2x＋3lgalgx＋lg2a－4＝0, 若使x>1，则lg x>0, 即原方程等价于 , 解得lga<－2, ∴00, x≠1, 而x＝lga－ 有可能等于1, 若lga－ ＝1解得a＝10 ,即a＝10 时，方程有一解。 综上得当a>100且a≠10 时，方程有两解； 当a＝100或a＝10 时，方程有一解； 当a<100时，方程无解。 例六．已知a>0, a≠1，试求使方程loga(x－ak)＝ 有解的k的取值范围。 解：原方程等价于 , ∴ x－ak>0, (x－ak)2＝x2－a2, x2－2akx＋a2k2＝x2－a2, 2kx＝a(1＋k2), 当k＝0时, 由a>0知方程无解；当k≠0时, x＝ , 代入x－ak>0, 得 －ak>0, ∵ a>0, ∴ －k>0, 即 01 （B） （C）x＝0且y＝1 （D）x≥0且y＝1 5．方程x ＝4的解是（D）。 （A） （B）± （C）2 （D）2 或2 6．关于x的二次方程7x2－(p＋13)x＋p2－p－2＝0的两个根是α、β满足0<α<1<β<2, 则实数p的取值范围是 (－2, －1)∪(3, 4) . 7．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两个根都比2大，则m的取值范围是 (－5, 4] . 8．若方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是 (－∞, －8] . 四．试题精选： (一) 选择题： 1．方程 ＝ 的解集是（C）。 （A）{2, －1} （B）{－2, 1} （C）{0, 1} （D）{0, －1} 2．方程 ＝4的解集是（D）。 （A）{1} （B）{－1} （C）{－1, 1} （D） 3．方程22x－2x－2＝0的解集是（D）。 （A）{1, 0} （B）{－1, 0} （C）{－1} （D）{1} 4．方程lgx2＋lg6＝lg24的解集是（C）。 （A）{2} （B）{－2} （C）{－2, 2} （D）(－2, 2) 5．方程lg(x－1)－lg(1－2x)＝0的解集是（B）。 （A）{ } （B） （C）{x|x≠1或x< } （D）{1} 6．方程log 2(2lgx)＝1的解集是（B）。 （A）{10 } （B）{10} （C）{10, 10 } （D）{1} 7．方程log0.5xx2－14log16xx2＋40log4x ＝0的解是（D）。 （A）1或 （B）1或4 （C） 或4 （D）1， 或4 8．方程log2(x＋4)＝3x的实根的个数是（C）。 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 9．方程x2－5x·log2a＋6(log2a)2＝0的两个实根中，有且仅有一根在内(1, 2)，则实数a的取值范围是（B）。 （A）(－∞, ) （B）( , ) （C）[ , 2) （D）( , ] 10．方程lg(x＋1)4＝(log2 )2的解为（C）。 （A）－0.99 （B）0 （C）9或－11 （D）－99 (二) 填空题： 11．方程 ＝ 的解集是 . 12．方程lg(x＋1)4＝4的解集是 {9, －11} . 13．设方程lgx2－lgx2－2＝0的两根是α、β，则 的值是 －4 . 14．方程 x2－log2x＝2的实数根的个数是 2个 . 15．方程5x－1·103x＝8x的解集是 . (三) 解答题： 16．设常数m>1，求证方程2lgx－lg(x－1)＝m有两个实数根。 证明：由方程2lgx－lg(x－1)＝m得x>0, x－1>0, 且 ＝10m. ∵ m>1, ∴ 10m>10, 设10m＝t>10, 则方程 ＝10m化为x2－tx＋t>0, △＝t2－4t>0, 且两根x＝ >1 ((t－2)2＝t2－4t＋4>t2－4t). ∴原方程有两个实数根。 17．解方程：log2(4x＋4)＝x＋log 2(2x＋1－3). 解：原方程等价于 , ∴ x＋1>log23. 22x＋4＝2·22x－3·2x, 22x－3·2x－4＝0, ∴ 2x＝4, 或2x＝－1(舍去)，∴ x＝2. 经检验 x＝2是原方程的解。 18．解关于x的方程： ＝a,(a>0且a≠1). 解：两边取以a为底的对数，得(log ax－1)( log ax)＝1, log2ax－log ax－2＝0, ∴ log ax＝2或log ax＝－1, ∴ x＝a2或x＝ . 19．若方程lg(ax－2)－lg(x＋1)＝1有实数解，求实数a的取值范围。 解：原方程等价于 , ∴ x>－1, 且ax－2＝10(x＋1), ∴ (a－10)x＝12, ∴ a≠10, 当a>10时, x＝ >1, 满足条件； 当a<10时，要使x＝ >－1, 解得a<－2, 综上得a>10或a<－2. 20．设x∈R，解关于x的方程：4x－2x＋1＋a＝0. 解：22x－2·2x＋a＝0, 当△<0时, 4－4a<0, 即 a>1时方程无解； 当△≥0时，即 a≤1时，关于2x有解，2x＝1± , ∴ 当00, 方程有两解x＝log 2(1± ), 当a<0或a＝1时, 方程有一解，x＝log 2(1＋ ). 21．关于x的方程32x＋1＋(m－1)(3x＋1－1)－(m－3)·3x＝0有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。 解：原方程整理为3·32x＋2m·3x－(m－1)＝0, 设3x＝t, t>0, 则3t2＋2mt－(m－1)＝0有两个不同的正根, ∴ ，由m2＋3m－3>0解得m> 或m< , ∴ 使原方程有两个不同的实数根的条件是m< . 中国教育开发网 _1023950673.unknown _1023953683.unknown _1023969822.unknown _1023970994.unknown _1028957234.unknown _1028957910.unknown _1028959048.unknown _1031404359.unknown _1028959091.unknown _1028958761.unknown _1028957451.unknown _1028957530.unknown _1028957424.unknown _1028957437.unknown _1023971655.unknown _1023971938.unknown _1023972006.unknown _1023973021.unknown _1023971779.unknown _1023971375.unknown _1023970085.unknown _1023970387.unknown _1023970633.unknown _1023970194.unknown _1023969893.unknown _1023970027.unknown _1023969840.unknown _1023969264.unknown _1023969626.unknown _1023969642.unknown _1023969506.unknown _1023953792.unknown _1023969143.unknown _1023953765.unknown _1023953782.unknown _1023952135.unknown _1023953077.unknown _1023953287.unknown _1023953513.unknown _1023953117.unknown _1023952631.unknown _1023952993.unknown _1023952539.unknown _1023951577.unknown _1023952007.unknown _1023952096.unknown _1023951956.unknown _1023951222.unknown _1023951495.unknown _1023951130.unknown _1023901883.unknown _1023902148.unknown _1023950411.unknown _1023950509.unknown _1023902208.unknown _1023902042.unknown _1023902087.unknown _1023902001.unknown _1023902035.unknown _1023900962.unknown _1023901197.unknown _1023901790.unknown _1023901085.unknown _1023900653.unknown _1023900849.unknown _979734134.unknown _980229461.unknown _979733661.unknown _979733700.unknown _965481565.unknown _979733626.unknown