构造函数求参数的取值范围
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(=)昆明市第一中学王佳文
求参数取值范围同题一直是高考的重点、热点,
也是一个难点,一些含参数变量的问题,往往看起来
很复杂,甚至无从下手。但如果能构造函数,通过求函
数的值域或最值,进而确定参数的取值范围,则会起
到简捷明了.事半功倍的效果。本文将通过典型范例
介绍解决该类问题的有效的方...
r新构造函数求参数的取值范
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£i强蛾.鼎删÷碰#£漪噼锚她蚺虻矗u龋潍诎出。船w抛盛o。
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。。::。。≮。‰。。。,,。。、如,,。。。俑妇⋯:。五。。#.‘j。,。i:!^0。二赫。o幺;《蕊黼蘑
(=)昆明市第一中学王佳文
求参数取值范围同题一直是高考的重点、热点,
也是一个难点,一些含参数变量的问题,往往看起来
很复杂,甚至无从下手。但如果能构造函数,通过求函
数的值域或最值,进而确定参数的取值范围,则会起
到简捷明了.事半功倍的效果。本文将通过典型范例
介绍解决该类问题的有效的方法一构造函数法.
一、构造函数求不等式中参数的取值范围
例1.已知两个函数“x)=8x‘+16x—k,g(g)=2x。+Sx‘
+4x,其中k为实数.若对任意的x∈[一3,3]都有“x)≤
g(x)成立,求k的取值范围;
解析该问题是恒成立问题。
构造函数,令h(x)=g(x)-f(x)=2xJ一3x'-12x+k。
问题转化为h(x)>t0在x∈[-3,3]上恒成立,为此
只需h(x)在[一3,3]I-fl勺l/J'值h(x)一≥o即可。
(解略)
点评:本题学生易犯的错误是将原不等式转化为
“x)~≤g(x)。,其实,从图像上看,只需“x)图像在
g(x)下方即可。
含有参数的不等式恒成立问题在高考试题中经
常出现,是高考数学的另一个重要知识点,是长盛不
衰,常考常新的考点。这类问题涉及知识点多,方法灵
活多样,技巧性强,难度大,是教学的一个难点,若能
通过构造函数,大多数题都能迎刃而解。
例2,设函数f(x)=a+V~x‘一4x,g(x)=÷x+1,
j
若“x)≤g(x)恒成立,求a的取值范围.
解析:构造函数,利用导数法求解.
解法1:不等式《x)≤g(x)就是
r——1———一 』
a+、/一x.一4x≤—!x+1.
3
艮i]a≤一、/一f一4x+÷x+1.①
)
杉击壹il擞,z;轴(x)=一、/一04x+-!.-4x+l,xE[-4,0].
要使不等式①恒成立,只要a≤h(x)~就可,用导
数知识可以求得“X)~=一5.
故a≤一5.
点评:构造函数的办法不是唯一的,也可以构造
两个函数,函数思想是高中数学中的重要解题思想之
一,为什么要构造?怎样构造?值得我们去思考。
解法2:不等式“x)≤g(x)就是
V—xZ--4x≤!x+1一a
3
构造函数,令Y,=、/一f一4x,显然这个关系表示
为(x+2)‘+y:=4(y。≥o),说明方程是以(一2,o)为圆
心,以2为半径的圆在x轴以上的部分,且包含端点。构
造函数,令y:=要x+1一a,这表示斜率为定值{,y轴截
J J
距为变数1-a的一条直线.
在同一坐标系内画出两个方程表示的曲线,根据
题意,就可以得出a≤-5.
点评:在不等式a+'V三-x2-4x≤喜x+1里,通过细
j
小的转化、移项得到了定半圆。动的平行直线族,使得
问题的解法变得简单多了.数形结合是高中数学的重
要思想,应在解答问题时多多留意.
二、构造函数求方程中参数的取值范围
例3.已知方程2sin'x—cos‘x+2sinx+m=o有解,则实
数m的取值范围为——.
解:原方程可化为
3s访2x+2Sinx=1一m(1)
设sinx=t
@g(t)=3ta+2t(一1≤t≤1)
解得一三3≤g(t)≤5,要方程(1)有解,
即一三3≤1一m≤5
万方数据
哲堕国
I
I 得一4≤m≤要
例4.已知方程cos2x+2sinx+2a-3=0在[o,21T]内
恰有两个实根,求a的取值范围。
解:令u=sinx,则方程化为Uz-u+(1-a)=o,在
t∈(-1。1)上有且仅有一个实根,①△=o时,a=
号,t=丢符合;②△>。时,a>÷,令f(u)=u2一u+
(1-a),则f(1)·f(一1)<0,...(1-a)(3-a)o.即a>一三.·.f,(x)=a+丢>o.即a>一之
构造函数,Ad-g(x)=一一1,问题转化为a>g(x)一,
而g(x)=一去在(o,1]上是增函数。
.·.g(x)~=g(1)=一1,...a>一1
四、转化参数与自变■间的角色。通过构造函数
求参数取值范围
把原题中的参数看作自变量,而把未知数看作
参数,转化它们之间的角色,通过构造函数,求出自
变量(即原题中的参数)取值范围,也是一种常用的
方法。
例7(2006年,四川卷,文)
Fm函数f(x)=x’+3ax-1,g(x)=f,(x)一3.X一5.其
中f(x)是“x)的导函数.对满足-1≤a≤1的一切a的
值,都有g(x)m(x‘-1)对一切满足lmI≤
2的值均成立,则x的范围为——.
解:原不等式可化为:m(x‘一1)一2x+10
I(x2—1)×2-2x+1<012/一2x一3<0
解之得半
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